Projet Sinus

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Fondements scientifiques

 

Méthodes d'approximation

Mots-clés : élément fini, volume fini, problème de Riemann, schéma MUSCL, théorie TVD, théorie LED


Résumé : Pour le projet SINUS, le but de la démarche d'approximation est de remplacer une équation aux dérivées partielles par un système algébrique dont la solution est :

En Mécanique des Fluides compressibles, les caractéristiques dominantes des modèles sont :


Pour répondre aux défis ci-dessus, le projet SINUS s'est spécialisé dans le développement de méthodes combinant : (i) les résolutions approchées des problèmes de Riemann modélisant l'évolution d'un gaz à partir d'une interface plane entre deux états et (ii) les approximations en maillages non-structurés, c'est-à-dire par exemple avec des discrétisations de l'espace en un ensemble de tétraèdres dans lesquels le nombre de sommets voisins d'un sommet donné est variable.

Pour le point (i), la pierre philosophale serait un << solveur de Riemann >> qui conserverait la positivité des masses et températures, serait peu coûteux, et peu dissipatif, adaptable enfin à des écoulement complexes (turbulents, réactifs) et à des nombres de Mach de zéro à des valeurs très grandes. Les investigations dans ce sujet sont donc liées à l'étude des problèmes de Riemann, à la modélisation de la physique complexe et à l'analyse asymptotique.

Pour le point (ii) la gageure est d'analyser et de maîtriser les erreurs locales et globales des nouvelles approximations sur des maillages de qualité de plus en plus arbitraire (étirement quelconque). La consistance et la précision sont mesurées grâce à des analyses variationnelles, des critères d'exactitude sur des polynômes, ou plus classiquement des calculs d'erreurs de troncature. La seconde préoccupation dans (ii) est de conserver la positivité de certaines solutions ; les approximations non-linéaires incluant des limiteurs sont analysées et utilisées intensivement.

Algorithmes de résolution

Mots-clés : schéma implicite, méthode multigrille, méthode de décomposition de domaine


Résumé : La discrétisation des équations aux dérivées partielles du modèle mathématique conduit à la nécessité de résoudre de grands systèmes algébriques généralement non-linéaires. Les méthodes utilisées à cette fin sont presque exclusivement itératives, et on en distingue deux types principaux : (i) les méthodes d'intégration pseudo-temporelles (schémas implicites), et (ii) les méthodes de résolution hiérarchiques (multigrille, décomposition de domaine). En général, dans les deux cas, on est amené à résoudre une suite de problèmes linéaires ; l'analyse de ces méthodes relève donc principalement de l'Algèbre Linéaire et de l'Analyse de Fourier.


Schémas implicites

Dans de nombreuses applications en Mécanique des Fluides, le modèle mathématique est dominé par les termes de convection. Le regroupement de ces termes forme les << Équations d'Euler >> qui, en formulation stationnaire, constituent un jeu d'équations aux dérivées partielles non-linéaires qui est hyperbolique seulement dans les zones où l'écoulement est localement supersonique. Pour cette raison, les méthodes de résolution par avancement en espace, de type méthode des caractéristiques, sont limitées à des applications assez particulières. À l'inverse, on peut construire des méthodes très générales par approximation de la formulation instationnaire du modèle :

 \begin{equation}{{\partial ~} \over {\partial t}} W(x,y,z,t) +\hbox{div} \, F(W) = 0 \,.\end{equation}


À partir d'une condition initiale :

\begin{equation}W(x,y,z,0) = W^0(x,y,z)\end{equation}


on intègre en temps le système ([*]) soumis à des conditions aux limites jusqu'à convergence asymptotique ($t \rightarrow\infty$). Pour cela on construit une suite d'approximations :

\begin{equation}W_h^n(x,y,z) \simeq W_h(x,y,z,n \, \Delta t )\end{equation}


où l'indice $h$ se réfère à la discrétisation spatiale (généralement par Éléments ou Volumes Finis), l'indice supérieur $n$ à l'itération en temps, et $\Delta t$ est un pas de temps d'intégration. On note :

\begin{equation}\Phi_h \Bigl( W_h(x,y,z,t) \Bigr) \simeq \hbox{div} \, F(W)\end{equation}


l'approximation du terme de divergence. Une forme assez générale de schéma d'intégration implicite linéarisé peut alors s'exprimer par l'équation suivante :

\begin{equation}\Bigl (I + \Delta t \, \Phi_h' (W_h^n) \Bigr ) \,\Bigl (W_h^{n+1} - W_h^n \Bigr ) =- \Delta t \, \Phi_h (W_h^n)\end{equation}


dans laquelle $\Phi_h' (W_h^n)$ est le jacobien de l'approximation $\Phi_h (W_h^n)$, ou une approximation. D'un point de vue algorithmique, à chaque itération en temps, on construit l'approximation (par Éléments ou Volumes Finis) du membre de droite et des éléments constitutifs de la matrice apparaissant dans le membre de gauche. On résout ensuite le système linéaire par relaxation. Lorsqu'on applique ce type d'approche à une équation modèle hyperbolique, il est bien connu que l'algorithme itératif est alors inconditionnellement stable. Autrement dit, en pratique, on peut utiliser de très grands pas de temps, ce qui augmente l'efficacité de l'itération.

Dans le cas d'approximations par Éléments Finis sur maillages non-structurés, aucune factorisation spatiale de la matrice ne peut être effectuée et la largeur de bande est inconnue a priori. C'est pourquoi on résout par relaxation. Les principaux résultats du projet dans ce domaine ont eu trait à l'étude des préconditionneurs pour des schémas d'approximation décentrés [3], l'analyse théorique des propriétés de convergence [2] et la construction de variantes précises au second-ordre en temps [7].

Méthodes hiérarchiques

L'analyse de Fourier (en espace), ou analyse modale, de systèmes linéaires représentatifs des équations à résoudre après discrétisation d'équations aux dérivées partielles, permet d'ordonner les composantes de l'erreur itérative suivant les valeurs d'un (ou plusieurs) paramètres fréquentiels, la valeur de la plus haute fréquence étant liée au pas de discrétisation en espace, ou, à l'inverse, au nombre de degrés de liberté. Un principe de base concernant les méthodes itératives classiques, telles que l'itération de Jacobi, est le suivant : l'itération agit avec la plus grande efficacité sur les composantes de l'erreur de hautes fréquences ; à l'inverse, ce sont les composantes de basses fréquences qui persistent et sont la manifestation de la raideur du système. Par contre, ces modes de basses fréquences, qui sont la représentation discrète de fonctions lisses des coordonnées d'espace, peuvent être interpolés sans grande perte de précision sur des grilles de moindre finesse.

Méthodes multigrilles

: la méthode multigrille[Hac85]-[Wes91] est issue de cette observation. On construit a priori une hiérarchie de niveaux de grille, associés à des intervalles de fréquences différents. Une méthode itérative de type classique, dite << lisseur >> est utilisée pour atténuer efficacement les modes de hautes fréquences de l'erreur associés à la discrétisation la plus fine ; le problème résiduel est ensuite reformulé sur une grille plus grossière, sur laquelle on lisse à nouveau avant de transférer le problème sur une grille encore plus grossière, et ainsi de suite, jusqu'à ce que le problème devienne trivial. On construit ensuite à l'inverse des approximations sur les différentes grilles de dimensions croissantes par prolongement (et éventuellement lissage). En procédant de la sorte, les phases de lissage associées aux différentes grilles éliminent efficacement les composantes de l'erreur itérative suivant les différentes fréquences, jusqu'à la plus basse qui est éliminée par résolution directe d'un système trivial. Dans le cas d'un problème modèle linéaire elliptique, la théorie permet d'établir que la complexité de la méthode multigrille est proportionnelle au nombre de degrés de liberté. Cela signifie que le coût de résolution du système à la précision fixée par l'erreur d'approximation est directement proportionnel au nombre d'inconnues du problème.

L'analyse théorique, la pédagogie et l'application de méthodes multigrilles en Mécanique des Fluides constitue un axe important de l'activité du projet [5]-[4]-[1]. On s'intéresse plus particulièrement à la construction des différents niveaux de grille à partir de la grille la plus fine supposée non-structurée (agglomération, reconstruction), ainsi qu'à l'identification d'opérateurs de transfert de << grille à grille >> efficaces, dans le cas d'équations à dominante hyperbolique (plutôt qu'elliptique). Ces méthodes, bien que complexes à mettre en oeuvre informatiquement, sont néanmoins largement utilisées dans les applications.

Méthodes par décomposition de domaine

: l'arrivée des ordinateurs parallèles a bousculé nombre d'a priori dans la recherche sur les algorithmes de résolution. Certaines méthodes << explicites >> ou très itératives ont été traitées facilement par partitionnement spatial du domaine de calcul et programmation dans un modèle par transfert de message (bibliothèques PVM et MPI) de façon à reproduire sur l'architecture parallèle l'algorithme scalaire << parallélisable >> [6].

À l'opposé, le remplacement des méthodes directes (factorisation, ...) est un problème difficile. On fait appel à des méthodes de décomposition de domaine dans lesquelles l'algorithme mathématique traite différemment les noeuds internes aux domaine de ceux qui sont frontaliers (aux interfaces ou dans les recouvrements). Ces méthodes ont été développées essentiellement pour des problèmes elliptiques du second ordre et profitent de la forte régularité des solutions de ce type d'équation, ainsi que de la symétrie des opérateurs impliqués. On obtient ainsi des méthodes quasi-optimales, c'est-à-dire de convergence indépendante du maillage et << scalables >>, c'est-à-dire de convergence indépendante du nombre de sous-domaines[FR92]. La situation est beaucoup moins claire pour les systèmes mixtes hyperboliques-paraboliques issus de la Mécanique des Fluides compressibles. Les opérateurs sont à dominante du premier ordre, non-symétriques, à solutions essentiellement singulières. Les conditions à appliquer aux interfaces sont peu nombreuses, et la mise en oeuvre de préconditionneurs approchés semble délicate. Dans les méthodes par décomposition de domaine, on utilise aussi une << hiérarchie >> de discrétisations, mais ici les sous-systèmes sont associés à une partition du domaine de calcul en sous-domaines[Xu92] (avec ou sans recouvrement).


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