Fondements scientifiques

Milieux aléatoires

Il s'agit d'étudier les propriétés mécaniques ou physiques des milieux hétérogènes en utilisant des méthodes probabilistes. Ceci conduit à l'étude qualitative et quantitative des solutions d'équations aux dérivées partielles, ou équations aux différences, à coefficients aléatoires. Toute une théorie de ces équations s'est développée au cours des dernières années.

Un premier axe de recherche concerne la théorie de l'homogénéisation des solutions d'EDP dont les coefficients sont des champs aléatoires. On développe des méthodes d'analyse s'appuyant, soit sur des approches «analytiques», soit sur des approches «probabilistes». Une des applications importantes est le calcul des coefficients dits effectifs, i.e. décrivant le modèle à une échelle macroscopique.

Un deuxième axe aborde les problèmes de transport en milieu aléatoire, plus précisément dans un champ de vitesse aléatoire. Cette étude est liée à la théorie de la turbulence. En plus de très nombreux problèmes théoriques, un des enjeux importants est la simulation numérique de tels phénomènes.

Analyse stochastique

L'étude des milieux aléatoires et de leurs applications ne peut se faire sans l'aide de l'analyse stochastique. L'environnement scientifique du pôle marseillais nous fournit l'assise nécessaire, notamment au travers de l'équipe de Probabilités du LATP.

Dans ce domaine, le projet étudie plus particulièrement les EDSR (équations différentielles stochastiques rétrogrades) et les EDPS (équations aux dérivées partielles stochastiques). Les EDSR, introduites par Etienne Pardoux et Peng Shi Ge, ont engendré un mouvement de recherche important et proposent de nouvelles modélisations dans différentes applications (comme les mathématiques financières). Le projet s'intéresse plus particulièrement aux liens existant entre EDSR et EDP.

Les EDPS sont, d'un certain point de vue, une extension fonctionnelle des équations différentielles stochastiques. Elles permettent d'aborder un calcul stochastique spatio-temporel et présentent un fort potentiel applicatif.

Calcul scientifique et probabilités numériques

C'est dans ce domaine que le projet SYSDYS trouve sa spécificité. Le rapprochement de la théorie des probabilités et du calcul scientifique remonte, d'une certaine façon, aux origines même des probabilités. Toutefois, cette voie n'est systématiquement étudiée que depuis peu d'années. On citera, à titre d'exemple, les méthodes de Monte Carlo en physique des particules, les algorithmes d'optimisation (recuit simulé, algorithmes génétiques) fondés sur la mécanique statistique, la modélisation poissonnienne des réseaux, les mathématiques financières numériques etc.

Parmi ces exemples, les applications numériques des milieux aléatoires s'appuient sur un substrat scientifique pointu qui n'a, loin s'en faut, pas encore livré toutes ses possibilités et qui, sur le plan numérique, reste relativement peu exploré. Il s'agit d'un programme ambitieux. C'est pourquoi nos premiers efforts portent d'abord sur l'homogénéisation. Ce thème est déjà bien cerné dans le cas déterministe/périodique, quelques avancées ont été faites sur le plan numérique dans le cas aléatoire/ergodique mais beaucoup reste à faire.

Cet intérêt pour les probabilités numériques remonte aux origines de SYSDYS, c'est-à-dire au projet Mefisto créé par Etienne Pardoux qui a regroupé François LeGland (identification et filtrage non linéaire, actuellement dans le projet SIGMA2), Denis Talay (méthodes de Monte Carlo, mathématiques financières, responsable du projet OMEGA) et Jean Picard (calcul stochastique, professeur à Clermond Ferrand).

Au sein de SYSDYS une réflexion générale s'est engagée au sujet des outils et langages utilisés pour les application numériques. La nécessité pour les codes actuels d'être modulaires et facilement réutilisables nous a amené tout naturellement vers les langages orientés objet. Un prototype de solveur par différences finies utilisé pour des problèmes de filtrage a été codé en C++. Plus généralement une évaluation de ces outils, incluant C++ et Java, pour les méthodes utilisés dans le domaine des probabilités numériques est en cours.

Le projet a une grande maîtrise en filtrage non linéaire sur le plan théorique comme sur le plan pratique. Notre savoir-faire s'appuie sur de nombreuses coopérations passées avec des groupes universitaires (Brown University, Rutgers University, University of Southern California etc.), des organismes et des industriels (US Army, DCN Ingénierie, IFREMER).

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