Avant-projet Mostra

Précédent : Présentation générale et objectifs Remonter : Avant-Projet MOSTRA, Modélisation Numérique des Suivant : Grands domaines d'application

• Développement et analyse de méthodes numériques performantes pour le calcul des structures
  • Fiabilité des méthodes numériques pour les coques minces
  • Eléments finis de coques pour les applications industrielles
  • Modèles numériques multi-échelles en structures composites
• Solveurs pour le calcul intensif en mécanique du solide
• Simulation numérique du couplage fluide-structure
• Structures adaptatives

Fondements scientifiques

Quatre orientations scientifiques sont retenues pour leur complémentarité, leur nouveauté, leur maturité au niveau scientifique et leurs retombées industrielles. Dans ce paragraphe, nous mettons l'accent sur la problématique et sur les outils scientifiques disponibles pour apporter des réponses à chacun de ces défis.

Développement et analyse de méthodes numériques performantes pour le calcul des structures

Mots-clés : structure, poutre, plaque, coque, matériau composite

Structure: Objet tridimensionnel de la mécanique des solides dont une des dimensions au moins (typiquement l'épaisseur) est très inférieure à la taille globale. Cette propriété permet d'utiliser des modèles mécaniques réduits, c'est à dire posés sur des variétés de dimension 1 (ligne, dite ``ligne moyenne'') ou de dimension 2 (``surface moyenne''), et non dans un domaine tridimensionnel. Les poutres, plaques et coques constituent des exemples de structures simples, et une structure générale est constitué d'un assemblage de tels composants.
Poutre: Objet dont deux dimensions (en général du même ordre de grandeur) sont très petites devant la troisième. Le modèle réduit est alors formulé sur une ligne (droite ou courbe).
Coque: Objet dont une dimension (l'épaisseur) est très inférieure aux deux autres. Le modèle de structure est formulé sur la surface moyenne de l'objet.
Plaque: Cas particulier de coque dont la surface moyenne est plane.

Résumé : Dans le cadre des méthodes numériques pour le calcul des structures, trois axes de recherche font l'objet de travaux : la fiabilité des méthodes de coques, les éléments finis de coques pour les applications industrielles, et les modèles numériques de structures composites.

En mécanique des structures, la simulation numérique est maintenant un outil de base. La méthode des éléments finis est largement employée pour la conception de nouveaux produits. Les modèles utilisés, souvent multi-échelles, sont de plus en plus fins et requièrent le développement et l'analyse de méthodes numériques performantes. Dans ce cadre, trois axes de recherches plus spécifiques font l'objet de travaux au sein de MOSTRA.

Fiabilité des méthodes numériques pour les coques minces

De nombreux travaux ont été effectués ces dernières années pour analyser et justifier les modélisations bidimensionnelles de coques (P. G. Ciarlet [Cia98], E. Sanchez-Palencia [SHSP97]) ainsi que pour les approcher numériquement par diverses méthodes d'éléments finis (M. Bernadou [Ber94], F. Brezzi et M. Fortin [BF91]). Ces différents outils scientifiques (analyse asymptotique, analyse de la convergence des méthodes d'éléments finis pour les problèmes de coques, méthodes d'éléments finis mixtes ...) permettent aujourd'hui d'aborder l'un des grands défis du domaine : les problèmes de fiabilité des méthodes numériques pour les coques.

Dans les équations de coques minces figurent des termes en $e$ et des termes en $e^3$, où $e$ désigne l'épaisseur de la coque [Ber94]. Lorsque ces équations sont approchées par des méthodes d'éléments finis et que l'épaisseur est très petite (devant les autres dimensions de la structure), des phénomènes de détérioration de la convergence, et notamment de verrouillage numérique, sont susceptibles d'apparaître du fait de la présence de ces différentes puissances de $e$ [Bat96] [Cha96]. Ce type de problème a fait l'objet de nombreuses études dans d'autres contextes (élasticité incompressible, plaques, poutres...) mais, à ce jour, il n'existe pas de méthode réellement satisfaisante pour les coques générales.

Eléments finis de coques pour les applications industrielles

Dans le cadre de nos travaux antérieurs, l'utilisation des éléments finis de coque requiert la donnée d'une carte ${\phi}$qui associe à tout point matériel $m$ de la surface moyenne de référence $\hat\omega$ (que l'on choisit en général plane) sa position initiale ${\phi}(m)$. Dans les applications industrielles, les géométries des structures considérées sont en général trop complexes pour être définies par une carte unique et, de fait, les surfaces sont habituellement décrites par une liste de points. Des techniques d'approximation par fonctions ``splines'' ont été parfois utilisées dans ces situations pour reconstruire une carte à partir des coordonnées ponctuelles mais, à cause de son coût, cette approche n'est pas très satisfaisante dans la pratique industrielle. Notre objectif est de trouver une méthodologie efficace et robuste pour construire automatiquement une carte dans toutes les situations industrielles où la coque est décrite uniquement par son maillage tridimensionnel.

Modèles numériques multi-échelles en structures composites

Les interactions fortes entre les diverses échelles des stratifiés composites (échelle du stratifié, des plis et des constituants), et leur faible tenue aux chocs latéraux qui induisent des micro-fissurations dans la matrice et des décohésions fibre-matrice font que beaucoup de méthodes efficaces pour l'étude des structures classiques sont inadaptées.

La modélisation du comportement des stratifiés composites nécessite en général une approche multi-échelles, afin d'intégrer ces spécificités. La simulation directe à l'échelle microscopique étant irréalisable, une représentation à l'échelle des plis supposés homogènes semble raisonnable. La réalisation d'un tel objectif nécessite de savoir :

• identifier les lois de comportement de chaque couche à partir des propriétés mécaniques et géométriques à l'échelle la plus fine (fibre, matrice) et remonter aux contraintes locales à partir d'une solution homogénéisée. Cette approche qui s'appuie sur des techniques de développements asymptotiques (voir A. Bensoussan, J.L Lions, G. Papanicolau [BLP78], Duvaut[Duv76]) est classique et a fait l'objet de solides validations;
• modéliser l'endommagement à l'échelle des plis avec des variables moyennant les phénomènes complexes (micro-fissuration de la matrice et le décohésion fibre-matrice). Ce type d'approche basée sur les concepts classiques de la mécanique de l'endommagement a fait l'objet de récents travaux théoriques, voir Ladeveze [Lad91]. Mais la validation des modèles numériques n'est pas résolue de façon satisfaisante et le développement et la mise en place d'outils de calcul reste à faire.

Solveurs pour le calcul intensif en mécanique du solide

 Mots-clés : décomposition de domaines, algorithmes numériques, calcul parallèle, élasticité linéaire et non linéaire

Solveur en mécanique du solide: Ensemble d'algorithmes qui permettent la résolution du problème complet (par exemple une méthode de Newton associée à une discrétisation par éléments finis).

Décomposition de domaines: la décomposition de domaines consiste à partager le domaine de calcul en petits sous-domaines et à concevoir une méthode de résolution qui ramène la résolution du problème global à des petits problèmes par sous-domaine. Par ailleurs, en calcul parallèle, ce terme désigne la distribution de données à travers les processeurs.

PVM: Parallel Virtual Machine

Résumé : La simulation numérique de structures industrielles conduit à des problèmes de grande taille. Leur résolution se heurte à deux difficultés : les géométries sont complexes, et les schémas d'intégration sont nécessairement implicites, ce qui exige l'inversion de systèmes matriciels creux, non structurés et de très grande taille. Pour mener à bien cette tâche, il convient de concevoir et de développer des algorithmes nouveaux.

Les moyens de calcul classiques sont souvent insuffisants pour résoudre des problèmes réels en calcul des structures, en particulier les modèles discrets obtenus sur maillages raffinés et adaptés de structures hétérogènes.

L'avenir dans ces domaines exige l'utilisation de grands ordinateurs parallèles ou de réseaux de stations de travail et de nouveaux algorithmes adaptés au calcul numérique intensif.

La stratégie de développement est axée sur l'utilisation de machines parallèles gros grains et d'une programmation par passage de messages utilisant des standards de type PVM ou MPI. Cette approche assure une grande portabilité du logiciel et une utilisation indifférente de réseaux de stations de travail ou de gros ordinateurs parallèles (SP2, SGI).

D'un point de vue algorithmique, la plupart des problèmes non linéaires en mécanique des structures débouche sur la résolution d'un ou plusieurs systèmes linéaires de grande taille, creux, non structurés et plutôt mal conditionnés. La grande taille de ces systèmes rend difficile sinon impossible l'utilisation de méthodes directes. D'autre part, le mauvais conditionnement est un frein pour l'utilisation de méthodes itératives de type gradient conjugué. Pour résoudre de tels problèmes, au niveau algorithmique, la plupart des solutions proposées et validées s'appuient sur des techniques de décomposition de domaines. C'est une méthodologie générale qui permet de résoudre des systèmes linéaires et non linéaires issus de la discrétisation d'équations aux dérivées partielles.

Une analyse mathématique rigoureuse de ces méthodes, au niveau continu ou discret, permet de concevoir des algorithmes très robustes et de définir des méthodes à deux niveaux pour pouvoir résoudre des problèmes elliptiques avec un grand nombre de sous-domaines (voir Le Tallec [Le 94]).

Dans le projet, on s'intéresse à trois types d'outils nécessaires pour surmonter les difficultés théoriques et pratiques posées par l'utilisation des techniques de décomposition de domaines :

• des techniques de partitionnement automatique permettant de découper des maillages de structures complexes en sous-domaines réguliers et compacts,
• des solveurs itératifs d'interface de type Neumann-Neumann, qui permettent de réduire le problème initial à une succession de problèmes de sous-structures à traction ou à déplacement imposés et résolus en parallèle par sous-domaine,
• des solveurs sur grille grossière permettant de construire des algorithmes multiniveaux rapides et efficaces quelle que soit la géométrie et le nombre des sous-domaines utilisés.

Simulation numérique du couplage fluide-structure

  Mots-clés : algorithme numérique, équation de Navier-Stokes, calcul des structures, turbulence

Résumé : Certains comportements dynamiques de structures ne peuvent être expliqués qu'à travers une étude fine du couplage entre la structure et un écoulement fluide environnant. Cette action vise à développer des outils performants pour la simulation numérique de ces phénomènes couplés.

L'objectif de cet axe de recherche est de parvenir à rendre compte, par la simulation numérique, de phénomènes physiques faisant intervenir de façon essentielle l'interaction entre une structure en mouvement et un écoulement fluide. Très schématiquement, on peut décrire le couplage qui entre en jeu comme suit : le déplacement de la structure modifie la géométrie du domaine fluide et donc l'écoulement qui à son tour exerce une action sur la structure. Ces phénomènes jouent un rôle capital dans un grand nombre d'applications et dans des domaines très variés (écoulements dans les vaisseaux sanguins, stabilité des ailes d'avion et des grands ouvrages d'art, etc.).

Dans cette démarche, la pertinence des modèles utilisés pour décrire chacun des deux domaines indépendamment l'un de l'autre et la performance des méthodes numériques employées pour discrétiser ces modèles constituent des préalables fondamentaux. C'est donc tout naturellement en association avec des spécialistes reconnus en mécanique des fluides issus d'autres équipes de l'INRIA (et notamment de M3N) que MOSTRA, dont les compétences ressortissent davantage du calcul des structures, est engagé dans cette action.

Cependant, il est important de souligner que le traitement numérique du couplage fluide-structure ne se résume pas à un simple ``dialogue de codes'' et que cette problématique recèle en elle-même de véritables enjeux scientifiques. Parmi les problèmes difficiles qui sont en cours d'étude ou en voie de le devenir, on peut citer :

1.

La conception d'algorithmes de couplage. Ce terme recouvre en fait deux aspects :
- Les lois de couplage, par lesquelles on transmet les efforts et les déplacements entre les domaines au niveau discret. La définition de telles lois est particulièrement délicate lorsque les maillages des deux domaines sont incompatibles à l'interface (ce qui, dans les applications industrielles, correspond au cas général). Des travaux récents [FLLre] ont été menés à l'INRIA sur ce point.
- Les schémas de résolution du problème couplé qui définissent la façon dont on résout le problème global à chaque pas de temps. Des résultats prometteurs, autant sur le plan pratique que théorique, ont été obtenus à l'INRIA en utilisant, d'une part un schéma dit ``décalé'' [Pip95] , et d'autre part un schéma de point milieu totalement couplé [LTM96].

2.

La formulation ALE de modèles de fluides turbulents. Lorsque les déplacements de la structure sont importants, il est nécessaire de faire évoluer le maillage du domaine fluide pour prendre en compte les modifications de sa géométrie liées aux déplacements de l'interface. On utilise pour cela des formulations de type ALE (``Arbitrary Lagrangian-Eulerian'' [DGH82]). Ces formulations sont bien connues dans le cadre du modèle standard de Navier-Stokes (même si le problème du mouvement de maillage à déplacement d'interface imposé est toujours un sujet de recherche actif), mais leur adaptation à des modèles plus complexes, par exemple un modèle de turbulence de type $k$-$\varepsilon$avec lois de parois, reste un problème largement ouvert.

Les objectifs de MOSTRA dans ce contexte sont :

- de participer activement à l'effort de recherche des équipes de l'INRIA dans le domaine du couplage fluide-structure, notamment sur les points mentionnés ci-dessus;

- d'adapter les techniques de simulation dans des contextes d'applications bien déterminés où le contrôle actif de structures peut apporter des améliorations et une fiabilité remarquables.

Dans ces deux directions, il convient de souligner que MOSTRA est partie prenante dans l'action incitative ``Simulations numériques d'interactions fluide-structure en génie civil et en ingéniérie biomédicale'' (voir ), ainsi que dans un partenariat de recherche piloté par le Laboratoire Central des Ponts et Chaussées sur les ``Effets du vent sur les structures du génie civil'' (voir ).

Structures adaptatives

Mots-clés : calcul des structures, contrôle, algorithme numérique, modélisation, structures adaptatives

Résumé : L'amortissement rapide des vibrations, la qualité acoustique d'une enceinte, la modification de la forme d'une aile d'avion sont des exemples de problèmes où le contrôle actif peut améliorer notablement la compétitivité d'une structure. Ces techniques de contrôle actif reposent sur l'utilisation de capteurs, de boucles de contrôle en temps réel et sur l'utilisation d'actionneurs. Les applications sont en pleine émergence en aéronautique, aérospatial, dans le secteur automobile, en environnement.

Dans le domaine de l'ingénierie mécanique, les structures occupent une place très importante (automobile, aérospatial, génie civil ...). La technologie des structures a évolué par paliers : les structures en matériaux classiques ; plus récemment, les structures en matériaux composites ont permis d'augmenter la résistance en diminuant le poids ; la décennie en cours voit le développement de techniques de contrôle actif (et même passif) et conduit à la notion de ``matériaux intelligents'' c'est à dire capables d'être adaptés (ou même de s'auto-adapter) au milieu environnant.

Cette capacité d'adaptation résulte de la mise en oeuvre de trois fonctions :

• une fonction ``capteur'' : typiquement, une ou plusieurs pastilles piézoélectriques collées ou insérées sur ou dans la structure permettent de transformer une déformation en signal électrique : l'analyse de ce signal conduit alors à une bonne approximation des déformations. Cette fonction capteur peut bien sûr être assurée à l'aide d'autres dispositifs : films piézoélectriques, capteurs magnétostrictifs ou électrostrictifs ...Un des premiers problèmes est précisément de choisir correctement cette fonction capteur : nature, nombre, emplacements optimaux ...
• une fonction ``actionneur'' : c'est la procédure inverse. Un signal électrique (différence de potentiel par exemple) est transmis à des actionneurs (d'autres pastilles piézoélectriques, magnétostrictives ...) pour entraîner leur déformation (et donc celle de la structure). Là encore, il convient de choisir correctement cette fonction actionneur : c'est à dire, comme précédement, nature, nombre, emplacements optimaux ...
• une boucle de contrôle actif dans laquelle les informations données par la fonction ``capteur'' sont analysées, généralement en temps réel ; des instructions ``adaptées'' sont alors transmises à la fonction ``actionneur''.

Au delà de ce schéma générique et représentatif de la majorité des actions de recherche menées en ce moment, il convient aussi de mentionner une autre idée plus novatrice, qui consiste à remplacer un dispositif de contrôle actif par un dispositif complétement passif (lorsque c'est possible) avec deux avantages immédiats :

• le décalage entre mesure et action est notablement diminué, sinon supprimé ;
• il n'y a plus besoin de source d'énergie extérieure : c'est la structure qui fournit l'énergie nécessaire à son propre contrôle.

Au plan scientifique, la mise au point de telles structures adaptatives repose sur des techniques

• de calcul des structures (Bathe [Bat96], Bernadou [Ber94]) ;
• de contrôle et de contrôlabilité (Banks [BSW96] ,J.L. Lions [Lio88a] [Lio88b], thèse de Bourquin [Bou95]) ;
• d'automatique (de Larminat [de 96]).

Une présentation générale des techniques à mettre en oeuvre se trouve dans la thèse de Collet [Col96] ainsi que dans Fuller [FEN96] , Nelson et Elliott [NE92] ou Tzou [Tzo93].

Précédent : Présentation générale et objectifs Remonter : Avant-Projet MOSTRA, Modélisation Numérique des Suivant : Grands domaines d'application