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Le principal thème de recherche d'OMEGA est l'analyse de méthodes numériques probabilistes, avec deux champs d'application privilégiés : la résolution d'équations aux dérivées partielles non linéaires et la modélisation et la simulation en mathématiques financières. Les méthodes que nous étudions impliquent la simulation de processus stochastiques. L'analyse numérique de ces méthodes en est encore à ses débuts, alors qu'elles sont utilisées dans l'ingéniérie de pointe de secteurs industriels divers (secteurs nucléaire et bancaire par exemple) pour résoudre des problèmes complexes ou de grande dimension.
En ce qui concerne la résolution probabiliste d'équations aux dérivées partielles non linéaires, OMEGA étudie les méthodes de Monte-Carlo, les méthodes particulaires stochastiques et les méthodes ergodiques. Actuellement nous nous intéressons essentiellement à leurs applications aux équations de la Mécanique des fluides (Burgers, Navier-Stokes, etc.), aux équations du transport neutronique et aux modèles aléatoires de la turbulence ; certaines équations linéaires servent de problèmes de laboratoire pour l'étude des difficultés spécifiques liées aux conditions aux bords, aux dégénérescences des opérateurs différentiels sous-jacents, aux phénomènes de fausses convergences, etc. Nous effectuons des études d'erreur d'approximation non asymptotiques afin de donner des bornes pour l'erreur correspondant à tout choix des paramètres numériques : nombre de particules, pas de discrétisation en temps, temps d'intégration, nombre de simulations, etc. En amont, l'étape-clef consiste à interpréter l'algorithme comme la discrétisation d'une représentation probabiliste de la solution de l'EDP : une part de l'activité d'OMEGA concerne donc l'élaboration de représentations probabilistes appropriées. En aval, les estimations théoriques de vitesse de convergence sont systématiquement confrontées aux simulations numériques.
En mathématiques financières et en actuariat, OMEGA s'intéresse plus particulièrement aux méthodes de Monte-Carlo et aux modèles de marché. Les problèmes abordés actuellement concernent essentiellement l'évaluation numérique de prix d'actifs complexes, la robustesse des stratégies de couverture des produits dérivés par rapport aux erreurs de modélisation et le calcul de stratégies de gestion du risque. Les modèles financiers posent des problèmes d'approximation spécifiques : simulation de fonctionnelles << path dependent >>, calcul de dérivées d'espérances de ces fonctionnelles. OMEGA s'intéresse aussi à la définition de mesures de risque utilisables en pratique et cohérentes avec un modèle mathématique du marché. Nous étudions également des problèmes d'adossement et de risques de défaut de trésorerie. Un accent particulier est porté sur la confrontation des modèles et des résultats numériques avec les données réelles.
Enfin, OMEGA étudie les performances sur architectures parallèles des algorithmes développés et analysés. En effet, si les méthodes de Monte-Carlo sont souvent très bien adaptées à la programmation parallèle, des études spécifiques sont nécessaires pour les méthodes qui font intervenir la simulation de particules dépendantes ou de processus à temps de vie aléatoire.
La théorie des processus stochastiques, en particulier
l'approximation de processus, est l'outil mathématique essentiel
et commun à tous les problèmes traités.
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