Grands domaines d'application

Reconstruction de formes

Mots-clés : modélisation géométrique, reconstruction de formes, imagerie médicale, géologie

Résumé : Reconstruire la forme d'un objet tridimensionnel à partir d'un certain nombre de mesures effectuées sur cet objet est une opération de base dans de nombreux domaines applicatifs. Le projet Prisme s'est plus particulièrement intéressé aux problèmes de reconstruction tels qu'ils se posent dans les domaines de l'imagerie médicale et de la géologie. Dans ces deux domaines, des solutions originales, largement basées sur les concepts de diagrammes de Voronoï et triangulations de Delaunay ont été proposées.

Dans le domaine médical, les données proviennent généralement d'un système d'imagerie comme la RMN qui permet d'acquérir plusieurs coupes parallèles de la région concernée. La première opération consiste alors à extraire de chaque coupe (de façon manuelle ou en utilisant un procédé automatique d'analyse d'image) un ensemble de contours polygonaux approximant les sections de l'organe à reconstruire. Le procédé de reconstruction considère alors successivement chaque paire de coupes consécutives et reconstruit, à l'aide de la triangulation de Delaunay, la tranche d'organe comprise entre ces deux coupes. On obtient ainsi une représentation volumique de l'objet, une triangulation tridimentionnelle, qui peut se prêter à divers traitements ultérieurs ; visualisation, simulation d'intervention ou planification de trajectoire pour guider une endoscopie (figure

). Ces travaux ont conduit au logiciel NUAGES commercialisé par plusieurs sociétés (Section

Figure: Simulation d'endoscopie.

$\begin{figure} \begin{center} \includegraphics [width=7.5cm]{endos.ps} \end{center}\end{figure}$

Géologie

Parvenir à une bonne connaissance du sous-sol d'une région est un enjeu majeur dans certains domaines tels que l'exploitation des ressources minières, le génie civil ou la protection de l'environnement. Pour y parvenir le géologue dispose de plusieurs sources d'informations : sondages, études sismiques et relevés topographiques qui constituent généralement un ensemble de données hétérogènes, éparses et imprécises. Le projet Prisme développe actuellement une méthode de reconstruction automatique de formations géologiques. Cette méthode se distingue des approches plus traditionnelles d'interpolation de surfaces et construit directement une représentation volumique des formations. Entre autres avantages, cette approche permet de segmenter automatiquement les données et de s'affranchir dans une large mesure des problèmes d'instabilité numérique.

Placement de formes

Mots-clés : placement géométrique, découpe industrielle, aménagement de satellites

Résumé : Le placement de formes rigides ou articulées est un champ d'application privilégié de la géométrie algorithmique. Il s'agit de savoir si un objet donné peut être placé parmi une collection d'objets. Nous avons plus particulièrement étudié deux applications d'origine industrielle : la découpe et l'aménagement de satellites.

Découpe

La découpe industrielle consiste à découper sur un support plan (peau, tôle, tissu, etc) des formes géométriques données, souvent polygonales. Il s'agit d'atteindre deux objectifs : rapidité du placement des formes sur le support et minimisation des chutes.

Nous avons résolu les problèmes de placement et de déplacement dans le cas d'un polygone (resp. polyèdre) en translation dans un univers polygonal (resp. polyédrique) en proposant des algorithmes de complexité quasi-optimale. Ces algorithmes permettent de calculer un placement s'il en existe un, mais également l'ensemble des positions admissibles de l'objet à placer. Le placement simultané de deux polygones en translation dans un environnement polygonal, et de trois polygones dans un parallélogramme, a également été résolu. Le calcul de l'espace admissible pour un polygone en translation et rotation peut aussi être effectué avec une complexité presque optimale.

Ces algorithmes permettent d'exhiber rapidement une solution au problème de découpe, en plaçant l'une après l'autre les différentes formes sur le support. Ils sont à la base du logiciel PIAF (voir ).

Aménagement de satellites

L'aménagement d'un satellite consiste à positionner les équipements spécifiés par un schéma logique sur une plate-forme, en prenant en compte des contraintes physiques imposées par l'environnement (par exemple la protection contre les rayons solaires) et par les équipements entre eux (par exemple l'interférence électro-magnétique et le respect du champ de vue d'un instrument d'observation). L'aménagement spatial d'un satellite s'inscrit dans un processus de conception complexe qui dure en général plusieurs mois et nécessite de nombreux aller-retours entre bureau d'études et équipes spécialisées en électro-magnétisme, thermique et mécanique. L'objectif de notre travail est de démontrer, en développant un prototype, qu'il est possible d'accélérer considérablement la phase de conception en assistant, voire en automatisant, l'aménagement avec des méthodes issues de la géométrie algorithmique. Un résultat est présenté sur la figure

Figure: À droite : espace admissible pour l'instrument grisé.

$\begin{figure} \begin{center} \includegraphics [width=13cm]{tvgavoBW.ps} \end{center}\end{figure}$

Conception optimale de mécanismes

Mots-clés : conception optimale

Les robots parallèles permettent de couvrir un large éventail d'applications puisque ces mécanismes sont utilisés aussi bien pour les simulateurs de vol qu'en astronomie et dans le domaine médical. De plus, les méthodes développées pour ces mécanismes sont directement utilisables pour d'autres catégories de mécanismes comme, par exemple, les suspensions automobiles. Nos partenaires actuels sont des sociétés de haute technologie, souvent des PME, qui réalisent des produits innovants soit à l'unité, soit en petit nombre. Leur domaines d'activité vont de la machine-outil au secteur médical en passant par la métrologie.

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