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Résumé : Les applications traitées dans le projet (biologie, chimie, électromagnétisme, océanographie,...) font apparaître des phénomènes avec des échelles multiples en espace ou en temps. Nous analysons ces phénomènes, d'une part pour en déduire des modèles soit plus précis soit plus rapides d'autre part, pour construire des algorithmes plus efficaces.
Dans de nombreux problèmes traités dans le projet, les phénomènes en jeu apparaissent à différentes échelles d'espace et de temps. Ceci se traduit dans les équations par la présence de petits paramètres, qui induisent des couches limites, des zones de transitions. Dans ces régions, la solution présente des variations brutales, qui sont numériquement difficiles à traiter.
Deux approches peuvent être envisagées pour traiter ces problèmes. La première consiste à écrire un développement de la solution en fonction du paramètre étudié puis de construire formellement le système satisfait par le premier terme du développement. Une des difficultés est de montrer que le système limite ainsi construit est bien la limite du système initial lorsque le paramètre tend vers zéro. La connaissance du comportement de la solution dans les couches limites ou des zones de transitions permet de construire des méthodes de décomposition de domaines particulièrement rapides. La deuxième approche consiste à supprimer le paramètre en construisant une loi plus au moins empirique, par exemple le coefficient de diffusion pour simuler les phénomènes de plus petites échelles. Cette approche autorise des discrétisations moins fines et conduit à des temps d'exécution plus rapides.
optimisation de formes: optimisation du domaine
géométrique pour un système décrit par des équations aux dérivées
partielles
Résumé : Nous sommes intéressés par les problèmes d'optimisation de formes issus d'optimisation de structures en mécanique de solides et des problèmes à frontière libre. Nous étudions les conditions d'optimalité pour les problèmes définis sur des surfaces en dimensions 3. D'autre part, on développe des méthodes de type Newton avec des convergences superlinéaires pour traiter les problèmes d'optimisation des formes en trois dimensions.
L'optimisation de formes intervient dans des domaines variés tels que la conception, l'étude de nouveaux matériaux, l'optimisation de pièces sous contraintes (ailes d'avions, moules, ...). Il s'agit de minimiser une fonction coût dépendant de la géométrie du domaine, en général une énergie, sous certaines contraintes. On peut traiter par cette méthode de nombreux problèmes à frontière libre (léviation haute fréquence, problème de contacts pour les coques, ...). Par rapport aux techniques d'optimisation classique, la difficulté réside dans le fait que la solution est un domaine géométrique (un segment, une surface, un volume). Nous devons adapter les méthodes usuelles (dérivation, point critique, ...) à ce nouveau cadre. Une des premières questions à traiter, après l'existence du point critique, pour les méthodes numériques est la caractérisation des conditions d'optimalité du 1 ordre (équation d'Euler généralisée ou inégalité variationnelle) et du 2 ordre. La condition du 1 ordre donne l'équation satisfaite par la solution. La condition du 2 ordre intervient lorsque l'on s'intéresse aux questions de stabilité de la forme, et dans la construction de méthodes numériques de type Newton.
D'un point de vue numérique, l'objectif est de développer des méthodes numériques d'optimisation de formes adaptées pour traiter les problèmes en dimension 3. Pour cela, nous nous intéressons aux méthodes de type Quasi-Newton et Newton qui conduit à des techniques d'optimisation de formes avec des vitesses de convergence superlinéaire. Une des difficultés liées à la méthode de Newton réside dans la construction de la dérivée seconde de l'énergie. Pour résoudre la condition d'optimalité, nous utilisons les méthodes intégrales en posant le problème sur la surface.
Les techniques développées sont de caractère général et sont mises en oeuvre.
Le savoir-faire acquis sur l'analyse mathématique et la simulation numérique de ces modèles nous conduisent à élargir notre champ d'applications et à considérer des problèmes connexes nouveaux à savoir :
Résumé : Les travaux relèvent du contrôle et de la stabilisation d'équations aux dérivées partielles d'évolution, au moyen de feedbacks linéaires ou non linéaires, distribués ou frontière. Les applications concernent des systèmes élastiques vibrants tels que : structures spatiales flexibles, antennes, assemblage de systèmes mécaniques, matériaux intelligents, bras robots en torsion ou en flexion, pont roulant.
Etant donné un système élastique vibrant, on cherche des contrôles par retour d'état qui stabilisent le système. C'est une problématique fortement liée à la contrôlabilité exacte. Les contrôles sont distribués ou appliqués sur le bord du domaine, ou sur un ensemble fin de l'intérieur. Ils peuvent faire intervenir des dérivées en temps d'ordre aussi élevé que dans le modèle, par exemple une corde ou une poutre avec masses en des points intérieurs ou frontière. On obtient alors des systèmes dits hybrides (couplage EDP-EDO), dont l'étude présente des difficultés spécifiques.
L'utilisation de multiplicateurs pour obtenir des estimations, le couplage avec la théorie des perturbations compactes de Gibson-Russell, permettent d'obtenir des résultats de stabilité forte ou uniforme, ou de non stabilité selon les commandes.
Une question intéressante concerne l'obtention plus explicite du taux de stabilisation, en fonction des lois de feedback. Les ingénieurs mesurent le degré de stabilisation d'un système amorti en calculant le spectre (approché) du système. Il est donc intéressant de savoir si ce spectre caractérise effectivement le taux de décroissance uniforme de l'énergie. Ce problème est non trivial pour les systèmes de dimension infinie, même en dimension 1. Une analyse spectrale fine peut permettre de vérifier dans certains cas que les modes propres du système constituent une base de Riesz de l'espace d'énergie et d'en déduire le taux optimal de décroissance de l'énergie.
Parmi les autres thèmes où il reste encore beaucoup de questions ouvertes, on peut citer : le lien entre les problèmes de contrôle en dimension infinie et ceux résultant de l'approximation de ces problèmes en dimension finie ; les applications de l'analyse de Fourier non harmonique au contrôle des structures ; les problèmes de contrôle actif grâce à des matériaux intelligents. Par exemple le couplage fluide-structures : il s'agit de l'étude du contrôle actif d'un écoulement fluide sur la structure environnante grâce à des ``matériaux intelligents''. Ce problème a des applications dans des secteurs comme l'étude des grandes structures spatiales ou la réduction du bruit dans les avions.
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