Projet : PARA

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Substitutions explicites et logique



Participant : Thérèse Hardin.

T. Hardin, en collaboration avec G. Dowek (projet COQ), C. Kirchner (projet PROTHEO), a proposé[[15]] une nouvelle présentation de la logique du premier ordre dans laquelle les étapes de calcul et les étapes de déduction sont clairement distinguées. Formellement, cela revient à définir une théorie non pas simplement comme un ensemble d'axiomes, mais comme un ensemble d'axiomes et une congruence définie sur les propositions du langage et typiquement présentée par un système de réécriture. Ainsi, deux propositions congruentes peuvent être identifiées : le remplacement de l'une par l'autre, au cours d'une démonstration, se fait par un calcul, qui n'a pas besoin d'être explicité dans la démonstration. L'originalité de cette définition est que la congruence sur les propositions peut identifier des propositions atomiques avec des propositions non atomiques. Par exemple, la proposition a x b = 0 peut être identifiée avec la proposition a = 0 $ \vee$ b = 0.

G. Dowek, T. Hardin et C. Kirchner ont ensuite proposé une méthode de démonstration pour la déduction modulo. Cette méthode, la résolution modulo, est une extension de la résolution équationnelle, où une nouvelle règle permet de surréduire un littéral par une règle de réécriture transformant une proposition atomique en une proposition non atomique. Ils ont montré que cette méthode est complète pour toutes les congruences modulo, pour lesquelles la déduction vérifie la propriété d'élimination des coupures.

G. Dowek, T. Hardin et C. Kirchner [[14]] ont proposé une formulation de la théorie des types simples dans le cadre de la déduction modulo utilisant le calcul des substitutions explicites comme langage d'expression des fonctions. Ils ont montré que la résolution modulo appliquée à cette théorie simule la résolution d'ordre supérieur étape par étape, elle fournit donc une méthode au moins aussi efficace et a l'avantage de pouvoir bénéficier des optimisations connues de la résolution équationnelle.

T. Hardin anime en collaboration avec V. Donzeau-Gouge (CNAM), un groupe de recherches sur l'utilisation des systèmes d'aide à la preuve (Coq, PVS, B) dans la spécification et la programmation.

Dans le cadre du LIP6, T. Hardin a mis en place et coordonne le projet FOC, qui consiste à développer un environnement pour la programmation et la preuve en Calcul formel en utilisant Ocaml et Coq. Ce projet est réalisé en collaboration avec l'équipe de D. Lazard (LIP6). Il participe à l'action coopérative CFC, avec les projets COQ, CRISTAL, CROAP. La première phase de ce projet a porté en particulier sur la manière de coder les différents concepts algébriques à l'aide d'objets et modules de Ocaml, de façon à faciliter le couplage avec la réalisation de preuves en COQ. Cela a conduit à développer plusieurs prototypes de taille conséquente (une cinquantaine de classes et une douzaine de niveaux d'héritage) en Ocaml.

En 1998, la version journal de l'article avec L. Maranget et B. Pagano est parue. [[1]].



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