Projet Sysdys

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Résultats nouveaux

Milieux aléatoires

Résumé : Dans ce domaine plutôt vaste, nous concentrons nos efforts, d'une part, sur les problèmes d'homogénéisation en milieux et, d'autre part, sur les phénomènes de turbulence apparaissant dans les équations de transport en champs de vitesse aléatoires gaussiens. Dans le premier cas, nous analysons aussi bien des opérateurs aux dérivées partielles que des opérateurs aux différences. Nous étudions également le comportement asymptotique des paramètres effectifs. Dans le second cas, nous adoptons une approche spectrale pour analyser le comportement qualitatif de l'équation.


Homogénéisation

 

Participants : Fabien Campillo , Fabienne Castell , Frédéric Cérou , Guillaume Gaudron , Antoine Lejay , Etienne Pardoux , Elisabeth Remy


Mots-clés : équation différentielle stochastique, équation aux dérivées partielles à coefficients aléatoires, milieux aléatoires, homogénéisation, marches aléatoires


Homogénéisation d'opérateurs aux différences

Nous étudions des résultats d'homogénéisation pour des opérateurs aléatoires aux différences (i.e. la variable spatiale prend ses valeurs sur une grille $Q_{\epsilon} \stackrel{\triangle}{=}[0,1]^2\cap \epsilon \,\mathbb Z^2$).

Dans un premier temps, nous avons mis en place des outils d'analyse spécifique à ce cas (mais qui sont «classiques» en espace continu). Ensuite, nous regardons plus particulièrement le cas d'un milieu aléatoire de type «échiquier», à deux composants de perméabilité homogène :

\begin{displaymath}\kappa(x)= \left\{ \begin{array}{ll} \delta & \mbox{avec... ... \quad \mbox{ind\'ependamment pour tout}\ x \in Q_{\epsilon}\,,\end{displaymath}


où $\kappa(x)$ représente la perméabilité au point $x$.

Ce travail est mené par É. Remy en collaboration avec A. Piatnitski.

Comportement asymptotique de la diffusion effective pour des opérateurs aux différences

Dans une première étude, A. Piatnitski et E. Remy ont analysé une marche aléatoire dans un milieu aléatoire discret à deux composants homogènes, et analysé la diffusion effective de cette marche lorsque la diffusion de l'un des composants du milieu tend vers zéro (en supposant que le choix du composant en chaque point de la grille se fait de façon indépendante et que les probabilités de transition vers le point voisin sont les moyennes harmoniques des diffusions correspondantes). Ils ont montré comment la diffusion effective asymptotique dépend de la probabilité de chacun des composants.

Ils poursuivent cette étude en prenant en compte d'autres types de probabilités de transitions (fondées sur la moyenne arithmétique ou géométrique). Cette étude fait appel à des résultats non classiques de la théorie de la percolation.

Ce travail est à l'origine motivé par une application en ingénierie pétrolière. Il s'agit de calculer des coefficients de perméabilité effective en simulant des marches aléatoires sur des damiers. Fabien Campillo, Frédéric Cérou, Andrey Piatnitski et Elisabeth Remy vont s'intéresser de façon plus systématique à ces algorithmes et également les utiliser pour illustrer le comportement de la diffusion effective en fonction des différents paramètres.

Analyse probabiliste des opérateurs sous forme divergence

Il s'agit d'étudier d'un point de vue probabiliste les opérateurs différentiels sous forme divergence :

\begin{displaymath}A = \sum_{i,j=1}^d \frac{\partial}{\partial x_i}\left(a_{... ...right) + \sum_{i=1}^d b_i(\cdot)\frac{\partial}{\partial x_i}\end{displaymath}



lorsque $a$ est une matrice uniformément elliptique et lorsque la fonction vectorielle $b$ est bornée. Ces opérateurs sont des générateurs infinitésimaux de processus de Markov fort à trajectoires continues.

L'axe principal de cette recherche fut l'établissement de la propriété d'homogénéisation, déjà connue par des méthodes analytiques, pour la famille d'opérateurs :

\begin{displaymath}A^\varepsilon = \sum_{i,j=1}^d \frac{\partial}{\partial x... ...sum_{i=1}^d b_i(\cdot/\varepsilon)\frac{\partial}{\partial x_i}\end{displaymath}



lorsque le milieu caractérisé par $A$ est périodique ou aléatoire. Le processus $\mathsf{X}^\varepsilon$ associé à $A^\varepsilon$ se déduit de celui associé à $A$ par une transformation en temps et en espace. L'homogénéisation se démontre alors en établissant un théorème de type limite centrale pour les processus $\mathsf{X}^\varepsilon$.

Dans le cas où l'espace ambiant est de dimension une, il est possible de donner des indications supplémentaires sur le processus en le caractérisant par sa mesure de vitesse et sa fonction d'échelle. Si le coefficient de diffusion $a$ est à variations bornées, le processus associé à $A$ est solution forte d'une équation différentielle stochastique faisant intervenir le temps local de ce même processus.

Méthodes probabilistes pour l'homogénéisation d'EDP non-linéaires à coefficients aléatoires

Soit $X$ le processus solution de :

\begin{displaymath}X_t = x+B_t+\int_0^t v_\epsilon(X_s)ds\,.\end{displaymath}



Sous de bonnes hypothèses, l'EDSR :

\begin{displaymath}Y_t=g(X_T)-\int_t^T h(X_s,Y_s,Z_s)ds-\int_t^T Z_s.dB_s\end{displaymath}


admet une unique solution adaptée $(Y,Z)$ vérifiant $E(\int_0^T\vert Z_s\vert^2ds)<\infty$. Posons $u(t,x)=Y_0^{t,x}$. $u$ est alors solution de (de viscosité) l'EDP non-linéaire :

\begin{eqnarray*}&& \frac{\partial u(x,y,t)}{\partial t}-v_\varepsilon (x)\,... ...,u(x,y,t),\nabla u(x,y,t)) \,, \\ && u(x,y,0) = u_0(x,y)\,.\end{eqnarray*}


Nous utilisons cette interprétation pour étudier l'homogénéisation de ces EDP dans le cas particulier où le champ $v_\epsilon$ est aléatoire. Notre méthode repose sur la convergence des processus stochastiques $(X,Y,Z)$. Une topologie bien adaptée à notre problème semble être la topologie de Meyer-Zheng. Celle-ci étant très faible, nous devons dégager des critères de tension nous permettant d'obtenir des informations sur les processus limites, par exemple sur leur continuité. Dans ce but, nous espérons obtenir des estimés sur le processus $Z$.

Grandes déviations sur des équations KPP à coefficients aléatoires

Nous avons entamé une collaboration avec Frédéric Pradeilles (Ecole Nationale Supérieure de l'Aéronautique et de l'Espace).

Nous souhaitons étudier la propagation du front de l'équation KPP à suivante :

\begin{eqnarray*}\frac{\partial u(x,t)}{\partial t} &=& \frac{1}{2}\, \Delta ... ...la u(x,t) + c(u(x,t))\,u(x,t)\,,\\ u (x,0) &=& g(\epsilon x) \end{eqnarray*}


où $v$ aléatoire a de «bonnes propriétés» d'homogénéisation. Nous essayons en particulier de déterminer le comportement de $\frac 1{\epsilon}\ln <u(\frac x\epsilon,\fract\epsilon)\gt$ (où $<\gt$ est l'espérance par rapport au champ $v$).

Ce problème nécessite l'étude des grandes déviations du processus de diffusion :

\begin{displaymath}X^{\epsilon}_t = \sqrt{\epsilon} B_t + \int_0^t v\left(\frac{X^{\epsilon}_s}{\epsilon}\right)\, ds \,.\end{displaymath}



En l'état actuel de l'étude, nous essayons de déterminer quelles sont les conditions sur $v$ qui permettent d'obtenir les grandes déviations; par exemple, $v$ gaussien stationnaire, avec une fonction de corrélation qui a une bonne décroissance à l'infini. Nous aimerions généraliser ce type de résultat à d'autres cadres que le cadre gaussien.

Milieux «turbulents»



Participants : Fabien Campillo , Frédéric Cérou , Hervé Soulard


Mots-clés : équation différentielle stochastique, équation aux dérivées partielles à coefficients aléatoires, équation aux dérivées partielles stochastique, milieux aléatoires


La motivation principale de ce travail vient de l'analyse mathématique de modèles physiques pour l'océanographie. Par exemple, si on étudie la température ou la salinité de l'océan, ces quantités sont solutions d'équations linéaires paraboliques comprenant l'action d'un champs de vitesses, modélisé ici par un champ aléatoire.

On ne cherche donc pas à résoudre l'équation non-linéaire caractérisant complètement le champ de vitesse, mais on utilise les propriétés statistiques des solutions de l'équation de Navier-Stokes et des mesures faites sur l'océan pour justifier les choix qui sont faits sur le modèle aléatoire.

On est ainsi amené à considérer un champ aléatoire stationnaire, homogène, gaussien, isotrope, incompressible et markovien en temps. En supposant une invariance d'échelle, donc en se plaçant dans le cadre de la théorie de la turbulence de Kolmogorov, on peut alors caractériser le champs aléatoire par seulement deux exposants réels $\epsilon$et $z$, l'un contrôlant les corrélations spatiales, et l'autre les corrélations temporelles.

On s'intéresse tout d'abord au comportement asymptotique des trajectoires lagrangiennes de ce champ de vitesse pour de grandes échelles en temps et espace. Les résultats obtenus par Avellaneda et Majda dans le cas, plus simple, du cisaillement (shear flow) montrent une grande variété de comportements en fonction des deux paramètres du champ de vitesses. On cherche à mettre en évidence des résultats similaires dans le cas général, de façon tant numérique que théorique. Des avancées significatives ont déjà été obtenues dans cette direction par René Carmona et son équipe.

Les aspects numériques de cette étude sont développés au paragraphe [*]

Analyse stochastique



Participants : Etienne Pardoux , Marie-Christine Roubaud


Mots-clés : calcul stochastique, équation différentielle stochastique rétrograde, homogénéisation, moyennisation, filtrage non linéaire


Résumé : Dans ce domaine c'est l'étude des équations différentielles stochastiques rétrogrades qui retient essentiellement notre attention. Toujours dans ce cadre nous étudions des phénomènes de moyennisation. Nous nous intéressons également à l'équation de Poisson. Enfin un problème de filtrage non linéaire a été abordé.


Equation différentielles stochastiques rétrogrades

En collaboration avec Aurel Rascanu (Université de Iasi, Roumanie), Etienne Pardoux a étudié les EDSR avec le sous-différentiel d'une fonction convexe parmi les coefficients, en dimension finie et infinie. Cela permet de traiter en particulier des réflexions au bord d'un convexe, et en dimension infinie divers types d'opérateurs aux dérivées partielles (donc on résoud des Equations aux Dérivées Partielles Stochastiques Rétrogrades). Deux publications sont soumises.

En collaboration avec Vlad Bally (Université du Mans et Laboratoire de Probabilités Paris VI) Etienne Pardoux a considéré des EDSR avec un coefficient qui n'est pas nécessairement à croissance linéaire. Cela permet d'obtenir l'interprétation probabiliste de solutions positives d'EDP du type $\Delta u - u^k=0$, le cas nouveau et intéressant étant le cas $k\gt 1$, qui a attiré l'attention de nombreux spécialistes récemment.

Moyennisation et EDSR

E. Pardoux et Yu. A. Veretennikov étudient un problème de moyennisation pour des EDS rétrogrades (EDSR), qui produit un résultat de moyennisation pour un système d'EDP paraboliques semilinéaires. On utilise dans ce travail la convergence en loi au sens de Meyer-Zheng.

En fait la méthode mise au point dans ce travail se révèle utile pour d'autres résultats de convergence sur les EDSR (avec application aux EDP), notamment pour l'homogénéisation (voir le thème «Méthodes probabilistes pour l'homogénéisation d'EDP non-linéaires à coefficients aléatoires» du paragraphe [*]).

Dans le cadre de ce travail, on a eu besoin de résultats d'approximation- diffusion. Ceux-ci s'appuient nécessairement sur la résolution d'une équation de Poisson associée au générateur d'un processus de Markov récurrent positif. Lorsque le Markov prend ses valeurs dans un compact, on a des résultats très forts qui sont pleinement satisfaisants. Dans le cas non compact, on n'a que des résultats partiels.

Equation de Poisson

Toujours en collaboration avec Yu. A. Veretennikov, Etienne Pardoux cherche à obtenir des estimées précises de la solution d'une équation de Poisson associée au générateur d'une diffusion récurrente dans $\mathbb R^d$, et à appliquer ces résultats à l'obtention de résultats d'approximation diffusion sous des hypothèses plus explicites que celles que l'on trouve actuellement dans la littérature.

En s'appuyant sur un travail récent de A.Yu. Veretennikov, on obtient des estimées qui semblent être optimales sur le comportement à l'infini de la solution de l'équation de Poisson en fonction du comportement du second membre. L'application à l'approximation-diffusion sera faite prochainement.

Comportement asymptotique de filtres d'ordre réduit

Lors de l'étude effectuée en collaboration avec D.T. Pham (LMC-CNRS) et J. Verron (LEGI) sur le problème d'assimilation de données en océanographie (comment intégrer au mieux les observations dans un modèle d'écoulement), les principales difficultés rencontrées étaient la non-linéarité et la très grande dimension du système. Ceci nous a conduit à étudier[*] le comportement en temps long de filtres d'ordre réduit en collaboration avec A. Le-Breton (LMC-UJF).

Nous nous sommes intéressés à des problèmes de filtrage linéaires et non-linéaires et notamment à un cas linéaire avec des bruits colorés. En utilisant les résultats d'Ocone et Pardoux sur la stabilité asymptotique du filtre optimal par rapport à la condition initiale, nous montrons l'efficacité asymptotique de ces filtres dans divers cas. Ces résultats ont été présentés dans [11].

L'étude de situations où un filtre d'ordre réduit n'est pas asymptotiquement optimal mais où l'erreur commise reste bornée dans le temps a été seulement abordée dans le cas linéaire et est à développer.

Calcul scientifique et probabilités numériques

Résumé : Dans le cadre de l'homogénéisation nous nous sommes intéressés aux méthodes probabilistes numériques de calcul de coefficients effectifs à l'aide de marches aléatoires (en temps discret ou en temps continu) ou de processus de diffusion. Pour les équations de transport nous avons poursuivi nos travaux sur les approximations de type spectral et commençons une étude sur l'approximation par décomposition en ondelettes. Nous avons poursuivi nos travaux d'implémentation du filtre non linéaire. Enfin nous nous sommes penchés sur les probabilités numériques et Java.


Calcul de coefficients effectifs



Participants : Fabien Campillo , Frédéric Cérou , Antoine Lejay , David Miglior , Etienne Pardoux , Elisabeth Remy , Hervé Soulard


Mots-clés : équation différentielle stochastique, équation aux dérivées partielles à coefficients aléatoires, équation aux dérivées partielles stochastique, milieux aléatoires, homogénéisation, marches aléatoires, filtrage non linéaire, algorithme stochastique, analyse numérique, algorithme numérique, algorithme parallèle, calcul scientifique


Sur le plan numérique, notamment à cause de la taille des problèmes (nombre de points de maillage), il est parfois souhaitable de proposer des alternatives aux solveurs classiques d'EDP, comme les méthodes de marche aléatoire ou de simulation de processus de diffusion précédemment évoqués.

Nous collaborons depuis quelques années avec Benoît Noe tinger (IFP, Pau) qui propose des méthodes de calcul de coefficients effectifs par méthodes de marches aléatoires ou simulation de processus de diffusion en ingénierie des réservoirs pétroliers (notamment pour des modèles avec fissures). Cette collaboration a déjà donné lieu à un contrat.

Par simulation de processus de diffusion

Des efforts sont toujours nécessaires en terme d'analyse. Nous proposons également d'autres approches probabilistes comme la simulation de processus de diffusion en milieu aléatoire tenant compte de la présence de fissures. Ce dernier point conduit à des problèmes importants, non abordés jusqu'à ce jour, de discrétisation d'EDS : la prise en compte d'un milieu avec fissures nous amène à faire appel à des mouvements browniens asymétriques (skew Brownian motion) et à simuler finement les temps d'atteinte de ces fissures.

B. Noetinger (IFP, Pau), par les problématiques qu'il soulève, nous conforte dans le fait de croire à la pertinence de ces problèmes. Des tentatives pour améliorer les méthodes numériques utilisées par les ingénieurs de l'IFP nous conduisent à vouloir simuler un mouvement brownien asymétrique (skew Brownian motion), ce qui suppose tout d'abord de savoir simuler correctement le temps d'atteinte d'une valeur donnée, par exemple 0, par un mouvement brownien scalaire.


Un problème analogue se rencontre lorsque l'on veut simuler la solution d'une EDPS du type :

\begin{displaymath}\frac{\partial u}{\partial t}(t,x) = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(t,x) + \sqrt{u(t,x)}\,\dot W(t,x)\end{displaymath}



où $\dot W(t,x)$ désigne un «bruit blanc spatio-temporel». On sait que si $u(0,\cdot)$ a un support compact dans $\mathbb R$, il en est de même pour $u(t,\cdot)$ pour tout $t\gt$. Ce comportement est complètement différent de celui de l'équation de la chaleur déterministe. Si l'on veut simuler correctement l'évolution aléatoire du support de $u(t,\cdot)$, il faut savoir simuler de façon précise le temps d'atteinte de 0 par la solution de l'EDS :

\begin{displaymath}dX_t = \sqrt{X_t}\, dB_t\,,\ X_0\geq 0\,.\end{displaymath}



Nous souhaitons poursuivre une collaboration déjà esquissée avec John Walsh (Université de Colombie Britannique, Vancouver).

Par marches aléatoires

Nous nous sommes, jusqu'à présent, limités à l'étude d'un écoulement stationnaire monophasique incompressible dans un champ de perméabilité aléatoire (ergodique). La loi de Darcy conduit alors à une EDP elliptique à coefficients aléatoires et d'opérateur aux dérivées partielles de «forme divergence».

En régime permanent, l'écoulement $u(x)$ d'un fluide monophasique incompressible dans un milieu poreux hétérogène saturé est régi par la loi de Darcy : $u(x)=-\kappa(x)\,\nabla p(x)$où $p(x)$ est la pression locale, $\kappa(x)=k(x)/\mu$ , $k(x)$désignant la perméabilité du milieu et $\mu$ la viscosité du fluide. $\kappa(x)$ est la conductivité hydraulique, $u(x)$ est le flux du fluide. L'incompressibilité se traduit par :

$-\hbox{{\rm div}}\left( \kappa(x)\, \nabla p(x)\right)=0$.


On s'intéresse au problème d'homogénéisation en milieu hétérogène, en d'autres termes, on considère la famille d'équations :

\begin{displaymath}-\hbox{{\rm div}}\left( \kappa(x/\epsilon)\, \nabla p_\epsilon(x)\right)=0\ .\end{displaymath}


dont les solutions convergent vers $p_0(x)$ (déterministe), solution d'une équation de la forme :

\begin{displaymath}-\hbox{{\rm div}}\left( \kappa_0\, \nabla p_0(x)\right)=0\ .\end{displaymath}


où $\kappa_0$ donne la perméabilité effective du milieu (si ce milieu est isotrope, la perméabilité effective se réduit à une constante scalaire).


Nous avons fait appel aux méthodes de marches aléatoires. La perméabilité effective du milieu est alors fonction de la distance parcourue par la marche (en moyenne, ou par une trajectoire grâce au théorème ergodique) depuis un point de départ initial. Deux types de marches ont été considérés : en temps discret et en temps continu.

À chaque site $x$ de l'échiquier est associée une conductivité hydraulique $\kappa_x$. Chaque site $x$ dispose de 4 voisins $x_1$,$x_2$, $x_3$ et $x_4$ (en dimension 2) ; on calcule alors la moyenne harmonique : $m_i = 2\,{\kappa_x\,\kappa_{x_i}}/({\kappa_x+\kappa_{x_i}})$et $m=\sum_i m_i$.

Dans le cas de la marche en temps discret, à chaque unité de temps, on passe du site $x$ à son voisin $x_i$ avec la probabilité $m_i/m$(c'est-à-dire «avec d'autant plus de facilité que la connexion $x\to x_i$ est perméable»).

Dans le cas de la marche en temps continu, on reste un temps $1/m$ sur ce site (c'est-à-dire «d'autant moins longtemps que le milieu est localement perméable en $x$»), puis on saute au voisin $x_i$ avec la probabilité $m_i/m$ (c'est-à-dire «avec d'autant plus de facilité que la connexion $x\to x_i$ est perméable»).

Cette étude se poursuit en collaboration avec A. Piatnitski (Institut Lebedev, Moscou). Les aspect numériques sont menés par F. Campillo, F. Cérou, É. Remy en collaboration avec B. Noetinger (SF IFP, Pau).

Equations de transport en champs de vitesse aléatoire

 

Participants : Fabien Campillo , Frédéric Cérou , Hervé Soulard


Mots-clés : équation différentielle stochastique, équation aux dérivées partielles à coefficients aléatoires, milieux aléatoires


Approximation spectrale

Pour simuler des trajectoires lagrangiennes, une première approche, proposée par R. Carmona, consiste à approximer la densité spectrale par une somme de mesures de Dirac, dont les poids sont des processus d'Ornstein Uhlenbeck deux à deux indépendants.

Les simulations déjà effectuées par Frédéric Cérou ont permis de dégager certaines conjectures concernant des phénomènes de fractalisation, de mélange, l'apparition de vortex... qui méritent chacun une étude théorique approfondie.

Décomposition en ondelettes

Des résultats récents ont montré l'intérêt des décompositions en ondelettes pour l'analyse et la simulation de champs de vitesse présentant un comportement turbulent. Or, ces résultats portent essentiellement sur les cas où le champ ne présente pas de corrélation temporelle. Les cas plus réalistes n'ont été jusqu'à présent attaqués qu'au moyen de méthodes plus classiques, basées sur les décompositions de Fourier.

L'objectif -- initialisé par F. Cérou, B. Torrésani et P. Tchamitchian en collaboration avec R. Carmona -- est de développer des algorithmes de simulation de champs corrélés temporellement, basés sur les décompositions en ondelettes (ce qui permet une approximation plus précise des corrélations spatiales). Les méthodes basées sur des décompositions en bases d'ondelettes biorthogonales semblent bien adaptées à la situation.

Filtrage non linéaire



Participants : Fabien Campillo , Fabienne Castell , Frédéric Cérou , Etienne Pardoux


Mots-clés : équation différentielle stochastique, équation différentielle stochastique rétrograde, filtrage non linéaire, algorithme numérique


Nous travaillons régulièrement avec F. Le Gland (IRISA), Marc Joannides (Université Grenoble II) et Zhang Huilong (Université Bordeaux I). Un prototype de filtre non linéaire numérique par différences finies a été codé en C++. Actuellement nous collaborons également avec Richard Darling (University of South Florida et University of California at Berkeley) sur une nouvelle méthode de filtrage non linéaire approchée.

Java et la simulation de l'aléatoire

 

Participants : Fabien Campillo , Frédéric Cérou , Hervé Soulard


Mots-clés : équation différentielle stochastique, marches aléatoires, algorithme stochastique, algorithme numérique


Afin d'illustrer d'une manière accessible à tous les méthodes numériques qui se rapportent aux probabilités, nous avons commencé à développer des outils interactifs sous forme d'applets Java incluses dans un texte didactique. Il s'agit par ce moyen de sensibiliser le public scientifique le plus large aux méthodes et phénomènes aléatoires, en allant des générateurs de nombres pseudo-aléatoires jusqu'aux trajectoires d'équations différentielles stochastiques. L'accent est également mis sur les méthodes probabilistes permettant de résoudre des problèmes déterministes, comme la méthode de recuit simulé. Une première version, encore un peu sommaire, de ce travail, est disponible sur l'internet [12]. Elle sera mise à jour au fur et à mesure. Les applets ont été développées par David Miglior et Frédéric Cérou.

Notes:

...étudier
Cette étude a été essentiellement conduite au sein du LMC-UJF et du projet IDOPT, elle a été poursuivie dans le projet SYSDYS.


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