Grands domaines d'application

Ingénierie des milieux poreux

Les ingénieurs travaillant sur les milieux poreux (ingénierie des réservoirs pétroliers, transport de polluants, confinement de déchets radioactifs etc.) s'appuient sur les modélisations géostatisticiennes du sous-sol en champs aléatoires (champ de perméabilité, présence de fissures etc.) et des mesures locales à petite échelle.

L'intérêt de la modélisation probabiliste des milieux poreux n'est plus à démontrer. Dans ce cadre, certains problèmes, comme celui de la mécanique des fluides d'un écoulement en milieu poreux, nécessitent une analyse spécifique, que l'on utilise une approche analytique (analyse fonctionnelle, théorie des équations aux dérivées partielles [EDP] etc.) ou probabiliste (interprétation probabiliste des phénomènes physiques, ou, en d'autres termes, interprétation probabiliste des solutions des EDP). De chacune de ces approches découlent des méthodes numériques. Cette dichotomie est relativement artificielle car les deux approches sont très liées et doivent être menées de front, notamment dans le cadre numérique où la comparaison des méthodes est primordiale.

De nombreux problèmes ont pour cadre les milieux poreux. Dans une première étape nous allons nous limiter au phénomène d'homogénéisation pour lequel nous disposons déjà de nombreux éléments d'analyse, mais qui mérite encore un effort particulier quant à l'algorithmique.

Les écoulements monophasiques, stationnaires, incompressibles en milieu poreux sont régis par l'équation de Darcy. Cette équation fait apparaître un opérateur aux dérivées partielles elliptique sous forme divergence. C'est ce type d'opérateurs que nous analysons, y compris dans le cas d'opérateurs aux différences (forme discrète des opérateurs aux dérivées partielles). Les liens avec la théorie de la percolation, dans le cas d'hypothèses assez restrictives sur les champs aléatoires en jeu, sont naturels et sont mis en évidence.

Sur le plan numérique, notamment à cause de la taille des problèmes (nombre de points de maillage), il est parfois souhaitable de proposer des alternatives aux solveurs classiques d'EDP, comme les méthodes de marche aléatoire (ou méthode des fourmis) ou des nouveaux solveurs fondés, par exemple, sur une analyse multirésolution.

Ingénierie des milieux «turbulents»

Motivés à l'origine par des problèmes de modélisation pour des courants océaniques de surface (dimension 2), nous nous intéressons ici aux propriétés de transport dans des champs de vitesse aléatoires et dépendant du temps. Le modèle de base, qui a été proposé par René Carmona (Princeton University), est une généralisation du modèle de cisaillement (shear flow) étudié par Avellaneda et Majda, avec divergence spectrale dans le domaine infra-rouge.

Une collaboration est déjà engagée sur ce sujet entre René Carmona, l'équipe d'Analyse-Multirésolution et SYSDYS. Les résultats obtenus, tant théoriques que numériques, ont montré l'intérêt et la pertinence de cette approche, qui mérite d'être poussée plus avant. D'une manière générale, on s'intéresse aux propriétés asymptotiques des trajectoires lagrangiennes.

Une première direction consiste à mettre en évidence les différents régimes possibles en fonction des paramètres du champ, et à généraliser ainsi les résultats connus dans le cas du modèle de cisaillement. Du point de vue numérique, les simulations effectuées utilisent une discrétisation de l'espace de Fourier par un nombre fini de fréquences isolées. Bien que ces simulations permettent de dégager certaines conjectures alléchantes sur les propriétés du modèle, cette approche n'est pas adaptée pour étudier l'impact de la singularité du spectre à l'origine. Nous nous proposons de travailler sur une autre discrétisation, basée sur une base d'ondelettes biorthogonales, qui devrait permettre de mieux «saisir» cette singularité.

René Carmona et son équipe ont également obtenu des résultats sur la version discrète du modèle utilisé pour les simulations, concernant la positivité de l'exposant de Lyapunov, et l'homogénéisation à grande échelle des trajectoires lagrangiennes. Les simulations numériques suggèrent de continuer cette étude par l'analyse des propriétés de mélange du flot, l'apparition ou non de vortex en fonction des paramètres.

Précédent : Fondements scientifiques Remonter : Projet SYSDYS, Systèmes Dynamiques Stochastiques Suivant : Logiciels