Projet Promath

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• Théorie de la perturbation en optimisation
• Développement au second ordre de fonctions convexes
• Classification générique de problèmes de commande et applications
• Commande optimale
• Méthodes de distribution de variables en parallèle utilisant la programmation quadratique successive
• Approximation continue d'opérateurs maximaux monotones
• Programmation semi-définie positive par optimisation non différentiable
• Méthodes de points intérieurs pour l'optimisation non linéaire
• Optimisation de réseaux électriques
• Identification dans les problèmes de jonction
• Régularisation de fonctions à variation bornée. Application au traitement d'image

Résultats nouveaux

Théorie de la perturbation en optimisation

 

Participant : J. Frédéric Bonnans

Les travaux ont porté sur l'application des outils de la théorie de la perturbation aux problèmes d'optimisation semi-définie positive d'une part, et aux problèmes de commande optimale d'autre part.

Concernant l'optimisation semi-définie positive, avec A. Shapiro (Georgia Tech), nous avons étudié la notion de nondégénerescence et le lien avec la stabilité des solutions.

Pour les problèmes de commande optimale, avec H. Zidani (Univ. Paul Sabatier, Toulouse), nous avons introduit une notion de polyédricité partielle qui permet l'analyse de sensibilité de certains problèmes (par exemple sous contrainte de positivité de la commande, avec un nombre fini de contraintes sur l'état).

Développement au second ordre de fonctions convexes

 

Participante : Claudia Sagastizábal

Nos travaux des années précédentes sur le $\cal U$-lagrangien ([11]) se sont poursuivis cette année en collaboration avec R. Mifflin (Washington State Univ., Pullman). Plus particulièrement, nous avons achevé l'étude démarrée en 1996, appliquant cette théorie à un problème de minimax fini [34]. Nous nous intéressons maintenant à l'extension des résultats obtenus aux problèmes de minimax avec contraintes et de programmation semi-infinie. L'article correspondant est en cours de rédaction.

Classification générique de problèmes de commande et applications

 

Participante : Geneviève Launay

Ceci constitue un domaine à la marge de nos recherches. D'une façon générale, nos activités en commande optimale concernent plutôt les propriétés et le calcul itératif de leurs solutions. Ici, on s'attache à leur description, ce qui en permet le calcul direct.

Nous avons terminé l'étude de la commande d'un réacteur chimique comportant deux réactions irréversibles $A \rightarrow B \rightarrow C$(R.A.96, §3.4). Cette étude s'est décomposée en quatre points.

- Un résultat local: les outils de [3], [10] permettent de calculer la loi optimale en boucle fermée au voisinage de la cible, supposée de codimension 1.
- Un résultat global sur le nombre de commutations de la commande optimale: ce nombre n'excède pas 2 en général.
- Simulations numériques (en Scilab), qui permettent d'observer un dépliement des trajectoires: il n'y a pas de points focaux. Les résultats théoriques sont ainsi confirmés dans tout l'espace physique.
- Lien entre deux modèles différant par la commande: dans un cas $u$, dans l'autre $\dot u$. Cela nous permet de traiter des réactions réversibles, par exemple $A \leftrightarrow B \rightarrow C$.

Mentionnons ici que nos résultats, en cours de rédaction ([26]), sont utilisés dans le cadre d'un contrat passé entre les universités de Caen, Dijon, Rouen, et la société Shell; ils permettent un gain de 15% sur un modèle de production de glycol.

Commande optimale

 

Participant : Edmundo Rofman

Rappelons que les travaux ici décrits entrent dans le cadre de notre collaboration avec l'Institut Beppo Levi de l'Univ. de Rosario, Argentine (Projet ``Optimisation et Contrôle, Théorie et Applications'').

Nous nous sommes inéressés à l'optimisation d'une machine multi-produit, où les demandes instantanées prennent un nombre fini de valeurs à des instants de commutation aléatoires décrits par un processus de Poisson. Dans [24] sont donnés: la caractérisation théorique de la solution, un procédé d'approximation numérique et une estimation de sa vitesse de convergence.

La relaxation des problèmes de type minimax à horizon infini (RR 2945) a permis de montrer que le problème relaxé a une solution optimale, et qu'il peut être approché par une suite de problèmes à horizon infini. Cette dernière propriété ouvre la voie vers une résolution directe du problème initial.

Enfin, on a étudié la commande d'un système sans amortissement, à temps discret et observations incomplètes, avec contrôleurs à mémoire finie. Dans [23] sont donnés plusieurs résultats de stabilité asymptotique en dimension finie (ainsi qu'un contre-exemple en dimension infinie).

Méthodes de distribution de variables en parallèle utilisant la programmation quadratique successive

Participante : Claudia Sagastizábal

Récemment, O.L.Mangasarian et M.C.Ferris (Siam J.Optimization, 1994) ont proposé une approche, dite de distribution des variables, pour résoudre en parallèle des problèmes d'optimisation non linéaire.

A l'étape de distribution, des sous-problèmes de taille réduite sont envoyés aux différents processeurs. Ensuite, à l'étape de coordination, le point retenu est celui qui garantit une descente du critère, tout en restant dans le domaine admissible. Les travaux faits jusqu'à présent sont basés sur des méthodes de gradient projeté. Avec M.V. Solodov (Impa, Rio de Janeiro), nous étudions l'application de la programmation quadratique successive dans la résolution en parallèle. Ceci présente des difficultés (liées aux multiplicateurs optimaux) à l'étape de coordination/synchronisation.

Approximation continue d'opérateurs maximaux monotones

 

Participante : Claudia Sagastizábal

Avec Regina Burachik (Puc, Rio de Janeiro) et Benar Svaiter (Impa, Rio de Janeiro), nous poursuivons l'étude démarrée l'an dernier: trouver un zéro d'un opérateur maximal monotone $T$.Nous avons mis au point une méthode conceptuelle inspirée des méthodes de $\varepsilon$-descente. Ce travail, combiné avec des techniques provenant des méthodes de faisceaux, nous a permis d'obtenir une méthode implémentable. Deux articles sont en cours de rédaction.

Programmation semi-définie positive par optimisation non différentiable

Participant : François Oustry

La programmation semi-définie positive (PSD) passe par la minimisation de la valeur propre maximale $\Lambda$ d'une matrice symétrique $A$dépendant du paramètre $x\in \mathbb {R} ^m$. Pour résoudre ce dernier problème, nous avons élaboré un algorithme de type faisceaux qui raffine et formalise des approches déjà utilisées dans le passé. Par ailleurs, utilisant nos récents résultats sur le $\cal U$-lagrangien d'une fonction convexe (R.A.96, §3.2), nous y avons greffé un schéma newtonien. Le résultat, en cours de rédaction et qui utilise nos travaux antérieurs [35], est un algorithme à convergence globale et quadratique, ce qui constitue une nouveauté en optimisation convexe. Il a déjà été expérimenté sur divers problèmes: relaxation de problèmes combinatoires (max-cut, fonction de Lovasz), analyse de stabilité en commande robuste (sur des systèmes de Lur'e). La robustesse de la méthode nous permet de résoudre certains problèmes très mal conditionnés, qui mettent en échec les méthodes de points intérieurs (SP de Boyd et Vandenberghe, SDPPACK d'Overton et al).

Méthodes de points intérieurs pour l'optimisation non linéaire

 

Participant : Laurent Chauvier , Jean Charles Gilbert , Sophie Jégou

L. Chauvier et J.Ch. Gilbert ont poursuivi le développement et l'étude d'une méthode de points intérieurs pour l'optimisation linéaire avec contraintes quelconques. L'algorithme demande les dérivées secondes du critère et des contraintes pour former le hessien $L$ du lagrangien (il suffit en fait de pouvoir calculer les produits $Lv$ de $L$ par un vecteur $v$ arbitraire, ce qui peut s'approcher par différences finies de gradients). Le problème peut être non convexe.

Par rapport aux algorithmes développés par d'autres équipes de recherche, notre approche se distingue par la manière de faire face à la non convexité éventuelle du problème et par la possibilité d'utiliser l'algorithme pour la résolution des grands problèmes de commande optimale (une application utilisant cette technique est décrite à la section ). Nous avons adapté l'idée de la méthode de Newton tronquée aux problèmes avec contraintes de manière à n'utiliser que la partie définie positive du hessien réduit du lagrangien (convergence aisée à montrer dans le cas où il n'y a que des contraintes d'égalité). L'adéquation aux problèmes de commande optimale vient du fait que le solveur de base de l'algorithme est un pas de Newton pour résoudre les équations d'état (contraintes d'égalité) à commandes fixées, ce qui est en général une opération relativement peu coûteuse dans ces problèmes.

Dans beaucoup de problèmes d'optimisation pratiques, le calcul des dérivées secondes est très coûteux en temps de calcul et demande un travail d'écriture de codes important, si bien qu'il est utile de développer des méthodes points intérieurs (qui sont efficaces pour la prise en compte des contraintes d'inégalité) dans lesquelles les dérivées secondes sont approchées par des techniques quasi-newtoniennes. J.Ch. Gilbert, S. Jégou et P. Armand (Univ. de Limoges) ont considéré le cas où l'on minimisait une fonction fortement convexe sous contraintes linéaires d'égalité ou d'inégalité [16]. L'algorithme étudié approche le hessien du critère par la formule de BFGS. La convergence à paramètre de perturbation $\mu$ fixé est superlinéaire et la convergence globale des itérés lorsque $\mu\to0$ est démontrée. Cet algorithme a été généralisé au cas où les contraintes sont convexes en conservant les mêmes propriétés de convergence [15].

Optimisation de réseaux électriques

Participants : J.Frédéric Bonnans , Claire Vilain

Cette opération est menée en collaboration avec l'Université du Chili à Santiago (R. Cominetti).

Nous avons conduit une analyse théorique du problème de la minimisation des pertes dans un réseau électrique, dans le cadre de l'approximation des très hautes tensions. Cette étude permet de justifier une hypothèse classique, dite approximation du courant continu.

Le stage de C. Vilain a été effectué pour partie à l'Inria et pour partie à Santiago, et a concerné deux problèmes d'optimisation de réseaux électriques. Concernant le problème du plan de tension, l'étude, menée en collaboration avec EDF, a porté sur la réalisation dans un environnement Scilab d'une méthode d'optimisation basée sur un algorithme de points intérieurs. La vectorisation des calculs permet d'obtenir des vitesses raisonnables, malgré certaines instabilités numériques. Concernant le problème de l'optimisation des investissements, l'étude a conduit à la formulation théorique d'un algorithme de décomposition pour le problème de minimisation des coûts d'investissement et d'opération du réseau électrique chilien avec la prise en compte des variables aléatoires telles que la demande future en énergie et l'hydrométrie.

Identification dans les problèmes de jonction

 

Participant : Edmundo Rofman

Poursuivant notre collaboration avec l'Institut Beppo Levi, nous avons proposé dans [14] une méthode de décomposition-coordination où la condition d'équilibre globale de notre RR Inria 2937 joue un rôle essentiel. La méthode permet aussi de résoudre les problèmes définis par des systèmes d'inéquations variatonnelles couplées, via la résolution découplée de problèmes simples: voir [19]. Nous entreprenons l'extension de la méthode aux opérateurs non symétriques, tandis que nous attendons des données provenant de l'industrie aéronautique, pour ajuster au mieux les contraintes du modèle.

Régularisation de fonctions à variation bornée. Application au traitement d'image

 

Participante : Claudia Sagastizábal

Rappelons qu'il s'agit de reconstruire une image bruitée à contours contrastés; étude démarrée l'an dernier avec Cecilia Pola (Univ. Santander, Espagne). La formulation se présente comme un problème de moindres carrés, comportant un terme de régularisation en norme $l_1$ (non différentiable, donc). On obtient alors un programme linéaire-quadratique de grande taille. Nous avons développé une méthode de points intérieurs pour résoudre ce dernier problème et nous avons comparé les performances obtenues avec une méthode de faisceaux appliquée à la résolution du problème non différentiable; les résultats sont consignés dans [25].

Précédent : Logiciels Remonter : Rapport activite 1997 Suivant : Actions industrielles