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Résultats nouveaux

Développement et analyse de méthodes numériques performantes pour le calcul des structures



Participants : Michel Bernadou , Henri Chajmowicz , Dominique Chapelle , Manuel Collet , Amine Hassim , Marina Vidrascu


Résumé : Quatre actions sont en cours de développement

i)
Fiabilité des méthodes numériques de coques.
ii)
Modélisation mécanique et analyse numérique d'une machine tournante.
iii)
Comportement dynamique de stratifiés composites sous impact.
iv)
Adaptation de l'élément fini de coque DKT pour la résolution de problèmes non linéaires en grands déplacements.


Fiabilité des méthodes numériques pour les coques minces

Au cours de l'année 1996-97, D. Chapelle a consacré la majeure partie de ses efforts dans ce domaine à la valorisation des travaux contenus dans sa thèse, soutenue en juin 96. Il a ainsi finalisé et soumis deux articles en collaboration (l'un avec R. Stenberg [9] et l'autre avec K.J. Bathe [8]) et participé à deux congrès [17], [16].

Eléments finis de coques pour les applications industrielles

  Le modèle de coques géométriquement exact proposé par J.C. Simo et D.D. Fox [SFR89], et étudié dans la thèse de M. Carrive [Car95] est très bien adapté pour résoudre des problèmes non-linéaires en grands déplacements, en particulier ceux qui interviennent dans la simulation des problèmes de couplage fluide-structure [Mou96] (voir [*]). Ce modèle est une extension non linéaire du modèle de coque mince de Koiter.

Dans ce cadre, nous avons choisi une approximation par éléments finis mixtes non conformes de type DKT (Discrete Kirchhoff Triangle).


  Figure:   Déformation d'une coque (forte pression et pression modérée)

\begin{figure}\begin{center}\includegraphics [scale =.5]{tuyau.ps}\end{center}\end{figure}


Ce modèle est écrit sur une configuration de référence plane $\hat{\omega}$ fixe au cours du temps. L'utilisation de cet élément requiert la donnée d'une carte initiale, ${\phi}^o$qui associe à tout point matériel $m\in \hat\omega$ de la surface moyenne de référence $\hat\omega$ sa position initiale ${\phi}^0(m)$. Pour des géométries complexes, il est difficile, ou bien extrêmement coûteux de fournir cette carte.

Le but de cette étude est d'adapter l'élément fini DKT de coque non-linéaire au cas où la coque est décrite uniquement par son maillage tridimensionnel. Le modèle ne sera plus écrit par rapport à une configuration de référence plane mais sera rapporté à la coque à facettes définie par le maillage. Il faut donc calculer les fonctions ${\phi}^0$ (respectivement ${\phi}$) et leurs gradients par rapport à la coque à facettes. Cette approche permet de traiter des géométries quelconques (voir Figure [*]).

Comportement dynamique de stratifiés composites sous impact

Résumé : On s'intéresse à la simulation du comportement dynamique de stratifiés composites et à la prédiction de leur tolérance aux impacts. Le stratifié est décrit à l'échelle des plis et les dégradations des propriétés mécaniques des plis s'expriment en fonction de deux variables d'endommagement. La validité du modèle numérique a été étudiée sur des essais instrumentés d'impacts locaux et globaux. Les résultats de la simulation ont permis de définir les chocs acceptables pour les stratifiés vis-à-vis de l'endommagement.


Les stratifiés multi-couches réalisés en matériaux composites renforcés par des fibres sont de plus en plus utilisés dans l'industrie aéronautique, marine et automobile en raison de leur rapport très élevé rigidité/masse volumique par rapport aux matériaux métalliques. L'inconvénient majeur de ces structures réside dans leur faible tenue au choc transverse et dans la difficulté de prévision de leur comportement. Parmi ces chocs, l'impact est le plus endommageant car il réduit considérablement la rigidité. Le développement industriel de ces structures passe donc par l'étude et la prédiction de leur tolérance aux impacts.

Lors d'une étude précédente (1996), nous avons proposé une méthode de prédiction de l'endommagement au sein de stratifiés composites soumis à un impact transverse à basse vitesse (<10m/s).

Le stratifié est modélisé à l'échelle de la couche (méso) considérée comme homogène. Les propriétés effectives de la couche sont obtenues expérimentalement ou par utilisation des techniques d'homogénéisation. Les décohésions fibre-matrice et micro-fissurations qui affectent le module de rigidité transverse (perpendiculaire à la direction des fibres) et les modules de cisaillement sont décrites par deux variables internes (constantes dans l'épaisseur de chaque couche). Une campagne d'essais réalisés par Thomson Marconi Sonar a permis :
- de définir les modes d'endommagement,
- d'acquérir les données nécessaires à l'identification des coefficients du modèle d'endommagement,
- de valider le modèle ainsi construit en comparant les résultats d'expérimentation aux résultats de simulations numériques.
Les résultats nouveaux prolongent ces travaux et s'inscrivent dans la phase finale du Brite Projet "Design tools for advanced composite materials based on damage models", voir [*]. Nous nous sommes attachés, d'une part à étendre l'étude à quatre types de composites, d'autre part à développer une méthode numérique qui permette de simuler deux types de chocs :
- impact local d'un projectile qui vient impacter le stratifié,
- impact global de type accélération imposée au support du stratifié composite.
L'objectif principal est de définir les seuils d'apparition et d'évolution de l'endommagement pour un empilement quelconque. Le choix des procédés numériques adopté pour la simulation de la réponse dynamique d'une structure soumise à un choc de type impact localisé ou de type impact global est le suivant :

Pour la validation de la simulation numérique, nous avons considéré deux solutions de reférence :

Le calcul numérique fournit les valeurs des paramètres d'endommagement à chaque instant et permet de mettre en évidence le début de micro-fissuration dans les différentes couches. Le modèle développé rend possible l'étude paramétrique des facteurs qui influent sur le comportement dynamique des stratifiés composites : la vitesse et la masse de l'impacteur, l'amplitude et la durée de l'accélération, la nature de la matrice, le taux de fibres, le nombre de couches, l'épaisseur et l'orientation de chaque couche. Cette étude nous a permis de qualifier les chargements acceptables pour les stratifiés considérés, vis-à-vis des dommages.

Machines tournantes

Résumé : L'étude concerne la modélisation mécanique et l'analyse numérique de machines tournantes. On utilise trois modélisations : en repère inertiel, à axe de rotation fixe et à axe de rotation lié au rotor. À partir des équations du comportement dynamique, exprimées dans ces différents repères, un modèle basé sur une discrétisation modale de type Craig et Bampton a été obtenu. Une analyse de sensibilité des modèles semi-analytiques est en cours afin de mettre en évidence les instabilités.


Dans cette étude, on s'intéresse à la modélisation mécanique et l'analyse numérique de machines tournantes au passage des vitesses critiques. Lors de sa mise en rotation jusqu'à la vitesse nominale, il est difficile d'éviter ces vitesses critiques dues aux balourds et aux différentes instabilités introduites par les paramètres de conception. Ces vitesses critiques entraînent un accroissement des vibrations, sources de bruit, de déformations et d'endommagement. L'objectif final de cette étude est de générer un modèle mécanique compact mais complet pouvant servir d'entrée à un outil de conception de type Simulink - les calculs éléments finis nécessaires à l'habillage du modèle étant réalisés à l'aide des logiciels Modulef et Samcef. Dans une première phase, nous avons envisagé trois modélisations du problème :

-
une modélisation à axe de rotation fixe : la vitesse nominale de rotation est imposée suivant un axe fixe, les anisotropies dues aux suspensions magnétiques sont prises en compte à l'aide de deux angles d'Euler infinitésimaux. Les déformations sont étudiées dans le cadre de l'élasticité linéarisée ;
-
une modélisation en repère inertiel : tous les déplacements et rotations élastiques sont écrits dans un repère inertiel fixe, en fonction des coordonnées dans ce repère. La vitesse nominale de rotation est imposée suivant un axe lié à la section du rotor considéré. Cette modélisation est calquée sur la modélisation interne du logiciel Samcef, que nous avons explicitée et complétée ;
-
une modélisation à axe de rotation lié à la machine tournante : la vitesse nominale de rotation est imposée suivant un axe lié au mouvement moyen de corps rigide de la structure.

Nous avons ensuite procédé à une discrétisation modale des différentes énergies mises en jeu dans les trois modélisations précédentes, afin d'obtenir un modèle compact à faible nombre de degrés de liberté. Cette discrétisation est de type ``Craig et Bampton'' : elle met en jeu les modes propres de vibration de la partie déformable de la machine tournante, ainsi que ses modes d'interface rigide.

Nous avons ainsi obtenu les équations du mouvement discrétisées pour les trois modélisations. Une écriture semi-analytique de type poutre déduite des modèles précédents a permis une première analyse du comportement au passage des vitesses critiques. Une analyse de sensibilité est en cours afin de mettre en évidence les instabilités liées aux raideurs et amortissements anisotropes des paliers, aux balourds et au couple axial.

Solveurs pour le calcul intensif en mécanique du solide



Participants : Patrick Le Tallec , Marina Vidrascu


Mots-clés : algorithme numérique, décomposition de domaines, méthode numérique, programmation parallèle, élasticité non linéaire


Résumé : Une action est menée depuis quelques années pour concevoir des solveurs efficaces pour la résolution de gros problèmes de structures linéaires ou non linéaires tels qu'ils se posent quotidiennement dans les grands bureaux d'études des sociétés industrielles. Ces algorithmes, basés sur des méthodes de décomposition de domaines, sont bien adaptés aux architectures parallèles.


Décomposition de domaines en élasticité linéaire

 

Résumé : Pour résoudre les problèmes d'élasticité linéaire, une méthode de sous-structuration itérative avec un préconditionneur Neumann-Neumann à deux niveaux a été étudiée et utilisée avec succès. On cherche maintenant à évaluer la performance de cette méthode sur des problèmes réalistes de type industriel.


Nous étudions une structure très élancée, avec un rapport 10 entre la longueur et la largeur et un rapport 100 entre la longueur et l'épaisseur. Il s'agit d'une structure hétérogène, composée de plusieurs matériaux : un noyau métallique très raide (module d'Young $ E \approx 150000$ MPa ), des fines barres orthotropes, noyées dans un élastomère quasi-incompressible. La structure repose sur des petits supports mous (élastomère), voir Figure [*]. Cette structure est soumise à une pression sur la face supérieure, des conditions aux limites périodiques sont imposées aux deux extrémités.


  Figure:  Description du problème

\begin{figure}\begin{center}\includegraphics [scale=.5]{bench_fr9.eps} \end{center}\end{figure}


Il est impossible de résoudre ce problème avec des méthodes classiques. Le maillage le plus grossier (avec des rapports d'aspect de l'ordre de 5-10 par élément) contient 14688 éléments Q2 (67633 noeuds, 202899 degrés de liberté). Le mauvais conditionnement du problème, dû aussi bien à la géométrie qu'aux caractéristiques des matériaux, rend impossible l'utilisation d'une méthode de type gradient conjugué. Une méthode directe est inaccessible puisque la taille de la matrice profil est de l'ordre de 1.3109 coefficients [12].

La décomposition de domaines est bien adaptée à la résolution de ce problème sur un réseau de stations de travail. Le domaine est décomposé en 24 sous-domaines, le système converge en 73 itérations.

Décomposition de domaines en élasticité non-linéaire

 

Résumé : L'algorithme de type Newton est un outil classique pour résoudre un problème d'élasticité non-linéaire. Pour une résolution efficace, un algorithme standard de décomposition de domaines peut être utilisé pour le problème linéarisé qui apparaît à chaque itération de l'algorithme de Newton.


L'algorithme de Newton avec continuation est la méthode la plus robuste pour pouvoir traiter des problèmes fortement non-linéaires et des matériaux non-homogènes avec des variations importantes dans les coefficients. Le coût élevé de cette méthode justifie l'utilisation de la décomposition de domaines. Le solveur algébrique utilisé pour résoudre le problème d'interface est de type GMRES. Le même préconditionneur est utilisé pour plusieurs itérations de Newton.

Pour évaluer cet algorithme, on calcule les déformations de la trachée artère. Deux types de tissus constituent la trachée : le cartilage qui est dur et la membrane inter-cartilagineuse, plutôt souple. Ces tissus sont modélisés par des matériaux hyperélastiques de type Mooney-Rivlin et Ogden. Le cartilage est supposé compressible et la membrane inter-cartilagineuse incompressible.

La vraie géométrie de la trachée est utilisée. Le maillage contient 1615 héxaèdres à 27 noeuds, soit 14821 noeuds (54463 d.l.). Il n'est pas possible de résoudre un problème de cette taille par une méthode classique, le stockage profil de la matrice de rigidité nécessite 171 779 246 mots et une factorisation demande plus de 24 heures. Un découpage de ce domaine en 20 sous-domaines de taille pratiquement égale permet de résoudre le problème sur un réseau de stations de travail HP735 en 65 itérations de Newton. A titre indicatif, une itération prend environ 15 minutes.

Problèmes de vibration

Résumé : Le problème consiste à résoudre une équation de Helmholtz pour trouver le mouvement harmonique induit par une force périodique pour une structure avec un grand nombre de degrés de liberté.


La résolution de ce problème consiste à résoudre, pour des fréquences $\omega$ données, le problème :



\begin{displaymath}(K-\omega^2 M)u = f \end{displaymath}



où $K$ désigne la matrice de rigidité et $M$ la matrice de masse. Si la fréquence d'excitation est supérieure à la plus petite valeur propre, $\omega^2 \gt \lambda_{min} $, la matrice du problème n'est plus définie positive. Il est néanmoins possible de résoudre ce problème par une méthode de décomposition de domaines. Le domaine est décomposé en sous-domaines et, après élimination des inconnues internes, le problème d'interface est résolu par un algorithme de GMRES avec un préconditioneur de type Neumann-Neumann correspondant à la matrice de rigidité $K$.

L'algorithme ainsi obtenu est utilisé pour résoudre le problème d'une veine ellipsoïdale d'épaisseur 1.5 et de longueur 125, soumise à une pression interne (la pression sanguine) et décomposée en 24 sous-domaines.

Le système statique ($\omega$= 0) converge en 37 itérations. Dans le cas des vibrations, il faut 38 itérations pour $\omega$=10 et 149 pour $\omega$=300 .Pour ce problème la plus petite valeur propre, calculée sur le problème complet par un algorithme de Lanczos est $\lambda_{min}= 210.9276 $.

On remarque une dégradation de la performance de l'algorithme quand $\omega$ augmente. Une étude plus poussée du comportement de l'algorithme GMRES est nécessaire afin de déterminer l'influence de la dimension de l'espace de Krylov utilisé et d'améliorer la procédure de ré-initialisation. Pour le problème de la veine, dans le cas statique le tableau [*] montre l'influence de la dimension de l'espace de Krylov.


   Table: Influence de la dimension de l´espace de Krylov

\begin{table}\begin{center}\begin{tabular}{\vert c\vert c\vert}\hline dimen... ...\ 10 & 94 \\ 20 & 70 \\ 30 & 53 \\ \hline\end{tabular}\end{center}\end{table}


Dans le premier cas, la dimension de l'espace de Krylov est suffisamment grande pour qu'il n'y ait pas de procédure de redémarrage et le taux de convergence est très satisfaisant. Dès que la procédure de redémarrage est utilisée, les performances sont moins bonnes d'où l'intérêt d'essayer d'améliorer cette procédure.

Simulation numérique du couplage fluide-structure



Participants : Dominique Chapelle , Patrick Le Tallec , Marina Vidrascu


Mots-clés : algorithme numérique, équation de Navier-Stokes, calcul des structures, turbulence


Résumé : Deux actions sont en cours de démarrage :

i)
la participation à une action incitative transversale associant les projets CAIMAN, GAMMA, M3N, SINUS, le LCPC et SIMULOG, cf [*]. Les domaines visés sont le génie civil et l'ingénierie biomédicale.
ii)
l'implication dans un partenariat de recherche piloté par le LCPC et financé par le Ministère de l'Equipement cf [*].


Structures adaptatives



Participants : Michel Bernadou , Agnès Blanguernon , Manuel Collet , Frédéric Bourquin , Sophie Depeyre , Christophe Haenel , Amine Hassim , Song He , Ramine Nikoukhah , Louis Ratier


Mots-clés : Simulation et contrôle de systèmes non linéaires, mise en oeuvre expérimentale


Résumé : Les activités de MOSTRA relatives aux structures adaptatives peuvent être regroupées selon trois intitulés :

i)
la modélisation numérique de matériaux piézoélectriques (de type coques minces) et de matériaux magnétostrictifs. Une bonne maîtrise de ces modélisations est indispensable car ces matériaux sont utilisés dans la réalisation de la plupart des capteurs et des actionneurs ;
ii)
le contrôle actif de structures minces de type poutres et plaques. Dans cette direction, deux études ont été menées, l'une à caractère fondamental à partir des résultats de Komornik, l'autre plus appliquée à partir de dispositifs piézoélectriques fabriqués par Thomson LCR ;
iii)
une troisième étude, en cours de démarrage, porte sur la réduction de vibrations dans un prototype de masque à oxygène.


Modélisation numérique de coques piézoélectriques

Dans la plupart des applications utilisant des matériaux piézoélectriques, notamment le contrôle actif des vibrations, ces matériaux apparaissent sous la forme de structures minces, de type plaques ou coques. On a donc établi un modèle bidimensionnel de coques piézoélectriques décrites par un système de coordonnées curvilignes quelconques. Le modèle obtenu est discrétisé par une méthode d'éléments finis combinant les éléments d'Argyris et Ganev, et pour la résolution du problème final on utilise une méthode de condensation des degrés de libertés du potentiel. Plusieurs algorithmes de discrétisation en temps (résolution du système complet, résolution du système après condensation, schéma utilisant l'hypothèse quasi-statique) ont été mis en oeuvre pour la résolution du problème dynamique.

On a ensuite utilisé le modèle établi précédemment pour la modélisation et l'étude de problèmes concrets. Dans cette perspective, deux cas sont envisagés. D'une part, une application proposée par Aérospatiale : une plaque élastique sur laquelle on colle une pastille piézoélectrique est soumise à différents types de sollicitations (lâcher, choc, excitation forcée). On s'intéresse à la réponse de la plaque et on met en évidence les effets inverses puis directs exercés par la pastille piézoélectrique. D'autre part, on considère une structure stratifiée comportant des couches élastiques et des couches piézoélectriques.

L'ensemble de ce travail constituera la thèse de C. Haenel.

Modélisation numérique de matériaux magnétostrictifs

Ce travail débute par une comparaison de différents modèles proposés par divers auteurs et permet d'établir l'équivalence de certains de ces modèles dans quelques cas particuliers. Ces modèles sont formulés soit en termes d'équations aux dérivées partielles, soit comme points-selles de problèmes de minimisation.

Puis, l'existence de solutions est établie dans le cas stationnaire. S'agissant de problèmes non convexes, l'approximation numérique est effectuée à l'aide de méthodes de Lagrangien augmenté en se limitant dans une première étape à une formulation purement magnétique. Les résultats comportent la courbe d'hystéresis, les domaines de fermeture et les parois.

Cette étude sera complétée par :

L'ensemble de ce travail constituera la thèse de S. He (en cours de rédaction).

Mise en oeuvre numérique du contrôle par ``feedback'' de Komornik

Cette étude, réalisée en collaboration avec le LCPC, a pour objectif la caractérisation numérique de la méthode de stabilisation uniforme introduite par V. Komornik.

Dans le cas où une structure est contrôlable, les méthodes standard d'amortissement actif induisent une décroissance uniforme de l'énergie pourvu que l'on utilise un nombre assez important de transducteurs. Cependant le taux de décroissance obtenu ne peut être aussi grand qu'une constante dépendant de la structure, généralement appelé ``amortissement critique''.

Afin d'atteindre un taux de décroissance arbitrairement grand, Komornik a construit une nouvelle stratégie de contrôle dépendant de deux paramètres. La solution obtenue pouvant être écrite sous la forme d'un ``feedback'', cette procédure peut être implantée expérimentalement sur une structure. Tout l'intérêt réside donc dans l'analyse de ces caractéristiques numériques et mécaniques afin de permettre son application in situ. Parmi les quelques propriétés intéressantes, nous pensons que cette méthode peut être optimisée afin de limiter les effets de ``spill-over'' et ainsi d'atteindre un niveau d'efficacité industriel. Les résultats de nos recherches ont permis de démontrer son intérêt par comparaison avec d'autres lois plus classiques (DVF-IFF) [15]. Le stade suivant sera la réalisation d'un banc d'essai essentiellement au LCPC.

Contrôle actif d'une poutre vibrante en flexion à l'aide d'un composant piézocéramique

La première partie de ce travail consiste en la mise en équations du problème : le modèle du composant piézocéramique utilisé comprend un empilement, parfaitement collé, d'un capteur piézoélectrique, d'un amortisseur visco-élastique et d'un actionneur piézoélectrique. Cet empilement est lui-même parfaitement collé à l'extrémité d'une poutre encastrée à l'autre extrémité et soumise à une densité linéique d'effort normal. D'un point de vue mécanique, chaque composant de l'empilement est modélisé par une poutre travaillant en traction-compression. D'un point de vue électrique, l'actionneur est relié au capteur par une boucle de contre-réaction, ou ``feedback''. A partir de résultats d'automatique, nous nous sommes attachés à identifier cette contre-réaction en construisant une tension électrique de commande de l'actionneur qui soit à la fois stable, robuste et optimale vis-à-vis d'un certain critère.

Dans un premier temps, les équations du problème sont écrites sous la forme d'une représentation d'état, à l'aide d'une décomposition du vecteur déplacement sur la base des vecteurs propres de la structure couplée ``poutre/composant piézoélectrique''. En second lieu, nous construisons une procédure de commande minimisant l'énergie totale (cinétique, de déformation et électrique) de la structure, mise au préalable sous la forme d'une critère quadratique. Des simulations numériques, effectuées avec le logiciel Scilab, montrent alors l'efficacité d'une telle procédure de commande : les oscillations de la poutre sont amorties rapidement.

La seconde partie de ce travail propose une étude sur l'influence de l'emplacement du composant piézocéramique. En effet, nous montrons que la position de ce système est un paramètre important dans la définition de la tension électrique de commande. Pour cette étude, nous nous sommes intéressés au problème d'une poutre encastrée à une extrémité, simplement appuyée au deux tiers de sa longueur et équipée d'un composant piézocéramique entre l'encastrement et l'appui simple. Utilisant la même démarche de construction que dans la partie précédente, nous trouvons la position optimale du composant piézocéramique pour amortir les vibrations de l'extrémité libre de la poutre.

Ce travail constitue le dernier volet de la thèse de A. Blanguernon.

Dans le cadre d'une bourse post-doctorale industrielle mise en place en collaboration avec Thomson LCR et RCM, A. Blanguernon modélise un système bilame composé d'une couche de céramique piézoélectrique (PMN/PT) déposée par sérigraphie sur une plaque métallique de platine rhodié. La céramique piézoélectrique est polarisée dans le sens de l'épaisseur et deux électrodes de cuivre sont disposées afin de distinguer la partie capteur et la partie actionneur. Ces deux parties sont reliées entre elles par une contre-réaction analogique composée d'un amplificateur-déphaseur de signal.
La première partie de ce stage a consisté à modéliser finement le comportement de ce bilame, notamment en prenant en compte le problème de la jonction ``plaque/céramique piézoélectrique'' dû aux pertes mécaniques et diélectriques. La validation du modèle a été ensuite effectuée par comparaison avec les résultats expérimentaux obtenus au LCR et a conduit à la construction d'un outil de conception numérique de ce bilame à l'aide du logiciel Matlab.

Modélisation et optimisation d'un système de régulation d'oxygène pneumatique

Cette action, en cours de démarrage, est menée par M. Collet, S. Depeyre et R. Nikoukhah. Elle concerne la détection des causes de vibrations qui apparaissent dans un masque à oxygène lors d'une demande de débit. Après l'identification (en cours) de ces causes, il conviendra d'effectuer une optimisation active de ce système de régulation.

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