Fondements scientifiques

Notre activité repose avant tout sur l'existence de modèles mathématiques issus de la physique. Il s'agit d'équations ou de systèmes d'équations aux dérivées partielles de type hyperbolique (pour reprendre la terminologie mathématique). Les modèles de base, qui s'appuient sur une physique simplifiée, sont linéaires. Le prototype en est l'équation des ondes :

$\begin{displaymath}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} - c^2 \Delta u = 0,\end{displaymath}$

qui s'applique directement aux ondes acoustiques mais constitue un modèle scalaire simplifié pour les autres types d'onde. C'est pourquoi le développement de nouvelles méthodes numériques passe d'abord souvent par son application à l'équation des ondes. Une physique plus réaliste vient en général enrichir ces modèles de base et en accroître la complexité : conditions aux limites, termes non linéaires, termes intégro-différentiels, couplages de modèles,...

Il est commun de distinguer deux types de problèmes associés à ces modèles: les problèmes en temps (ou problèmes transitoires) et les problèmes en fréquence (ou problèmes harmoniques). Dans le premier cas, le temps fait explicitement partie des variables de l'inconnue du problème et on s'intéresse alors à un problème d'évolution. Dans le second cas, la dépendance en temps est imposée a priori, par l'intermédiaire de la source par exemple. Elle est supposée périodique en temps, et même harmonique : on cherche une solution proportionnelle à $e^{i \omega t}$ , où $\omega \gt 0$ désigne la pulsation (on parle aussi de fréquence). Le temps n'intervient alors plus que par l'intermédiaire de cette fréquence, qui joue le rôle de paramètre, et l'inconnue recherchée est une fonction des seules variables spatiales. Ainsi, l'équation des ondes donne naissance à l'équation de Helmholtz

$\begin{displaymath}- c^2 \Delta u - \omega^2 u = 0.\end{displaymath}$

Il convient de souligner que ces deux types de problèmes, bien qu'issus d'une même modélisation physique, ont des propriétés mathématiques radicalement différentes et nécessitent le développement de méthodes numériques adaptées. En outre, la justification mathématique précise du passage de l'un à l'autre s'avère souvent délicate. Enfin, signalons que les problèmes harmoniques n'ont, du moins en toute rigueur, plus d'objet dès que le modèle mathématique devient non linéaire.

Toutefois, il est un point commun entre ces problèmes : l'existence d'une dimension caractéristique qu'on appelle la longueur d'onde. Très intuitivement, cette dimension est la longueur sur laquelle la solution recherchée varie substantiellement (typiquement la période d'une solution périodique). Dans le cas d'une propagation en milieu hétérogène, il conviendra de parler de plusieurs longueurs d'onde, celle-ci pouvant varier d'une région de l'espace à l'autre. Sa connaissance a bien entendu une influence fondamentale sur les propriétés de la solution et donc sur le choix d'une méthode numérique. Un problème sera considéré comme de grande taille si le rapport entre la taille de ce problème (à savoir la taille du domaine de calcul dans le cas d'un problème harmonique ou la distance parcourue par l'onde pendant le temps d'intégration dans le cas d'un problème transitoire) et la longueur d'onde est grand.

Actuellement, on maîtrise bien les méthodes numériques pour résoudre les problèmes académiques ou industriels de base. Beaucoup de compagnies possèdent des codes de calcul s'appuyant sur des méthodes de nature diverse et de précision peu élevée (typiquement du second ordre par rapport aux paramètres de discrétisation). Ces méthodes sont fiables et leurs limites en général bien cernées. En revanche les problèmes plus complexes et plus proches des applications restent largement ouverts et constituent un champ d'investigation très fertile pour les mathématiques appliquées. Les recherches en Mathématiques Appliquées s'orientent maintenant dans les directions suivantes :

Concevoir de nouvelles méthodes plus précises et plus performantes
Traiter des modélisations de plus en plus complexes : modèles non locaux, modèles non linéaires, systèmes couplés,...
S'intéresser à des phénomènes spécifiques : ondes guidées, résonances, singularités de solutions
Développer des modèles approchés

C'est dans ce cadre que s'inscrivent les problématiques abordées par le projet Ondes.

Simulation précise et rapide pour la propagation d'ondes

Les problèmes auxquels on est souvent confronté sont de grande taille au sens où le rapport entre la taille du domaine de calcul (ou la distance parcourue par l'onde pendant la durée de la simulation en régime transitoire) et la longueur d'onde peut être grande. Dans ce cas, les méthodes évoquées plus haut tombent en défaut et des phénomènes parasites, tels que la dispersion numérique pour n'en citer qu'un, viennent gravement entacher la fiabilité des résultats. Par ailleurs, la grande taille des problèmes conduit à des calculs sur ordinateur à la fois longs et gourmands en place mémoire. Il est alors naturel de chercher alors à améliorer les méthodes numériques en termes de précision et d'efficacité, les deux allant d'ailleurs parfois de paire.

C'est dans cette perspective que se situent les travaux que nous menons sur les méthodes d'ordre élevé en régime transitoire, tant en ce qui concerne les différences finies que les éléments finis. L'utilisation de cette deuxième classe de méthodes pose le problème pratique de la condensation de masse, opération préliminaire indispensable pour aboutir à des schémas numériques explicites, propriété essentielle pour préserver l'efficacité de la méthode résultante. Le fondement mathématique de cette opération de condensation repose sur l'utilisation de formules de quadrature numérique. Celle-ci doit bien sûr se faire sans nuire à la précision et à la stabilité des calculs, ce qui pose des problèmes théoriques intéressants (dont la nature varie avec le modèle de propagation étudié) et à des méthodes originales.

Des questions analogues se posent en régime fréquentiel, le problème étant alors de diminuer la taille ou améliorer le conditionnement des problèmes à traiter. C'est dans cet esprit que se situent nos travaux sur les méthodes de décomposition de domaine, évoqués plus en détail dans le paragraphe Calcul parallèle.

Enfin, on peut être dans une situation où on ne s'intéresse qu'à une partie de la solution d'un problème, auquel cas on doit s'attacher à concevoir des méthodes adaptées à ce cas de figure, plus efficaces qu'une méthode générale. C'est le cas des équations paraxiales qui ont été conçues pour calculer de façon approchée la propagation d'une onde au voisinage d'une direction donnée, dans une direction privégiée. De tels modèles sont abondamment utilisés en géophysique (la direction privilégiée est la verticale) ou en acoustique sous-marine (la direction privilégiée est horizontale). L'analyse et l'approximation numérique de ces modèles correspondent à une problématique proche de celle du traitement des conditions aux limites absorbantes. (voir paragraphe 3.2)

Problèmes en géométrie complexe

Les géométries des domaines de calcul rencontrées dans les applications réalistes sont souvent complexes et ne peuvent se contenter de l'usage de maillages réguliers type différences finies. Les méthodes d'éléments finis sont en principe conçues pour pallier ce genre d'inconvénient mais ne constituent pas nécessairement la panacée pour toute les applications, notamment à cause de leur relative complexité en ce qui concerne l'implémentation et la gestion informatique. C'est pourquoi nous nous sommes lancés dans la recherche et l'étude de méthodes alternatives.

Les méthodes de domaines fictifs :Ces méthodes ont été popularisées en France par R. Glowinski initialement pour la résolution de problèmes statiques de type elliptique. Leur adaptation aux modèles d'évolution de nature hyperbolique se révèle particulièrement fructueuse. La philosophie de ces méthodes consiste, dans un premier temps, à plonger la géométrie complexe à traiter dans une géométrie simple (typiquement un carré ou un cube), puis à oublier la présence de la frontière réelle. Dans un second temps, on introduit une inconnue auxiliaire de calcul définie uniquement sur cette frontière afin de tenir compte si possible de la condition aux limites qui y est imposée. Ceci permet alors de travailler avec deux maillages de calcul quasiment indépendant, un maillage régulier pour le volume et un maillage conforme pour la frontière. Ceci permet en particulier de s'affranchir de la majeure partie des difficultés pratiques liées aux méthodes d'éléments finis. D'un point de vue théorique, l'analyse de ces méthodes pose des questions délicates liées à la théorie des problèmes de point selle. Signalons que ces méthodes semblent particulièrement bien adaptées pour le traitement de fissures, pour les problèmes de diffraction par des obstacles mobiles ou encore pour les problèmes d'optimisation ou d'identification de formes.
Les méthodes de raffinement de maillages :Ces méthodes présentent surtout un intérêt dans le contexte de l'utilisation de méthodes de différences finies. La question majeure qui se pose est la suivante : comment raccorder deux (ou plus) maillages de tailles différentes de façon stable et précise ? Dans le cas des problèmes elliptiques statiques (où pour les problèmes dans le domaine fréquentiel), les méthodes dites d'éléments joints, notamment développées en France par Y. Maday, apportent une solution élégante à cette question. Cette solution n'est pas suffisante pour les problèmes de propagation d'ondes où l'utilisation d'un pas de temps local est souhaitable : on diminue le pas de discrétisation en temps là où on raffine le maillage en espace. Dans ce cas, le problème reste largement ouvert et les solutions heuristiques développées par les ingénieurs manquent de fondements scientifiques. Leur étude requiert des techniques d'analyse relativement peu standard et pose des questions de stabilité qui sont nouvelles.

Résolution de Problèmes en milieux non bornés

De nombreux problèmes de propagation d'onde se posent en milieu non borné ou du moins très grand par rapport à la zone d'intérêt: nous pensons par exemple aux problèmes de la diffraction d'une onde électromagnétique par un avion ou à la propagation d'une onde élastique dans le sous-sol. Pour des raisons pratiques évidentes, on est amené à réduire les calculs effectifs à un domaine borné en espace. Se pose alors le problème du traitement de la frontière artificielle ainsi introduite afin de simuler le fait que le milieu de propagation réel est infini. C'est ce qui amène à introduire les notions de conditions aux limites transparentes ( i.e. qui n'ont pas d'influence sur la solution), de conditions aux limites absorbantes (conditions aux limites qui sont censées "laisser sortir" les ondes du domaine de calcul en minimisant les réflexions parasites) ou de couches absorbantes (des petites bandes qui sont rajoutées autour du domaine de calcul dans lesquelles on travaille avec un modèle mathématique qui permet de laisser rentrer les ondes dans la couche puis les absorbe).

Il s'agit d'un thème à la fois important et délicat qui passionne les mathématiciens appliqués depuis près de vingt ans, et auquel les chercheurs du projet contribuent de façon substantielle. Ce sujet est étroitement lié sur le plan théorique aux notions d'opérateurs pseudo différentiels et de leur approximation ainsi qu'à la théorie des problèmes hyperboliques mixtes.

Modèles asymptotiques ou approchés

Dans de nombreux problèmes, on a à faire face à un ou plusieurs petits paramètres, souvent de nature géométrique : nous pensons par exemple à l'épaisseur du revêtement absorbant d'un obstacle réfléchissant que l'on cherche à rendre furtif, à celle d'une couche de colle entre deux solides, au rayon d'une structure filaire intervenant comme élément d'une antenne ou à la période de variation d'un milieu hétérogène. Cette dimension caractéristique liée au problème considéré peut être petite devant la longueur d'onde, auquel cas sa prise en compte par des techniques de discrétisation classique est déraisonnable et coûteuse, mais néanmoins avoir une grande influence sur la solution du problème, ce qui rend nécessaire d'en tenir compte. Une idée relativement naturelle consiste alors à développer des modèles approchés fondés sur un développement asymptotique de la solution par rapport au petit paramètre: on aboutira alors selon les cas à une condition aux limites dite équivalente ou effective pour le revêtement absorbant, à une condition de transmission équivalente pour la couche mince, à une équation intégrale filaire dans le cas de l'antenne où à un modèle homogénéisé dans le dernier cas. Dans chaque cas, la résolution numérique du nouveau problème se révèle plus simple (gain d'une ou plusieurs dimensions d'espace, coefficients localement constants,...). La justification mathématique de ces modèles approchés passe par l'attirail classique en analyse numérique : caractère bien posé des problèmes approchés, stabilité par rapport au petit paramètre, estimations d'erreur. Dans le cas des couches minces, on est confronté alors à des difficultés proches de celles rencontrées avec les conditions aux limites absorbantes.

Signalons que des techniques analogues peuvent être développées dans des cas ou le petit paramètre n'est pas nécessairement de nature géométrique. Nous pensons d'une part aux problèmes basse fréquence, ou aux problèmes non linéaires avec données petites.

Hautes fréquences

Cette problématique aurait pu figurer dans la rubrique méthodes asymptotiques : en effet, il s'agit de s'intéresser à des problèmes de propagation dans lesquels la longueur d'onde générée se révèle très petite vis à vis des dimensions du domaine de calcul, ce qui fournit donc un petit paramètre naturel pour un développement asymptotique. Toutefois, la nature des phénomènes engendrés par ce petit paramètre est tellement spécifique qu'elle nécessite un traitement totalement à part : il s'agit d'imaginer une méthode permettant le calcul d'une solution très oscillante en espace. L'idée, maintenant ancienne, consiste à séparer le calcul de la phase et celui de l'amplitude à partir de l'ansatz dit de l'optique géométrique (voir les travaux initiaux de J.B. Keller) qui consiste à postuler que la solution s'écrit comme le produit d'une exponentielle complexe à phase réelle par une amplitude qu'on développe suivant les puissances inverses de la fréquence. On aboutit alors à une équation pour la phase, appelée équation Eikonale, et à une équation pour le premier terme du développement de l'amplitude, l'équation de transport. C'est la résolution de ces équations qui a donné à la méthode bien connue dite du tracé de rayons, méthode répandue dont les limites dépassent toutefois le simple cadre des hautes fréquences : coefficients variables non réguliers, problème des caustiques, zones d'ombre...

Depuis quelques années, un nouveau courant est né dans le monde de l'analyse numérique, qui consiste à s'intéresser directement à l'équation Eikonale en tant qu'équation aux dérivées partielles. Il s'agit d'une équation non linéaire de type Hamilton-Jacobi pour laquelle il est naturel de chercher à exploiter la récente théorie des solutions de viscosité de P.L. Lions. C'est dans ce cadre que nous axons nos recherches dans ce domaine.

Une deuxième idée a récemment vu le jour. Elle consiste à exploiter la théorie dite des limites semi-classiques fondé sur l'usage de la transformée de Wigner. Appliquée à l'équation des ondes, cette technique permet d'une part de retrouver le modèle asymptotique des rayons (travaux de Gerard, Markowitch, Moser et Poupaud) et d'autre part de dériver une équation de type Liouville pour une densité liée à la solution de l'équation de Helmholtz. Ceci permet d'espérer la mise au point d'une méthode particulaire consistante à la limite en fréquence avec le lancer de rayons et exacte à fréquence finie.

Milieux complexes

Pour traiter des milieux réels, on est inévitablement amené à traiter ce que nous appellerons des milieux complexes. Par ce terme, nous entendons des milieux qui se révéleront être hétérogènes (coefficients variables, éventuellement discontinus - présence de fissures) ou obéir à une loi de comportement (mécanique ou électromagnétique) complexe : loi non locale en temps ou en espace, loi non linéaire. De tels propriétés induisent des phénomènes spécifiques de nature variée (singularités, absorption intrinsèque, dispersion intrinsèque...) qui correspondent à des difficultés nouvelles sur un plan mathématique ou numérique. Dans ce cas de figure, il est difficile de dégager une méthode générale. On a affaire à des problèmes dont la théorie est inexistante ou mal connue, pour lesquels les méthodes numériques sont balbutiantes. Il faut alors trouver la solution ad hoc pour chaque cas de figure.

Le guidage des ondes

Les ondes guidées sont des solutions très particulières des modèles de propagation d'ondes : ce sont des ondes qui se propagent dans une direction privilégiée et dont l'énergie reste confinée dans une région bornée dans les directions orthogonales à cette direction privilégiée (directions transverses). Ceci n'est en général rigoureusement possible que si le milieu de propagation a une structure cylindrique (on parle alors de guide d'ondes). Toutefois, les ondes guidées décrivent bien les phénomènes que l'on observe dans des structures ``presque cylindriques'', situation qui se rencontre fréquemment dans les applications. Une des caractéristiques de ces ondes est d'être généralement dispersives (la vitesse de propagation dépend de la longueur d'onde) et ce même lorsque le modèle de propagation ne l'est pas intrinsèquement. On a l'habitude de distinguer les guides d'ondes fermés qui correspondent au cas où le confinement de l'énergie transverse est simplement dû au fait que le milieu de propagation est borné dans les directions transverses des guides d'ondes ouverts qui correspondent au cas où, le milieu de propagation étant non borné dans les directions transverses, le confinement de l'énergie est dû à un mécanisme physique qui dépend des propriétés du modèle de propagation. Ce sont bien entendu les guides ouverts qui posent les questions les plus intéressantes (mais aussi les plus difficiles) d'un point de vue scientifique, tant au plan physique que mathématique et numérique.

L'analyse de ces phénomènes revêt une importance fondamentale soit parce qu'il y a dans la nature des ondes guidées auquel l'homme se trouve directement confronté (ondes de surface lors des tremblement de terre, ondes de gravité captées par la côte,...) soit parce que l'homme va chercher à maîtriser et exploiter de telles ondes, notamment dans le domaine des télécommunications (fibres optiques,...). Mathématiquement, l'étude des guides d'ondes nécessite une parfaite maîtrise de la théorie spectrale des opérateurs auto adjoints et numériquement elle fait appel à beaucoup d'ingrédients utilisés par ailleurs (conditions aux limites artificielles, équations intégrales, éléments finis,...) mais aussi à des outils plus spécifiques ( algorithmes de calcul de valeurs propres, résolution d'équations non linéaires,...), autant d'aspects sur lesquels le projet a acquis une expertise internationalement reconnue.

Enfin, au delà de l'étude intrinsèque des guides d'ondes, il est fondamental, notamment pour les applications technologiques, d'être capable d'étudier leur interaction avec d'autres milieu de propagation (guides d'ondes débouchant sur des milieux ouverts, couplage de guides...), voire d'optimiser ces guides.

Résonances

Les fréquences de résonance constituent une notion qui est facilement accessible à l'intuition, mais délicate à définir proprement sur le plan mathématique surtout lorsqu'elles sont associées à des problèmes de propagation en milieu non borné (ce qui constitue le cas intéressant scientifiquement). Ces fréquences sont intimement liées au développement de la théorie du ``scattering'' (travaux de Lax et Phillips) : ce sont des nombres complexes qui apparaissent comme les pôles du prolongement méromorphe d'une famille d'opérateurs dépendant de la fréquence réelle $\omega$ (ces opérateurs sont encore appelés matrices de Scattering).

Physiquement, on appelle souvent fréquences de résonance, les fréquences pour lesquelles la réponse d'un milieu ou d'un objet soumis à une excitation périodique en temps présente brutalement un maximum : on dit alors que le milieu (ou l'objet) rentre en résonance, phénomène auquel chacun est un jour ou l'autre confronté dans la vie courante. Le lien avec les pôles de résonance introduits plus haut est le suivant: ces fréquences physiques correspondent aux parties réelles des pôles, l'amplitude de la réponse étant elle directement reliée à la partie imaginaire des pôles (plus grande est celle-ci, plus faible est la réponse). On comprend alors l'importance pour les applications de la connaissance de ces pôles (détection radar, stabilité d'un navire soumis à la houle, instruments de musique,...). En outre, les fréquences de résonance complexes permettent de décrire (à l'aide d'exponentielles complexes) le comportement aux temps longs de problèmes de propagation en milieu ouvert : elles sont donc potentiellement exploitables pour un calcul en transitoire.

Méthodologiquement, l'approche numérique des problèmes de résonances n'est pas sans point commun avec celle des problèmes d'ondes guidées mais présente des aspects très spécifiques, qui demandent de bien connaître la théorie des fonctions de la variable complexe, et des difficultés nouvelles (opérateurs non auto-adjoints, recherche de zéros dans le plan complexe,...)

Ondes non linéaires

Si depuis toujours, les phénomènes non linéaires ont intéressé mathématiciens phycisiens et chimistes, ce n'est qu'assez récemment que des outils puissants d'analyse ont vus le jour et ont permis d'en mieux comprendre les effets. Dans le domaine des ondes, les non linéarités se rencontrent fréquemment. Citons par exemple, les solitons qui se propagent dans les canaux peu profonds sans se déformer sur des distances considérables ou encore les oscillations étranges de la concentration chimique dans les mélanges de bergobenzine de palladium. Les problèmes non linéaires jouent également un rôle important en Physique fondamentale et devraient être à la base des théories du futur. La construction de modèles numériques fiables et bien maîtrisés peut s'avérer très intéressante et contribuer à enrichir notre compréhension de leur comportement si souvent difficiles à appréhender par manque de solutions analytiques. Le modèle numérique devient alors un instrument de laboratoire virtuel qui permet d'expérimenter et d'explorer les potentialités des systèmes d'équations et de voir leur adéquation à la réalité. Ils peuvent également servir à l'inspiration des théoriciens en les guidant quant aux types de résultats susceptibles d'être démontrés.

Calcul parallèle

Comme dans beaucoup d'autres disciplines du Calcul Scientifique, il est naturel de chercher à exploiter pour la résolution des problèmes d'ondes les possibilités offertes par les outils de calcul parallèle. Dans certains cas, la parallélisation se fait de façon naturelle (parallélisation sur les fréquences, sur les sources,...). Dans d'autres cas, nous pensons surtout aux schémas explicites pour les simulations transitoires, cette parallélisation ne pose pas de problème conceptuel mais nécessite une utilisation optimale et astucieuse de l'outil informatique. Dans d'autres cas enfin, nous pensons ici notamment aux problèmes de grande taille posé dans le domaine fréquentiel, il faut développer de nouvelles techniques de Calcul Scientifique. Parmi ces techniques, les méthodes de décomposition de domaine, déjà largement utilisées dans d'autres domaines de la physique, occupent une place privilégiée. Toutefois, les méthodes classiques, qui s'appliquent essentiellement aux problèmes dits coercifs, ne s'appliquent pas directement aux modèles de propagation en fréquence type Helmholtz. C'est la raison pour laquelle le développement de méthodes de décomposition de domaine pour de tels modèles constitue un champ de recherches à part entière.

Précédent : Présentation générale et objectifs Remonter : Projet ONDES, Modélisation et Simulation Suivant : Grands domaines d'application