Projet Numath

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Résultats nouveaux

Problèmes Non Linéaires en électromagnétisme

Résumé : Nous étudions deux domaines où le champ électromagnétique joue un rôle important. Le premier concerne le traitement des métaux liquides par champ magnétique (brassage, chauffage, guidage...). le deuxième concerne le déplacement de particules chargées qui est un enjeu important pour les problèmes de fusion.

Traitement électromagnétique de métaux liquides : la modélisation, l'approximation numérique



Participants : Jean-Pierre Brancher , Olivier Coulaud , Marc Garbey , Michel Pierre , Laurence Viry


Nous avons étudié en détail le comportement asymptotique des systèmes Navier-Stokes Maxwell lorsque la fréquence imposée tend vers l'infini. Ceci nécessite l'introduction de deux échelles de temps (magnétique et hydrodynamique). Nous avons complètement décrit le modèle limite à l'ordre 1 pour les conducteurs solides [9] ainsi que pour un conducteur liquide, mais avec un nombre de Reynolds faible. Dans ce dernier cas, nous avons justifié le domaine de validité du modèle magnétostatique souvent utilisé dans le cadre de la haute fréquence [44].

Pour les conducteurs solides, nous avons développé avec MODULEF une méthode de décomposition de domaines utilisant la méthode de Schwarz pour résoudre dans la couche limite dans le métal et la méthode de Funaro-Quarteroni pour le problème de transfert [34].

L'approche numérique du modèle fluide-électromagnétisme a commencé dans le cas bidimensionnel. L'algorithme numérique pour le modèle à frontière libre complet Navier-Stokes Maxwell avec petit paramètre en potentiel-tourbillon a été réalisé. Pour une résolution parallèle de ce modèle, on se ramène à des opérateurs simples ($I-\epsilon \Delta$, $-\Delta$) ; pour ces opérateurs, nous avons testé les modules de la bibliothèque "Tryphon" développée par l'équipe de Marc Garbey à Lyon. Ces tests montrent que l'algorithme développé en [34] est plus performant. Le développement du modèle complet à partir de la bibliothèque (modulef) est en cours. La détermination de la frontière libre du métal liquide sera traitée par un algorithme génétique.

Problèmes liés aux plasmas : approximation numérique



Participants : Pierre Bertrand , Jean-Rodolphe Roche , Eric Sonnendrücker


Etude de la turbulence dans les plasmas à confinement magnétique.

Ce problème lié à l'obtention d'énergie par fusion fait partie des "Grands Challenges" numériques aux Etats-Unis et est étudié de manière originale par P. Bertrand et son équipe. Nous avons joint nos efforts à ce projet depuis un an et obtenu des résultats prometteurs concernant la justification mathématique des modèles utilisés par des techniques d'homogénéisation [33]. Ces résultats théoriques sont liés directement au traitement numérique de problèmes faisant intervenir des échelles multiples [24]. Nous avons également écrit un code fortran 90 orienté objet parallèle optimisé pour l'origin 2000 du CCH pour la simulation numérique.

Résolution numérique d'EDP au voisinage de coins rentrants.

De manière générale, la solution d'une edp dans un domaine avec un coin rentrant présente une singularité. Numériquement pour obtenir une solution ``correcte'' il est nécessaire, soit de raffiner considérablement au voisinage du coin rentrant, soit d'utiliser des fonctions de base comprenant la partie principale des singularités. Dans les deux cas, le coût du calcul est considérable : grand nombre de noeuds dans le premier cas, fonction de base non locale dans le second cas.

Pour les équations de Maxwell, nous avons pu obtenir une décomposition de la solution en une partie singulière et une partie régulière et caractérisé cette décomposition dans le cas général 3D [7]. L'implantation numérique de la méthode liée à cette décomposition est en voie d'achèvement pour le 2D. Cette méthode numérique, développée en 2D, n'est pas extensible directement en 3D où l'espace vectoriel des solutions singulières est de dimension infinie. Notre objectif est de trouver une méthode numérique générale pouvant traiter ce genre de problèmes.

Etude numérique du déplacement de particules chargées.

Nous participons avec le Forschungszentrum Karlsruhe au développement d'un code volume fini PIC. En collaboration avec M. Dubuit et L. Viry du CIRIL[*] nous avons entrepris le développement d'un code PIC en C++ qui sera flexible et permettra d'incorporer et de tester diverses méthodes numériques ainsi que de traiter une large palette de problèmes physiques liés au plasmas.

Contrôle et identification de formes

Résumé : Nous sommes intéressés par les problèmes d'optimisation de formes issus d'optimisation de structures en mécanique de solides et des problèmes à frontière libre. Nous étudions les conditions d'optimalité pour les problèmes définis sur des surfaces en dimensions 3. D'autre part, on développe des méthodes de type Newton avec des convergences superlinéaires pour traiter les problèmes d'optimisation des formes en trois dimensions.

Aspects théoriques généraux.



Participants : Mohamed Hayouni , Michel Pierre , Jan Sokolowski


Dérivation

Un des problèmes inportants en optimisation de structures (mécanique des solides) est l'optimisation topologique. Une notion nouvelle dans le cas de l'optimisation de forme est introduite, il s'agit de la dérivée topologique, pour des fonctionnelles dépendant de la forme en élasticité. Cette notion de dérivée permet de localiser le lieu géométrique de la structure où peut apparaître un trou [43]. Des applications sont données pour des équations elliptiques et un système d'élasticité en dimension 2.

Conditions d'optimalité.

Pour un problème en optimisation de coques minces nous étudions, [1] et [19], les conditions nécessaires et suffisantes d'optimalité ; de plus, nous donnons une caractérisation de la dérivée seconde.

Dans les conditions d'optimalité du 1 ordre et du 2 ordre, il est important de connaître la forme explicite des ensembles tangents. Nous caractérisons, [41], à l'aide de la théorie non linéaire du potentiel les cônes tangents dans les espaces de Besov pour des convexes déterminés par des ``obstacles''. Plus précisement pour l'espace $B=\{u\in W^{1,\infty}(\Omega)\vert\vert\nabla u\vert^{2}\leq 1\}$ , nous calculons, [27], les ensembles tangents d'ordre un et deux.

Le comportement asymptotique

des solutions optimales pour un problème d'optimisation d'un arc chauffant (par exemple sur un pare-brise de voiture) est étudié, d'abord dans le cas stationnaire, puis dans le cas évolutif où nous montrons que la solution optimale pour un temps $T$ converge quand $T$ tend vers l'infini vers la solution optimale stationnaire [12].

Régularité et continuité par rapport à la forme.

De nouveaux résultats sur deux questions distinctes liées à l'optimisation de formes sont présentés dans [2]. Tout d'abord, un résultat de régularité pour la solution de l'équation d'état d'un problème d'optimisation de formes (lié au formage électromagnétique de métaux liquides): il est établi qu'en toute dimension, sous une hypothèse de positivité, la solution est lipschitzienne. Ceci prouve, en particulier, que la forme optimale associée est un ouvert ce qui est un pas vers l'étude de la régularité des formes optimales dans beaucoup de problèmes analogues où les formes optimales obtenues sont à priori tout au plus des ensembles mesurables. Ensuite, il est établi une CNS pour que la solution, du problème de Dirichlet pour le bilaplacien dépende continûment de l'ouvert où il est posé. Ceci est facile en dimension 1, généralement faux en dimension supérieure ou égale à 4. Ici, l'étude est spécifique aux dimensions 2 et 3 qui sont précisément celles des applications (équilibre de plaques, de coques, etc...).

Stabilité de formes d'équilibre

La réflexion sur la stabilité de formes d'équilibre se poursuit. Une difficulté vient d'être surmontée récemment concernant la positivité des dérivées secondes par rapport au domaine: la coercivité de ces dérivées secondes est, en effet, "naturellement" obtenue dans des espaces fonctionnels où la formule de Taylor n'est pas applicable, d'où la difficulté d'établir l'existence d'un minimum strict. Nous avons pu contrôler la dérivée seconde dans tout un voisinage de la forme critique et établir rigoureusement l'existence d'un minimum strict dans tous les cas où on l'attend.

Problèmes à frontière libre.



Participant : Jan Sokolowski


Dans [23] on étudie la modélisation, l'identification et le contrôle en mécanique des solides pour des problèmes de contacts pour des coques, des plaques ; des problèmes en plasticité et l'identification des fissures pour des plaques élastiques. Nous donnons des résultats sur l'existence de solutions faibles pour les modèles proposés, d'une part par la méthode de régularisation parabolique [39] et d'autre part par la méthode de régularisation elliptique [23].

Le modèle du durcissement par laser de la surface d'une pièce en acier consiste en une équation non-linéaire de la chaleur couplée avec un système de cinq équations différentielles ordinaires décrivant les fractions de volume des phases qui se produisent. Puisque la dureté obtenue peut être estimée par la fraction du volume de martensite, nous reformulons le problème de durcissement de la surface en un problème de contrôle optimal. Pour éviter les problèmes de fusion de cette surface, qui peuvent réduire le rendement de la pièce, le modèle est complété par des contraintes d'état pour la température. Nous donnons [37],d'une part des résultats classiques (existence, régularité, stabilité) sur le modèle et d'autre part, nous étudions la différentiabilité de l'équation d'état par rapport au contrôle et décrivons les conditions nécessaires d'optimalité [37] .

Identification d'inclusions et de fissures



Participants : Gilles Frémiot , Jean-Rodolphe Roche , Jan Sokolowski


L'approche suivie consiste à transformer le problème d'identification en un problème d'optimisation de formes [1]. De ce fait, nous utilisons les mêmes techniques que celles déjà développées pour la résolution du problème de magnétoformage.

Dans le cas bidimensionnel, nous montrons l'existence de la forme recherchée et établissons les conditions nécessaires d'optimalité. De plus, nous donnons d'une part, une expression de la dérivée seconde par rapport à la forme et d'autre part l'expression de la dérivée matérielle de la solution de l'équation d'état.

Actuellement, nous commençons l'étude de la dimension trois. En particulier, nous considérons des inclusions avec des angles ; les solutions de l'équation d'état ont alors une partie singulière.

Calcul numérique de formes



Participants : Arjan Novruzi , Michel Pierre , Jean-Rodolphe Roche


La thèse [4] soutenue cette année concernait l'étude d'algorithmes d'optimisation de formes 2-d et 3-d, en particulier du type Newton. Ceux-ci nécessitent des études assez précises des dérivées premières et secondes par rapport à des domaines géométriques. Plusieurs types de résultats ont été obtenus, en particulier :

- une caractérisation de la structure des dérivées de formes : elle se déduit d'un joli résultat de représentation des petites variations d'une forme en termes de déplacements normaux et modulo des "glissements" le long de la forme de référence.

- une estimation très précise du gradient des solutions d'une équation intégrale sur une surface montrant que l'évaluation du gradient en un point dépend surtout d'intégrales sur un voisinage immédiat de ce point (principe de Saint-Venant). Une estimation est faite des termes ainsi négligés. Ceci permet une accélération notable de l'évaluation numérique de ce gradient et un gain important sur les algorithmes d'optimisation de formes en 3-d.
- une parallélisation des algorithmes mis en place (cette partie du travail a été faite dans le cadre du Centre Charles Hermite) [4] .

Des méthodes de Newton adaptatives ont également été considérées afin de réduire le coût de calcul d'une itération de la méthode d'optimisation, tout en ayant une bonne précision à vitesse de convergence égale.

Par ailleurs, nous nous sommes intéressés à l'implantation de méthodes utilisant des dérivations du problème discret au lieu des approximations des dérivées continues [18]. Nous développons actuellement un algorithme de Newton utilisant la dérivation automatique à l'aide du logiciel ODYSSéE pour construire l'état adjoint. On obtient ainsi un algorithme donnant des résultats plus précis dans le calcul de la solution des conditions nécessaires de Karush Kuhn Tucker avec une convergence superlinéaire.

Stabilisation de structures flexibles

Résumé : Les travaux relèvent du contrôle et de la stabilisation d'équations aux dérivées partielles d'évolution, au moyen de feedbacks linéaires ou non linéaires, distribués ou frontière. Les applications concernent des systèmes élastiques vibrants tels que : structures spatiales flexibles, antennes, assemblage de systèmes mécaniques, matériaux intelligents, bras robots en torsion ou en flexion, pont roulant.

Résultats de stabilisation généraux.



Participants : Francis Conrad , Abdelkrim Mifdal , Geoff O'Dowd


Pour un modèle simplifié de pont roulant (câble attaché à un chariot et transportant une masse) qu'on ne peut stabiliser uniformément par des feedbacks frontières classiques en vitesse [3], la stabilisation uniforme avec des feedbacks d'ordre plus élevé (on prend en compte la vitesse de rotation), y compris dans un cadre non linéaire monotone, a été obtenue [17], [3]. Par ailleurs, pour des feedbacks dissipatifs mais non monotones, l'absence éventuelle de compacité forte empêche l'utilisation directe du principe de LaSalle. On obtient la stabilité forte ou faible en utilisant une technique d'invariants qui permet de se ramener au principe de LaSalle [11], [32]. Dans d'autres cas, l'utilisation des mesures de Young peut être un recours. L'extension à des modèles plus complexes (câble de longueur variable, poutre type pendule) est en cours.

Analyse spectrale.



Participants : Francis Conrad , Fatima Zahra Saouri


Pour une poutre avec masse à un bout, l'obtention du taux optimal a été obtenue par utilisation de résultats de perturbation compacte (Bari) dans certains cas de feedback d'ordre élevé, car on se ramène au problème de la poutre sans masse, avec feedback en vitesse, pour lequel on sait démontrer l'existence d'une base de Riesz par analyse asymptotique du spectre [8]. On peut retrouver ce résultat en utilisant la théorie de Shkalikov [42]. Le but maintenant est de mettre en oeuvre cette méthode générale pour le système de pont roulant dans le cas de stabilisation uniforme, ou pour des systèmes à contrôle interne ponctuel.

Stabilisation faible pour des systèmes sans compacité



Participants : Francis Conrad , Michel Pierre , Judith Vancostenoble


L'étude de la stabilisation faible de systèmes vibrants pour lesquels la stabilisation forte n'est pas connue ou pas espérée s'est poursuivie. Nous introduisons une alternative à l'utilisation des mesures de Young (cf. les travaux des années précédentes) pour démontrer la stabilisation faible : elle s'appuie, en fait, sur des techniques mises en place pour la stabilisation forte et que nous avons pu adapter au cadre faible. Nous obtenons aussi de nouveaux résultats de stabilisation frontière forte pour l'équation des ondes en dimension 1 sans monotonie sur le contrôle, mais avec une hypothèse ``naturelle'' assurant la perte d'énergie.

Applications aux Sciences de la Nature et de la Vie.

Résumé : Les recherches concernent l'étude de la prédicibilité des circulations océaniques et atmosphériques et de leurs attracteurs, et l'analyse mathématique de modèles de réponse d'un tissu organique à une infection bactérienne.

Prédicibilité, attracteur d'un modèle d'océan.



Participants : Christine Kazantsev , Evgueni Kazantsev , Michel Pierre


Prédicibilité.

Nous avons traité deux questions concernant ce modèle. Pour la 1 question, nous avons étudié par deux approches différentes l'unicité de la solution du modèle multicouche lorsque la solution de la couche supérieure est imposée. La première [47], utilise des techniques classiques d'estimations à priori, la seconde [20], consiste en l'étude des degrés de liberté déterminants. La deuxième question concerne l'estimation numérique de la prédicibilité du modèle quasi-géostrophique de circulations océaniques pour un intervalle de temps fini. On considère la généralisation des exposants de Lyapunov par les exposants locaux pour indiquer localement l'augmentation de l'erreur pendant un temps fini. On a étudié [38], les caractéristiques numériques de l'algorithme, telles que : l'influence de la discrétisation utilisée, le nombre de couches considérées pour la discrétisation verticale du bassin, la convergence des exposants de Lyapunov lorsque $T\rightarrow\infty$, la précision des différents schémas en temps. La structure géographique du mode le plus instable par rapport aux petites perturbations est analysée.

Étude de l'attracteur.

Nous étudions la structure de l'attracteur. Dans [46], un théorème d'existence de l'attracteur de l'approximation de dimension finie du modèle est prouvé, ainsi que la convergence de l'attracteur du modèle discrétisé vers l'attracteur du modèle original.

La structure de l'attracteur est expliquée en partie par la séquence de bifurcations à laquelle le système est soumis par les variations des paramètres principaux. La particularité du système est l'existence de deux bassins ``presque invariants'' de l'attracteur chaotique avec des transitions très rares entre eux. Ceci est lié à l'apparition d'un couple de solutions stationnaires non symétriques dans le modèle avec forçage symétrique [22]. Les maxima dans le spectre d'énergie correspondent à la fréquence principale de la solution périodique apparue dans la bifurcation de Hopf, ou aux fréquences du phénomène de Feigenbaum.

Paramétrisation des échelles sous-grilles.

On construit la loi de diffusion en supposant que les flux turbulents doivent faire croître l'entropie à chaque instant, tout en conservant la vorticité potentielle et l'énergie. On suppose de plus que les flux diffusifs sont proportionnels aux gradients de concentration. Nous avons vérifié par différentes simulations numériques que, dans les conditions typiques de circulation océanique forcée par le vent, cette approche simplifiée donne des résultats pratiquement identiques à la formulation complète [14].

Modèle de réponse d'un tissu organique à une infection bactérienne.



Participants : Philippe Laurençot , Didier Schmitt .


L'un des aspects de la réponse du système immunitaire à une infection bactérienne consiste à augmenter le nombre de leucocytes au voisinage du site de l'infection.

Un modèle susceptible de décrire ce phénomène a été proposé par Alt et Lauffenburger (1987) dans le cas d'un tissu unidimensionnel. Il s'agit d'un système de trois équations aux dérivées partielles paraboliques régissant l'évolution spatio-temporelle des concentrations dans le tissu des bactéries, des leucocytes et d'un attractant chimiotactique. L'existence et l'unicité de solutions du système original dérivé par Alt et Lauffenburger ont été établies lorsque l'infection bactérienne est initialement concentrée sur l'un des bords du tissu [15]. Nous réalisons actuellement des simulations numériques de ce système afin d'identifier l'influence des fluctuations spatiales. Nous avons de plus montré la validité des développements asymptotiques formels de Alt et Lauffenburger [16] et obtenu des estimations d'erreurs entre les solutions du système initial et celles du système réduit [40], [25].

Chimie moléculaire

Résumé : Les recherches concernent ici le domaine de la chimie moléculaire. Deux axes sont développès à savoir

Potentiel électrostatique



Participants : Olivier Coulaud , David Brown , Bernard Maigret , Bruno Pinçon


Nous nous intéressons au calcul des champs électrostatiques autour d'une molécule lorsqu'elle est plongée dans un solvant ionique ou non. Deux cas sont étudiés, tout d'abord le cas où le solvant est représenté par un milieu continu, et le cas, utilisé en dynamique moléculaire, où le solvant est discret (atomique) et mis dans une boîte périodique.

milieu continu :

dans un premier temps, nous nous sommes concentrés sur le calcul du potentiel électrique pour un solvant non ionique. La résolution des équations de Poisson est réalisée par une méthode intégrale. Deux approches ont été utilisées : une approximation linéaire pour la surface constante par morceaux, puis une approximation quadratique de la surface et de la solution [45]. Des échanges avec le Projet Gamma sont développés pour obtenir de ``bonnes'' triangulations surfaciques. Le code basé sur l'approximation quadratique développé en Fortran90 sert de test au compilateur (langage, parallélisateur, optimiseur) de l'Origin2000. Une parallélisation par mémoire partagée a été développée donnant de très bons résultats [21].

L'approche par formulation intégrale peut s'utiliser pour de grosses molécules (>500 atomes) et pour les solvants ioniques. Cela nous a amené à développer un code éléments finis basé sur MODULEF pour traiter le cas du solvant ionique. Le potentiel est alors solution de l'équation non linéaire de Poisson-Boltzmann.

milieu discret :

nous développons une méthode utilisant les transformées de Fourier rapide pour calculer les potentiels de type coulomb dans une boîte périodique. Cette méthode dénommée P3M (Particule-Particule Particule-Mesh) est nettement plus rapide que la méthode des sommes d'Ewald classiquement utilisée [29]. L'approche séquentielle est terminée et est en phase de validation.

Dynamique moléculaire



Participants : Olivier Coulaud , David Brown , Bernard Maigret


Le développement d'un code général de dynamique moléculaire se poursuit. La version parallèle, ddgmq [29], est basée sur une décomposition spatiale de l'espace en boîtes. Les détails de l'algorithme sont développés dans [6]. Les développements significatifs concernent : l'ajout de nouveaux potentiels, la généralisation du découpage de l'espace, l'amélioration de l'efficacité des sommes d'Ewald, la minimisation de l'énergie à pression constante et à volume constant, l'ajout d'une interface pour MSI/Biosym et Insight. Avec ce code, six projets de simulations intensives (20 000 à 100 000 atomes) dans les domaines des enzymes, de la construction de nouvelles molécules, du pliage de protéines ont débuté.

Problèmes connexes

Résumé : Les recherches développées ici concernent des domaines connexes ou transversaux à ceux étudiés par les membres du projets (analyse et synthèse d'images, calcul à haute performance, modélisation stochastique)

Outils mathématiques en analyse et synthèse d'images



Participants : Laurence Fleuret , Michel Pierre , Bruno Salque


En collaboration avec le projet lorrain ISA, nous étudions

Autour du Calcul à haute performance

Interface C++ pour l'échange de messages :

Nous avons étendu notre interface C++, para++, pour l'échange de messages. Cette année, nous avons mis l'accent sur l'amélioration des performances ainsi que sur une modularité plus forte grâce au polymorphisme. De plus, de nouvelles fonctionnalités dans les opérations collectives ont été introduites [10].

Fortran90 :

Une forte activité traversale au projet sur ce langage est à noter. On peut citer l'évaluation du compilateur SGI, le développement de code orienté objet, la comparaison entre le fortran90 et le C++, le développement d'une interface pour l'utilisation des Blas, ...

Modélisation stochastique



Participant : Jean-Rodolphe Roche


En collaboration avec le projet Omega, nous étudions le temps moyen de séjour dans le disque unité d'un mouvement Brownien $B$ refléchi par un petit cercle situé à l'intérieur du disque unité. On obtient une localisation du point de départ de $B$ telle que le temps de séjour soit maximal, voir [31].

Notes:

...CIRIL
Centre Interuniversitaire de Ressources Informatiques de Lorraine

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