Projet Paragraphe

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• Théorie des régions
• • Une connexion de Galois entre automates et réseaux
  • Automates de dimension supérieure
• Réseaux de haut niveau
• • Synthèse des réseaux stratifiés
  • Réseaux et programmes synchrones
  • Réseaux et systèmes coopératifs
• Graphes reconnaissables et dépliage
• • Reconnaissabilité des graphes
  • Reconnaissabilité des dI-domaines cohérents
  • Une théorie du dépliage

Résultats nouveaux

Théorie des régions

Participants : Eric Badouel , Philippe Darondeau


Mots-clés : réseau de Petri, synthèse, région

Résumé : A l'occasion d'un travail de synthèse sur la théorie des régions [17], nous avons établi un lien étroit entre les régions d'un graphe, utilisées pour la synthèse des réseaux de Petri, et les cutsets de ce graphe, utilisés en génie électrique. Nous avons simplifié la dualité catégorique entre graphes étiquetés et réseaux de Petri, établie dans [4] pour des types arbitraires de réseaux, en remplaçant le cadre catégorique par celui des ensembles ordonnés. Le résultat est une connexion de Galois entre graphes étiquetés et réseaux de Petri [15]. Cette connexion de Galois s'étend aux systèmes de transitions par pas. Les régions des systèmes de transitions par pas correspondent aux régions ordinaires des systèmes de transitions obtenus en remplaçant leurs actions atomiques par des actions scindées en un début et une fin [16]. Les régions des réseaux 1-saufs s'obtiennent de la même façon à partir des régions élémentaires. On passe dans les deux cas de réseaux généraux à des réseaux purs, c'est à dire dans lesquels les ensembles de places en entrée et en sortie d'une transition sont disjoints). En utilisant l'ensemble de ces idées, nous avons montré que l'algorithme de synthèse polynomiale de réseaux de Petri purs donné dans [1] peut être adapté aux réseaux de Petri généraux (c'est à dire impurs), utilisant tout aussi bien la règle de tirage séquentiel que la règle de tirage par pas [15].

Une connexion de Galois entre automates et réseaux

Dans un précédent travail, nous avions construit une adjonction duale entre automates et réseaux, paramétrée par le type des réseaux [4]. Nous avons réétudié cette correspondance dans le cadre simplifié des ensembles ordonnés. Les automates déterministes et accessibles forment un treillis complet pour l'ordre défini par $(S,E,T,s_0) \leq (S',E',T',s'_0)$ si et seulement si $E=E'$ et il existe une application $\sigma : S\rightarrow S'$ telle que $(\sigma, 1_E)$ soit un morphisme d'automates. Les bornes inférieures dans ce treillis se calculent comme des produits d'automates, synchronisés sur chacune des actions. De même, pour chaque type de réseaux $\tau$ et pour chaque alphabet $E$, on peut munir les réseaux de type $\tau$ d'un préordre défini $(P,E,W,M_0) \leq (P',E',W',M'_0)$ si et seulement si $E=E'$ et il existe une application $\beta : P\rightarrow P'$ telle que $(\beta, 1_E)$ soit un morphisme de réseaux. En quotientant les réseaux par l'équivalence induite, on obtient un treillis complet dans lequel les bornes supérieures se calculent en amalgamant les réseaux par collage sur les transitions. Pour tout réseau $N=(P,E,W,M_0)$, soit $N^*$ le graphe de marquage de réseau, et pour tout automate $A=(S,E,T,s_0)$ soit $A^*$ le réseau de type $\tau$ ayant pour places les régions de $A$, c'est à dire les morphismes d'automates de $A$ dans $\tau$. Il est montré dans [15] que les automates et les réseaux sont alors liés par une connexion de Galois:

$$A \leq N^* \Leftrightarrow N \leq A^*$$

Le noyau de cette correspondance, c'est à dire la famille des automates $A$ pour lesquels $A \cong A^{**}$, est exactement la famille des automates dans lesquels sont vérifiées les deux conditions de séparation présentées en (3.1.1).

Automates de dimension supérieure

Dans un automate classique, les états sont des étapes dans des suites d'actions. Dans un automate de dimension supérieure [Gou95], un état représente de plus un ensemble d'actions en cours d'avancement. De ce fait, les transitions atomiques d'un automate de dimension supérieure sont étiquetées par des débuts et des fins d'actions. On peut, en scindant chacune de leurs actions atomiques en un début et une fin, représenter par des automates de dimension supérieure les systèmes de transition par pas de Mukund [Muk92], dans lesquels les transitions se font par paquets d'actions simultanées, comme dans les réseaux de Petri avec la règle de tirage par pas. Maintenant, la connexion de Galois que nous avons établie entre les automates et les réseaux de Petri à règle de tirage séquentiel peut être étendue en une connexion de Galois entre les systèmes de transition par pas et les réseaux de Petri à règle de tirage par pas. Il est assez naturel de tenter d'expliquer les rapports qui existent entre les deux connexions par l'éclatement des actions atomiques en des actions scindées. On peut de fait définir l'éclatement d'un réseau et l'éclatement d'un système de transitions par pas sur l'alphabet des débuts et fins d'actions de façon telle que la version éclatée du graphe de marquage du réseau soit le graphe de marquage du réseau éclaté. Comparer les deux connexions de Galois revient donc à comparer les régions d'un système de transitions par pas et les régions de sa version éclatée. Eric Badouel a montré que les régions définies par Mukund [Muk92] pour les systèmes de transitions par pas correspondent aux régions de sa version éclatée définies par Bernardinello, De Michelis, Petruni et Vigna [BMPV96]. Les régions définies par Nielsen et Winskel [NW94] pour les réseaux de Petri 1-saufs correspondent de la même façon aux régions élémentaires d'Ehrenfeucht et Rozenberg [ER90b]. Dans ces deux cas, ceci justifie les variations de la notion de région liées au type pur ou impur des réseaux considérés.

Réseaux de haut niveau

Participants : Eric Badouel , Philippe Darondeau , David Harlet


Mots-clés : réseau automodifiant

Résumé : Nous avons défini une restriction des réseaux automodifiants de Valk, appelée réseaux automodifiants stratifiés. Ces réseaux correspondent par la dualité à des produits en cascade d'automates. Nous avons montré que le problème de la synthèse a une solution polynomiale pour ces réseaux automodifiants stratifiés [14]. Nous avons d'autre part commencé à étudier les applications des réseaux stratifiés dans deux domaines, la programmation synchrone et la modélisation des systèmes coopératifs.

Synthèse des réseaux stratifiés

Un réseau automodifiant de Valk[Val78] est un réseau de Petri dans lequel les poids entiers portés par les arcs de flot sont des combinaisons linéaires entières de variables associées aux places, représentant le contenu de ces places dans le marquage courant. Dans un tel réseau, les relations de chaque transition $a$ à l'ensemble des places $P=\{p_1,\ldots,p_n\}$ sont ainsi données par deux matrices de la forme $n\times n$, soit $A^-:\;P\times P\;\rightarrow\;\hbox{\it I\hskip -2pt N}$ et $A^+:\;P\times P\;\rightarrow\;\hbox{\it I\hskip -2pt N}$. La transition $a$ est tirable dans le marquage $M$ si et seulement si, pour tout $i$ compris entre $1$ et $n$:

$$M(p_i)\geq\sum _{j}(A^-(i,j)\times M(p_j))$$


Le marquage $M'$ atteint par tirage de la transition $a$ est alors défini pour tout $i$ compris entre $1$ et $n$ par:

$$M'(p_i)-M(p_i)\;=\;\sum_{j}(A^+(i,j)\times M(p_j))-\sum_{j}(A^-(i,j)\times M(p_j))$$


Les réseaux automodifiants stratifiés que nous avons étudiés sont des restrictions des précédents dont ils diffèrent par deux points. D'une part, ces réseaux sont des réseaux purs, d'autre part ils sont stratifiés: il existe un ordre partiel sur l'ensemble des places $P$ tel que le poids de l'arc reliant une place donnée à l'une quelconque des transitions soit uniquement fonction des places strictement inférieures. Dans un réseau automodifiant stratifié, les relations de chaque transition $a$ à l'ensemble des places $P=\{p_1,\ldots,p_n\}$ sont ainsi données par une unique matrice triangulaire $A$ ayant ses entrées dans $\hbox{\it I\hskip -4pt Z}$, soit $A:\;P\times P\;\rightarrow\;\hbox{\it I\hskip -4pt Z}$ avec $A(i,i)=1$ pour tout $i$ et $A(i,j)=0$ pour $i<j$. Etant donné la forme triangulaire des matrices, on peut voir un réseau stratifié comme un produit en cascade de réseaux de Petri purs. Le graphe de marquage d'un réseau stratifié est effectivement un produit en cascade de graphes de marquage de réseaux de Petri purs. Il semble que ces réseaux se prêtent assez bien à la description des systèmes à structure fluctuante rencontrés par exemple dans les applications coopératives, et nous espérons tirer parti de la forme triangulaire des matrices qui définissent ces réseaux afin d'obtenir pour ces systèmes des méthodes de vérification réalistes. Un seul aspect de ces réseaux, celui de la synthèse, a été traité. Ici encore, le problème de la synthèse a une solution en temps polynomial, mais le principe de l'algorithme est sensiblement modifié, car il peut être nécessaire de calculer plusieurs régions pour résoudre une seule occurrence de l'un des problèmes de séparation.

Réseaux et programmes synchrones

Dans le cadre d'une action concertée des projets EP-ATR et Paragraphe, une variante des réseaux stratifiés a été définie et utilisée par D. Harlet pour représenter les programmes du langage Signal. Dans ces réseaux, les transitions se font par paquets d'actions exécutés en deux phases: la phase d'initialisation produit un marquage inobservable, obtenu en remplissant les places de sortie des actions considérées, puis utilisé dans la phase de complétion pour évaluer les poids à prélever dans les places d'entrée. La sophistication de ces réseaux synchrones permet de douter de l'utilité de cette traduction de Signal en réseaux. D. Harlet étudie une autre traduction de Signal dans les Zero-Nets de Bruni et Montanari [BM97]. Ces réseaux sont des réseaux de Petri ordinaires, dans lesquelles on distingue simplement certaines places, appelées des zero-places, auquelles on demande d'être vides dans tout marquage observable (les autres marquages existent toujours, mais ne constituent pas des états stables). Ce travail est en cours de rédaction.

Réseaux et systèmes coopératifs

Les plus simples et les mieux maîtrisés des systèmes de travail coopératif sont les systèmes de gestion de flux de travaux (Workflow Management Systems), d'un usage assez répandu dans les grands services d'administration. Ces systèmes se prêtent très naturellement à la modélisation par des réseaux de Petri. En suivant van der Aalst [vdA97], on peut par exemple vérifier le bon fonctionnement d'un WMS en s'assurant que le rebouclage du réseau de Petri associé est un réseau vivant et borné. L'un des problèmes critiques des WMS est celui du changement dynamique, c'est à dire de la modification du système à chaud sans perturber la suite des travaux en cours. Ellis, Keddara et Rozenberg [EKR95] prouvent la correction vis à vis de ce critère de la règle de remplacement différé qui consiste, afin de remplacer un sous-réseau $A$ par un sous-réseau $B$,à dériver les entrées de $A$ vers les entrées de $B$ sans tuer $A$ immédiatement. Allant plus loin dans cette direction, on peut souhaiter qu'un WMS ait plusieurs modes de fonctionnement, choisis en fonction de conditions telles que la charge de travail, l'arrivée de tâches prioritaires, la période de l'année ou autre... L'une des façons d'aborder cet aspect est de considérer des réseaux de Petri augmentés de règles de récriture de sous-réseaux. Ces règles de récriture représentent les changements de modes. Un changement de mode s'opère en gelant le sous-réseau en partie gauche de la règle, en dégelant le sous-réseau en partie droite, et en versant les jetons de l'un à l'autre afin que les jetons ne soient jamais gelés et que le nombre total de jetons présents dans le système soit conservé. E. Badouel et J. Oliver ont montré que les techniques proposées par van der Aalst [vdA97] peuvent être étendus à ces réseaux évolutifs, qu'il est par ailleurs facile de traduire en des réseaux automodifiants faiblement stratifiés (les matrices triangulaires par lesquelles les actions sont représentées pouvant alors avoir des entrées diagonales autres que des $1$). Ce travail est en cours de rédaction.

Graphes reconnaissables et dépliage

Participants : Vincent Schmitt , Didier Caucal


Mots-clés : reconnaissabilité, décidabilité, dépliage


décidabilité: une théorie est décidable s'il existe une machine qui l'énumère et une autre qui énumère son complément
dépliage: opération produisant à partir d'une structure donnée une structure acyclique équivalente

Résumé : Deux études distinctes ont été menées sur la définition de la reconnaissabilité des graphes et sur la caractérisation des graphes reconnaissables. L'une des études concerne les graphes étiquetés dérivés de l'arbre binaire complet par substitutions rationnelles inverses. L'autre étude concerne les ordres partiels distributifs obtenus par réduction transitive des domaines de configurations de certains automates concurrents. Il a été montré que les automates trace stables et les automates trace pleins définissent pour ces ordres la même notion de reconnaissabilité. On trouvera aussi la présentation d'un travail en cours sur la notion de dépliage, visant à jeter les bases d'une théorie unifiée de la reconnaissance par des automates.

Reconnaissabilité des graphes

D. Caucal a étudié dans [12] la famille des graphes images de l'arbre binaire complet par substitutions rationnelles inverses (et accessoirement par restriction rationnelle sur l'ensemble des sommets). L'image inverse $h^{-1}(G)$ d'un graphe $G$ par une substitution rationnelle $h:T\rightarrow Rat(T^*)$ est un graphe construit sur le même ensemble de sommets, tel que $s \stackrel{t}{\rightarrow} s'$ soit un arc étiqueté par $t\in T$ si et seulement si l'une des chaînes menant de $s$ à $s'$ dans $G$ porte comme étiquette l'un des mots du langage rationnel $h(t)$.La famille de graphes ainsi construite contient strictement la famille des graphes équationnels (ou point fixes des systèmes d'équations sur les graphes définies par les règles des grammaires déterministes). Dans ce contexte, l'intérêt majeur des substitutions rationnelles inverses est de préserver la décision de la théorie du second ordre monadique: si la théorie monadique de $G$ est décidable, il en est de même pour la théorie monadique de $h^{-1}(G)$, et comme on sait (par le théorème de Rabin) que la théorie monadique du second ordre de l'arbre binaire complet est décidable, cette propriété s'étend à tous les graphes de la famille étudiée ($h^{-1}(G) \vdash P$ ssi $G \vdash h^*(P)$ où $h^*(P)$ est une formule de taille linéaire en la taille de la formule $P$).

Reconnaissabilité des dI-domaines cohérents

V. Schmitt a établi l'égalité des classes de domaines reconnus respectivement par deux types classiques d'automates concurrents: les automates trace stables et les automates trace pleins (ou systèmes de transitions asynchrones [Bed87]). Plus précisement, tout automate trace stable fini peut être simulé par un automate trace plein fini. Ce résultat, présenté dans [11] [13], conforte l'idée d'une notion robuste de reconnaissabilité des dI-domaines cohérents, indépendante du type d'automate utilisé. Les dI-domaines cohérents sont en effet connus pour être engendrés par les deux types d'automates considérés.

Une théorie du dépliage

Ce travail en cours, mené par V. Schmitt en collaboration avec le Professeur Anna Labella, de l'Université ``La Sapienza'' (Rome), a pour objet de définir un théorie du dépliage généralisant à la fois la théorie des espaces étales et la théorie des dépliages d'automates ou de graphes. Ces deux théories présentent en effet des analogies remarquables (revêtement universel $\sim$ automate déplié, connexité $\sim$ accessibilité...). L'enrichissement des bicatégories apparait comme le formalisme adéquat pour capturer la notion d' ``espace au dessus d'un autre''. La nature des espaces étudiés correspond au type de la bicatégorie de base. Les faisceaux de locales sont par exemple présentés par Walters [Wal81] comme des enrichissements particuliers de locales. Nous avons axiomatisé les enrichissements sur des sous-catégories de la bicatégorie des relations correspondant aux dépliages de graphes. Nous avons notamment obtenu le résultat fondamental suivant sur les changements de base: un 2-foncteur $F : {\cal A} \rightarrow {\cal B}$avec des ``adjoint locaux'' définit une adjonction entre les catégories des enrichissements respectivement sur ${\cal A}$ et sur ${\cal B}$. Ce résultat s'inspire des résultats obtenus par Kelly [Kel74] dans le cas des catégories monoïdales. Il donne, dans le cadre catégorique, une version généralisée du fait suivant: une fonction continue $f$ de $X$ vers $Y$ induit toujours une paire d'adjoints entre les catégories d'espaces étales sur $X$ et sur $Y$. Il nous reste à étudier précisément la signification de ce résultat dans le cadre de la théorie des graphes. Dans la suite, on souhaite aussi rechercher des conditions suffisantes pour l'existence d'enrichissements ``universels'' ou de ``plus grands dépliages'' (précisement: des objets initiaux). De telles conditions ont été déterminées pour les revêtements en topologie algébrique.

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