Grands domaines d'application

Problèmes Non Linéaires en électromagnétisme

Mots-clés : Perturbation singulière, méthode multi-échelle, magnétohydrodynamique, plasma, décomposition de domaines, calcul parallèle

Résumé : Nous étudions deux domaines où le champ électromagnétique joue un rôle important. Le premier concerne le traitement des métaux liquides par champ magnétique (brassage, chauffage, guidage...). le deuxième concerne le déplacement de particules chargées qui est un enjeu important pour les problèmes de fusion.

Applications aux métaux liquides

L'une des motivations importantes concerne ici la modélisation des procédés de traitement électromagnétique des métaux liquides. Ceci recouvre de nombreuses applications ; certaines bien établies dans les traitements industriels des métaux, d'autres en cours d'étude. La modélisation complète doit prendre en compte les phénomènes électromagnétiques, hydrodynamiques et thermiques, tout ceci avec plusieurs types de frontières libres : air/métal liquide ou liquide/solide pour la solidification. Le modèle s'écrit avec les équations de Maxwell, les équations de Navier-Stokes et des lois de comportement à préciser. Notre intérêt concerne plus particulièrement le cas de courants imposés de ``hautes fréquences''. Notre but est de justifier l'approximation de ``hautes fréquences'' dans laquelle rien ne se passe dans le conducteur.

Lorsque les courants imposés sont de hautes fréquences, le problème à frontière libre se ramène à un problème d'optimisation de forme ; aussi les problèmes de lévitation magnétique servent de test aux algorithmes développés dans le cadre de l'optimisation de forme.

Applications aux plasmas

L'étude de déplacements de particules chargées est un problème important dans l'obtention d'énergie de fusion. Ce problème fait partie des ``grands challenges'' numériques aux USA. Pour simuler le déplacement de particules chargées dans leurs champs auto-consistants, on résout numériquement les équations de Vlasov-Maxwell en remplaçant éventuellement les équations de Maxwell par un modèle approché comme Poisson. Vu les échelles de temps très différentes intervenant dans ces problèmes, il faut développer des modèles et des méthodes numériques adaptées.

Prédicibilité et simulation numérique pour les modèles océaniques

Mots-clés : Prédicibilité, attracteur, modèle quasi-géostrophique, géophysique, système parabolique non linéaire

Prédicibilité: estimation du temps pendant lequel la prédiction est valable.

Résumé : Les recherches concernent l'étude de la prédicibilité des circulations océaniques et atmosphériques et de leurs attracteurs.

Le problème général de la prédicibilité consiste à estimer l'évolution de l'erreur due aux données et à prédire au bout de combien de temps cette erreur devient prédominante dans le calcul et interdit toute prévision. Cela conduit entre autres à l'étude, théorique et numérique, de l'attracteur du système. Plus précisément, on aborde les questions suivantes.

Tout d'abord, pour l'estimation numérique de la prédicibilité du modèle quasi-géostrophique barotrope de circulations océaniques pour un intervalle de temps fini, on utilise une caractéristique bien connue de la prédicibilité d'un système non linéaire que sont les exposants de Lyapunov, qui mesurent la croissance de la perturbation lorsque le temps tend vers l'infini. On considère et on étudie la généralisation des exposants de Lyapunov par les exposants locaux pour indiquer localement l'augmentation de l'erreur, pendant un intervalle de temps.

Le problème de prédicibilité est lié à celui de l'assimilation des données : les circulations océaniques du mois dernier sont-elles nécessaires pour prévoir celles de demain. De plus à partir des circulations de la surface, données par les satellites par exemple, peut-on reconstruire les circulations de l'océan en entier. C'est le problème d'unicité de la solution du modèle quasi-géostrophique multicouche lorsque la solution de la couche supérieure est imposée.

Enfin, une difficulté fondamentale dans la modélisation des systèmes turbulents, en particulier l'océan, est le développement de mouvements à une échelle plus petite que la résolution numérique accessible. Ces mouvements transportent les quantités dynamiques de façon complexe, se traduisant par des effets de diffusion turbulente pour les quantités moyennées à l'échelle de la grille numérique. La paramétrisation de ces effets est un des problèmes essentiels en modélisation océanique qui peut permettre de réduire la résolution nécessaire de la grille.

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