Grands domaines d'application

Méthodes numériques probabilistes en ingéniérie

Les méthodes numériques probabilistes sont utilisées dans des domaines variés. Nous avons abordé les sujets suivants : les calculs de criticité pour des modèles de transport neutronique par méthodes de Monte-Carlo, la simulation de modèles stochastiques d'écoulements turbulents, les simulations moléculaires de chaînes de polymères, les méthodes de vortex aléatoire pour la résolution des équations de la Mécanique des Fluides. Pour beaucoup de ces questions, un cadre général de travail est la résolution numérique probabiliste d'équations aux dérivées partielles de type équation de McKean-Vlasov :

$\begin{equation}\left \{\begin{array}{ll}\displaystyle{\frac{\partial U_t}{\... ...hrm{I\!R}}^d\times]0,T],\\ U_{t=0}\:=\:U_0. \end{array} \right .\end{equation}$

La fonction $b(\cdot,\cdot)$ à valeurs dans ${\mathrm{I\!R}}^d$ qui intervient dans la partie non linéaire de l'équation est appelée noyau d'interaction. L'équation ci-dessus est considérée au sens des distributions. La théorie probabiliste de la propagation du chaos montre que la solution

s'interprète à l'aide de la loi limite d'un système de particules interagissant entre elles. La dynamique des particules est décrite par le système différentiel stochastique de dimension $N\times d$

$\begin{eqnarray}\left \{\begin{array}{ll}X^{i}_t =\displaystyle{\int_0^t}\di... ..._0,~\hbox{ind\'ependante de } X^j_0,~i\not=j.\end{array} \right .\end{eqnarray}$

La propagation du chaos implique la convergence au sens des mesures, quand N tend vers l'infini, de la mesure empirique $1/N\sum_{i=1}^N\delta_{X^{i}_t}$ vers

. En particulier, un lissage par convolution de la mesure empirique converge vers la fonction

. À partir de cette interprétation probabiliste, on développe un algorithme d'approximation de

fondé sur la simulation du système de particules $(X^{i}_t,1\leq i\leq N)$ ; la mesure initiale

est approchée par une combinaison linéaire de masses de Dirac, ce qui fournit les positions initiales des particules, qu'on déplace en simulant une (et une seule) réalisation approchée du système $(X^{i}_t,1\leq i\leq N)$ ci-dessus.

La complexité de l'analyse de la vitesse de convergence dépend essentiellement de la singularité éventuelle du noyau d'interaction $b(\cdot,\cdot)$ .Pour la plupart des équations provenant de problèmes physiques (et en particulier pour l'équation de Navier-Stokes), le noyau d'interaction est singulier.

Mathématiques financières

Le projet s'intéresse à divers aspects des mathématiques financières, liés principalement à l'évaluation et à la couverture des options d'une part, à la gestion de portefeuilles ou de bilans d'autre part.

Un premier champ de recherches concerne l'étude de stratégies de gestion de portefeuilles d'options correspondant à des actifs sous-jacents dont les volatilités sont des processus stochastiques à valeurs dans des intervalles bornés. Le marché est incomplet, il n'existe donc pas de stratégie de couverture parfaite. Il semble particulièrement intéressant de pouvoir calculer la plus faible valeur initiale des stratégies conduisant à des portefeuilles dont la valeur à l'échéance majore le payoff d'une option donnée, et ceci pour tout état futur du marché ou bien pour tout état appartenant à un ensemble pertinent en pratique.

Un autre champ de recherches concerne le calcul numérique de prix d'options complexes par des méthodes de Monte-Carlo, la simulation de bilans correspondant à des stratégies de gestion ou de couverture mal spécifiées, la gestion de portefeuilles sous contraintes. Ces questions motivent, par exemple, des études spécifiques sur l'approximation en loi de fonctionnelles diverses (et irrégulières) de solutions d'équations différentielles stochastiques.

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