Projet Sosso

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• Modélisation et analyse des systèmes à hystérésis
• • Modèles d'hystérésis et applications
  • • Hystérésis et frottements.
    • Hystérésis et cinétique chimique.
    • Hystérésis et muscle cardiaque.
  • Comportement qualitatif de systèmes à hystérésis
• Méthode d'``Adéquation Algorithme Architecture''

Fondements scientifiques

 

Modélisation et analyse des systèmes à hystérésis

 

Participant : Pierre-Alexandre Bliman , Alexandre M. Krasnosel'skii , Pavel Krejcí, Michel Sorine


Mots-clés : hystérésis, cycle d'hystérésis, solution périodique, résonance paramétrique, frottement, comportement élasto-plastique, hystérésis en chimie

Résumé : Les phénomènes d'hystérésis sont difficiles à prendre en compte en Automatique : leur modélisation est délicate et la commande des systèmes à hystérésis est un problème largement ouvert. Nous proposons ici une classe de modèles assez faciles à mettre en oeuvre. En fait, après un changement de variable temps, ils deviennent linéaires. On décrit les problèmes de comportement qualitatif qui ont été étudiés pour des systèmes obtenus en couplant ces modèles d'hystérésis à des équations différentielles. Des exemples d'applications, traitées dans le projet, sont présentés.

Modèles d'hystérésis et applications

La principale motivation des travaux de modélisation, d'analyse et de commande de systèmes à hystérésis que nous menons, vient de nos applications :
- systèmes mécaniques en présence de frottements secs. Les problèmes peuvent être la compensation des frottements lorsqu'ils limitent les performances de régulateurs classiques, ou leur maximisation comme dans le cas des problèmes d'adhérence au sol d'une automobile. Le point de vue adopté est de modéliser ces frottements par des opérateurs d'hystérésis dissipatifs que nous proposons[PS96]. Il est utilisé pour l'étude du contact pneu/sol.
- systèmes électrochimiques. Des phénomènes d'hystérésis apparaissent en liaison avec les modèles de pots catalytiques et sondes de richesse des gaz d'échappement de moteurs thermiques[ALS96] et aussi lors de l'étude du couplage cellules cardiaques pacemaker - cellules non pacemaker[LL97].
- systèmes biomécaniques. Ici les phénomènes d'hystérésis correspondent à un comportement élasto-plastique de fibres musculaires.

Dans le langage courant, l'hystérésis correspond à l'apparition d'un ``retard'' dans l'évolution d'un phénomène physique par rapport à un autre. C'est donc un phénomène dû à un effet de mémoire. Les équations d'évolution (équations différentielles ordinaires ou aux dérivées partielles) servent classiquement à modéliser ces effets. Usuellement, les événements qui correspondent au passage d'un état à un autre (la dynamique du système) sont datés en temps physique. Parfois, il est plus naturel d'utiliser une autre ``horloge'' que le temps usuel. Par exemple, pour un véhicule automobile, un compteur de demi-tours moteur est une horloge naturelle pour dater des événements liés aux diverses combustions (une combustion par demi-tour pour un moteur 4 temps-4 cylindres) : c'est un cas particulier où une distance parcourue (angulaire ici) est l'horloge naturelle pour dater des événements. Nous en verrons des exemples.

Les phénomènes à mémoire qui nous intéressent sont ceux ayant un temps propre (distance parcourue, énergie dissipée...) différent du temps usuel. Ce sont des phénomènes endochrones ou ``rate independent''. La définition précise que nous avons adoptée, conforme à la théorie générale de l'hystérésis[,Vis88], est la suivante :
Pour des fonctions définies sur l'intervalle de temps $[0, T]$, $y=H(u)$ est un opérateur d'hystérésis, s'il est causal et si son graphe est invariant par changement de temps (du type $s=\varphi(t)$) :  

$$\left\{ \begin{array}{l}H(u \circ \varphi) = H(u) \circ \varph... ...phisme croissant } \varphi \mbox{ sur } [0, T].\end{array} \right.$$


Cela signifie, par exemple, que si $u$ étant une fonction périodique, $H(u)$ en est une aussi, alors, dans un diagramme $u \rightarrow H(u)$ on voit apparaître des cycles dont la forme est indépendante de la période de $u$ (contrairement à ce qui se passerait pour des cycles de Lissajous). Par exemple, $H(u)= sign(\dot{u})$ est un opérateur (multivalué) d'hystérésis, modèle du frottement de Coulomb, qui conduit à des cycles d'hystérésis rectangulaires, évidemment indépendants de l'amplitude $\vert\dot{u}\vert$ de la vitesse.
Nous avons montré[BS93] le résultat de factorisation suivant qui caractérise les opérateurs d'hystérésis et permet d'en construire de nombreux sous la forme, très utile dans les applications, d'une équation d'état et d'une équation de sortie :
Si $H$ est un opérateur continu de l'espace de Sobolev $W^{1,1}([0, T])$ dans $C^0([0, T])$, alors :

$$\forall u \in W^{1,1}([0, T]), \; \; H(u) = H(\Sigma(u)) \circ S(u),$$


avec

$$S(u)(t) = \int_0^t \vert\dot{u}(\tau)\vert d\tau \mbox{,} \; \; \Sigma(u)=u \circ \nolinebreak S^{-1}(u).$$


Inversement, soit $H_{S}$ un opérateur causal, continu de $W^{1,\infty}_{loc}(0,\infty)$ dans $C^0_{loc}(0,\infty)$. Alors, l'opérateur défini par

$$H(u) = H_{S}(\Sigma(u)) \circ S(u),$$


est un opérateur d'hystérésis continu de $W^{1,1}([0, T])$ dans $C^0([0, T])$.

Nous avons étudié le cas où $H_S$ est un filtre linéaire : pour $A$, $B$, $C$, matrices de tailles convenables, on définit $F_S$ par

$$\left\{ \begin{array}{l}\displaystyle{\frac{dx_S}{ds} = Ax_S + Bu_S}, \; \; \; x_S(0) =x_0, \\ F_S(u_S) = Cx_S.\end{array} \right.$$


Dans les applications au frottement, $s=S(u)(t)$ est une variable d'espace (distance parcourue par le degré de liberté source du frottement) et les frottements qui ont été considérés sont  

$$H(u) = F_S \left( {d \Sigma (u) \over ds} \right) \circ S(u) + D sign (\dot{u}),$$


où $d \Sigma (u) \over ds$ est en général la tangente unitaire à la trajectoire de contact, support du frottement de Coulomb, filtrée ici par $F_S$. L'effet Dahl et la stiction (néologisme anglais pour ``static friction'') par exemple, sont représentés par des filtres respectivement du premier et du deuxième ordre. La propriété principale de ces modèles est la représentation linéaire suivante : $y_S$ étant défini par

$$\left\{ \begin{array}{l}\displaystyle{ {dx_S \over ds}=Ax_... ...aystyle{y_S=Cx_S +D{d\Sigma (u) \over ds}, }\end{array} \right.$$



on a l'expression suivante de $H(u)$ :

$$H(u)(t) = (y_S \circ S(u))(t) \; \; \mbox{sur } [0,T] - \Omega(u),$$

où $\Omega(u)$ est l'union des segments sur lesquels $S(u)$ est constant. On peut déduire de là de nombreuses propriétés, en s'inspirant des techniques de l'Automatique des systèmes linéaires[BS95].

Hystérésis et frottements.

Grâce à la linéarité sous-jacente, la dissipativité du frottement est équivalente au caractère positif réel de la réalisation $(A,B,C,D)$, ce qui s'écrit sous la forme d'un test algébrique simple. Par exemple, dans le cas monovalué (lorsque $D=0$), cette condition est :

$$\begin{array}{l}\exists P=P^T\gt, \; \; Q=Q^T\gt, \\ A^TP+PA=-Q, \; \; C^T=PB.\end{array}$$



La régularisation des graphes multivoques associés au frottement de Coulomb ou à la stiction, devient un problème de perturbation singulière du système linéaire...
On peut donner une interprétation thermo-mécanique de nos modèles et, en particulier, des conditions de dissipativité. Les modèles dissipatifs apparaissent comme des modèles de comportements élasto-plastiques que l'on peut définir à partir d'un pseudo-potentiel de dissipation et d'une fonction d'énergie libre, formes quadratiques qui apparaissent dans l'expression du travail[PS96] :

$$H(u)\dot{u} = {1 \over 2}(Qx,x)\vert\dot{u}\vert + {1 \over 2}{d \over dt}(Px,x).$$


Cette construction fournit une paramétrisation de la sous-classe des modèles dissipatifs, la plus importante dans les applications, et une voie pour l'extension au cas vectoriel.
Le modèle le plus fréquemment utilisé est sans doute le modèle dit de Dahl, qui rend compte d'un comportement élastique pendant la transition de Coulomb. C'est un cas particulier de () ($A=k_{1}<0$, $B=k_{2}\gt$, $C=1$, $D=0$) :  
$$\dot{f} = k_{1} f \vert\dot{u}\vert + k_{2} \dot{u},$$

où $f$ est le frottement et $u$ le déplacement relatif.

Hystérésis et cinétique chimique.

Nous avons obtenu des modèles de pots catalytiques de complexité variable correspondant à divers usages : de la simulation fine à la commande/diagnostic en temps réel[ALS96]. Voici un exemple de modèle simple, utile en commande :  

$$\left\{\begin{array}{l}\dot{{\cal R}}=-\frac{V_g}{L}({\cal R... ...t{\cal R}}{2}-\theta_s)\vert\dot{\cal R}\vert,\end{array} \right.$$



où $\theta_s$ est la saturation en oxygène des sites de cerium (dite ``stock d'oxygène'') et où ${\cal R}(t)=\int_0^tRd\tau$, ${\cal R}^{in}(t)=\int_0^t(R^{in}-1)d\tau$ avec $R^{in}$ richesse des gaz à l'entrée du pot et $R$ richesse à la sortie. Le mécanisme de stockage d'oxygène est caractérisé ici, par les vitesses de stockage ($\mu(1)$), de déstockage ($\mu(-1)$) et par la capacité dont dépend $K$. Le temps de séjour des gaz dans le pot est $\frac{L}{V_g}$. La fonctionnelle $\theta_s={\cal H}({\cal R})$ est un opérateur d'hystérésis.

Hystérésis et muscle cardiaque.

Le muscle cardiaque présente des comportements élasto-plastiques modélisables avec les modèles précédents, voir section . La situation est ici particulièrement intéressante car des descriptions fines de la constitution des muscles sont disponibles, ce qui devrait permettre de rechercher des bases physiques pour ces modèles.

Comportement qualitatif de systèmes à hystérésis

L'étude du couplage des modèles d'hystérésis précédents avec des équations différentielles est intéressante. On rencontre ce type d'équation par exemple pour représenter les mouvements d'un système mécanique en présence d'un frottement sec ou de jeu (contact unilatéral entre pièces mobiles), qui est encore un hystérésis. Il est important de comprendre le comportement qualitatif de tels systèmes. En particulier l'étude de leurs solutions périodiques est intéressante :
- pour le frottement, les régimes périodiques interviennent par exemple lors de l'utilisation de ``dither'', vibration rapide que l'on impose au système pour réduire le frottement.
- pour le pot catalytique, la richesse des gaz à l'entrée est oscillante, du fait de l'utilisation d'un capteur tout-ou-rien (sonde lambda) dans la boucle de régulation de richesse. On parle de ``battements de sonde''.
- pour le muscle cardiaque, il s'agit bien sûr des battements du coeur...

Ces diverses situations conduisent à considérer les oscillations forcées et les phénomènes de résonance paramétrique dans les systèmes de la forme

$$L_{\lambda}({d \over dt})u = M_{\lambda}({d \over dt})[-H_{\lambda}(u) + f(t) + d_{\lambda}(t)],$$


où, pour chaque valeur du paramètre $\lambda$, $L_{\lambda}$ et $M_{\lambda}$ sont des polynômes différentiels, $H_{\lambda}$ un opérateur d'hystérésis, $f$ l'entrée principale, $d_{\lambda}$ le terme de forçage périodique. Nous avons obtenu des résultats sur les résonances paramétriques de tels systèmes[PASA96] et des conditions sur $d$ (relation amplitude/fréquence) assurant un comportement asymptotique (i.e. pour les hautes fréquences de $d$) linéaire[BKS95].
Par exemple, le modèle () du pot catalytique est de ce type :

$$\dot{{\cal R}}=-\frac{V_g}{L}({\cal R}-{\cal R}^{in})+K({\cal H}({\cal R})-\theta_s(0)).$$

Méthode d'``Adéquation Algorithme Architecture''

Participant : Thierry Grandpierre , Rémy Kocik , Christophe Lavarenne , Yves Sorel , Annie Vicard


Mots-clés : contrôle, commande, traitement du signal, traitement d'images, prototypage rapide, co-design, CAO système, langages synchrones, multiprocesseur, parallèle, distribué, temps réel, embarqué

Résumé : La méthodologie Adéquation Algorithme Architecture, pour la commande et le traitement du signal en temps réel, concerne le prototypage rapide et l'implantation optimisée d'applications distribuées temps réel embarquées telles que celles rencontrées en contrôle/commande de systèmes complexes.

La méthodologie ``Adéquation Algorithme Architecture'' (A$^3$) [Sor94] est basée sur un modèle unifié de graphes factorisés, autant pour spécifier l'Algorithme (ordre partiel [Pra86], graphe ``DC'' des Langages Synchrones [BB91]) et l'Architecture multicomposant (graphe de machines séquentielles [Gec86]), que pour déduire les implantations possibles en termes de transformations de graphes (``retiming'', distribution et ordonnancement) qui conservent les propriétés vérifiées avec les Langages Synchrones. L'Adéquation est un problème d'optimisation[LS93] (NP-complet, pour lequel nous développons des heuristiques rapides de type ``list-scheduling'' [CL91]) qui consiste à choisir une implantation dont les performances, déduites des caractéristiques des composants, respectent les contraintes temps réel et d'embarquabilité (minimisation du matériel et du logiciel utilisés, ``co-design''). 0.25by 0pt plus 2pt

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