Actions industrielles

Techniques de gestion de portefeuilles

Participants : Véronique Lesourd , Patrick Seumen Tonou , Denis Talay

Mots-clés : mathématiques financières

Dans le cadre de la collaboration commencée en septembre entre la société SIP et le projet Omega, un premier objectif est de réaliser une étude sur l'utilisation des modèles dynamiques stochastiques pour améliorer les techniques d'aide à la gestion passive de portefeuilles actuellement utilisées par les gérants. Outre des problèmes de modélisation, on a commencé à aborder des questions de résolution numérique de problèmes de contrôle stochastique. On a notamment étudié un exemple de gestion passive : la gestion indicielle tiltée. L'objectif de ce type de gestion est de battre la performance d'un indice sur un horizon T donné (de l'orde de 3 mois).

Les résultats de ces travaux seront intégrés dans les futurs développements des logiciels SIP de gestion de portefeuilles.

Risklab

Participants : Claude Martini , Denis Talay , Pierre Vallois

Le projet collabore avec l'université de Lausanne (R. Gibson, F-S. Lhabitant) et l'assocation Risklab qui réunit notamment les plus grandes banques suisses (Crédit Suisse, S.B.S., U.B.S.). L'E.T.H. Zurich (F. Delbaen, P. Embrechts) est associé aux activités de Risklab. L'objectif de la coopération est d'élaborer des mesures de risque pour la gestion de portefeuilles de produits dérivés sur taux d'intérêt. Ce thème est crucial pour les praticiens : en effet, des encours importants sont gérés sur les marchés dérivés avec des stratégies dont le comportement est parfaitement identifié au sein d'un modèle probabiliste donné, modèle qui ne peut être qu'une idéalisation mathématique ou une description imparfaite du marché financier. L'étude théorique du risque résiduel dû à l'erreur de couverture est relativement récente (thèses de C. Gallus et de C. Martini, 1996) et n'en est qu'à ses débuts.

La théorie de l'évaluation d'options sur taux d'intérêt est un peu moins mûre que celle des options sur actions, et un premier travail a consisté à clarifier les relations entre les nombreuses façons de spécifier une dynamique stochastique de la courbe des zéro-coupons (F-S. Lhabitant, C. Martini). De plus, on a tenté d'appliquer aux taux d'intérêt l'approche d'incertitude sur la volatilité d'Avellaneda et Lyons. C. Martini et A. Reghai (stagiaire de l'École des Mines et du DEA d'Automatique et de Traitement du Signal d'Orsay) ont amélioré des résultats d'Avellaneda sur cette question en relaxant une hypothèse peu réaliste d'homogénéité de la structure par terme de la volatilité. Dans le cas des options sur zéro-coupons, le plus petit prix d'une surstratégie compatible avec l'incertitude sur la volatilité est obtenu comme solution d'une EDP parabolique non linéaire. On gagne une dimension sur l'EDP obtenue par Avellaneda pour les cas des options sur action. D'autre part, C. Martini et P. Vallois étudient la loi des Profits&Loss associés à la gestion delta-neutre d'une option obligataire dans l'esprit de la thèse de C. Gallus. En parallèle, à l'aide de calculs de Monte-Carlo, R. Gibson, F-S. Lhabitant, N. Pistre et D. Talay étudient numériquement la loi jointe du temps de faillite et des Profits&Loss d'une telle stratégie.

C. Martini, N. Pistre, D. Talay, P. Vallois ont participé aux réunions de travail de Risklab à Zurich.

Collaboration avec le CCF

Participants : Claire Gauthier , Nathalie Pistre , Denis Talay

C. Gauthier vient de commencer sa thèse au CCF avec une bourse CIFRE et OMEGA comme laboratoire d'accueil. L'encadrement est assuré par N. Pistre et D. Talay.

Collaboration avec EDF-Chatou

Participants : Mireille Bossy , Madalina Deaconu , Denis Talay , Olivier Vaillant , Pierre Vallois

En collaboration avec Jean-Pierre Minier (EDF-Chatou), on développe des schémas d'intégration numérique pour les équations différentielles stochastiques qui sont utilisées pour la modélisation et la simulation numérique des écoulements diphasiques selon l'approche Lagrangienne et pour les écoulements turbulents réactifs selon la méthode dite PDF (Probability Density Function).

Les écoulements turbulents forment la grande majorité des écoulements. Il existe plusieurs approches pour leur prédiction numérique. Parmi celles-ci, l'approche habituelle consiste à déduire des équations instantanées les équations sur les moments (moments d'ordre deux pour le modèle dit $R_{ij}-\epsilon$ ). Des termes inconnus apparaissent qu'il faut fermer avant de résoudre le système d'équations. Une solution attrayante (et quelque peu intermédiaire entre l'approche classique et des approches plus fondamentales comme la DNS ou la LES) est fournie par la méthode dite PDF qui est suivie depuis peu à EDF. En pratique, cela consiste à adopter un point de vue Lagrangien et à simuler le comportement instantané d'un grand nombre de particules. Cette approche traite la convection et les termes sources, même fortement non linéaires, de façon exacte et donne accès à tous les moments en un point. Elle se révèle donc intéressante pour les problèmes à physique complexe qui nécessite une information sur les grandeurs turbulentes plus détaillée que celles issues de l'approche classique.

Le même type de modèle est utilisé dans l'approche Lagrangienne pour la modélisation des écoulements diphasiques à inclusions dispersées. Dans cette approche, on simule directement la dynamique d'un grand nombre de particules solides. La dispersion turbulente est prise en compte en introduisant des modèles pour les vitesses fluides instantanées le long des trajectoires des particules solides. Ces modèles sont des extensions ou des généralisations de ceux qui interviennent dans la méthode PDF.

Les systèmes différentiels stochastiques décrivant la dynamique des particules présentent de multiples singularités. En conséquence, un travail important est fourni pour le développement et l'analyse de schémas numériques pouvant satisfaire à un compromis entre la précision numérique, la (relative) simplicité de mise en oeuvre et la stabilité numérique par rapport à certains paramètres physiques.

Un exemple d'analyse (théorique) effectuée est le suivant. Il s'agit d'un problème rencontré lors de la simulation numérique d'une équation différentielle stochastique bidimensionnelle. Il a été abordé par S. Wantz-Mézières dans sa thèse. Dans le modèle considéré, les fonctions de dérive et de diffusion peuvent prendre de très grandes valeurs en certains points, ce qui rend la simulation impossible localement. Le système différentiel traité est du type

$\begin{displaymath} \left\{\begin{array} {rcl} X_t^{1,\varepsilon} & = & \displ... ...{1,\varepsilon}_s, Y^{1,\varepsilon}_s)\, ds}\end{array}\right.\end{displaymath}$

où $\displaystyle\phi$ est une fonction lipschitzienne et minorée. Le problème est résolu en faisant effectuer un saut au processus bidimensionnel en zéro. On est ainsi amené à étudier la loi limite de $\displaystyle Y^{1,\varepsilon}_{T^{1,\varepsilon}}$ lorsque $\displaystyle\varepsilon\rightarrow0$ ,où $\displaystyle T^{1,\varepsilon}:=\mbox{inf}\{\,t\geq 0;~X^{1,\varepsilon}_t=\varepsilon^2\}$ .

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