Projet Safir

previous up next contents
Précédent : Fondements scientifiques Remonter : Projet SAFIR, Systèmes Algébriques et Suivant : Logiciels



Grands domaines d'application

 

Panorama

Résumé : Plusieurs problèmes pratiques peuvent s'exprimer naturellement en termes de polynômes. L'étude et la résolution de systèmes polynomiaux sont donc intéressantes pour des applications très diverses, y compris la vision, la robotique, la chimie algorithmique, la géométrie algorithmique, et le traitement du signal. La modélisation, puis la prévision de phénomènes physiques complexes nécessitent un calcul des dérivées, utilisées comme outils dans des procédures d'optimisation. La Différentiation Automatique est un outil général qui s'applique à de nombreux domaines, tels que : environnement (météorologie, océanographie ...), nucléaire, chimie du pétrole, optique ...

Résolution de systèmes polynomiaux

Résumé : Les systèmes polynomiaux sont présents dans plusieurs applications différentes. Nous considérons certaines de ces applications, notamment celles qui se réduisent à la résolution des systèmes de taille moyenne et qui possèdent, typiquement, une structure qui nous permet d'utiliser des méthodes spécialisées.

Les systèmes polynomiaux sont présents dans nombre d'applications très diverses et les questions qu'ils soulèvent sont souvent des points bloquants du processus de résolution. Pour aborder ces problèmes, nous nous intéressons en particulier à des méthodes matricielles permettant de traiter des systèmes polynomiaux, donnés avec une certaine incertitude et nous nous attachons à analyser et exploiter les structures des objets rencontrés, en vue de méthodes stables et rapides. Voici donc quelques exemples de problèmes, où interviennent la géométrie, l'algèbre et les calculs numériques.

En vision, la reconstruction tridimensionnelle à partir de points en correspondance, dans $N$images d'une même scène fait intervenir des calculs dans l'algèbre extérieure et sur les relations de Plücker sur les déterminants. Ces outils permettent ainsi d'analyser les contraintes algébriques sur les points en correspondance, et de reconstruire la géométrie épipolaire de ces caméras. Le calcul du déplacement d'une caméra (calibrée) à partir des points dans deux images, s'appuie également sur des outils de résolution de systèmes polynomiaux. Pour la résolution explicite du problème, nous avons utilisé les quaternions aboutissant à un système de dimension 6, pour lequel la structure creuse est manifeste. Les méthodes matricielles conduisent alors rapidement aux solutions du système polynomial, c'est-à-dire aux déplacements possibles entre les deux positions de la caméra.

En robotique, le problème de la cinématique directe des robots parallèles consiste à trouver les positions de la plate-forme, connaissant les longueurs des bras de liaisons. Il se traduit par des contraintes polynomiales sur les déplacements de la plate-forme et peut se résoudre également par des méthodes matricielles, combinant les calculs numériques et symboliques.

Une branche relativement récente de la biologie et de la chimie algorithmique consiste à utiliser des paradigmes ou algorithmes venant de la géométrie ou de la robotique et de les appliquer à la recherche de configurations de molécules. On s'intéresse au cas des molécules devant satisfaire des contraintes de distances entre les atomes et d'angles entre les liaisons consécutives de la molécule. La géométrie des distances et les calculs dans l'espace des sphères sont des ingrédients importants des méthodes de construction des configurations de ces molécules.

En traitement du signal, l'utilisation des statistiques d'ordre supérieur amène à étudier des tenseurs d'ordre $d \geq 3$ (cumulants, moments), en bijection avec des polynômes homogènes multivariables. Le problème de retrouver dans un signal reçu sur $n$ capteurs le nombre $w$ de sources émettrices se traduit par un problème de décomposition de polynômes homogènes en somme de puissances $d$-ièmes de formes linéaires, ceux-ci étant connus avec une certaine incertitude.

Différentiation Automatique

Résumé : La Différentiation Automatique est un outils général qui s'applique à de nombreux domaines, tels que : environnement (météorologie, océanographie...), nucléaire, chimie du pétrole, optique ...

La modélisation, puis la prévision de phénomènes physiques complexes nécessitent la mise en oeuvre d'études de sensibilité. Pour ce faire, il est nécessaire de calculer des dérivées qui seront ensuite utilisées comme outils dans des procédures d'optimisation : assimilation de données ou conception optimale. Dans ces applications, les dérivées nécessaires sont des gradients. La mise au point d'outils de Différentiation Automatique performants permettant de générer des codes calculant ces gradients constituerait un apport fondamental dans de nombreuses disciplines. En particulier en météorologie, océanographie, chimie atmosphérique, ..., ce point de vue est conforté par le projet de Programme National d'Assimilation (INSU) qui regroupe une partie importante des membres de la communauté géophysique française.



previous up next contents Précédent : Fondements scientifiques Remonter : Projet SAFIR, Systèmes Algébriques et Suivant : Logiciels