Projet Mistral

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• Contrôle et théorie des jeux
  • Processus markoviens contrôlés
  • Jeux stochastiques
  • Contrôle des systèmes stochastiques hybrides
  • Contrôle et multimodularité
• Modélisation spatiale et architecture de réseaux
  • Arbres couvrants
  • Routage de Delaunay
  • Ensembles d'arrêt
• Gradients stochastiques
  • Différentiabilité de fonctionnelles de processus de Poisson
  • Gradients dans l'espace des mesures
• Stabilité stochastique
  • Stabilité du contrôle de flux à fenêtre dans les réseaux à commutation de paquets
  • Stabilité de files d'attentes
• Evénements rares et qualité de service dans les réseaux
  • Événements rares pour processus stationnaires
• Evaluation de performances des serveurs Web
  • Modélisation des transactions HTTP
  • Moteurs de recherche
  • Indexation de documents
• Modélisation des réseaux
  • Modèles de trafic pour les réseaux
  • Protocoles de communication dans l'Internet
• Modélisation de systèmes temps-réel

Résultats nouveaux

Contrôle et théorie des jeux

Participants : Eitan Altman , Alain Jean-Marie

Mots-clés : processus markoviens contrôlés, jeu stochastique, contrôle hybride, multimodularité

Processus markoviens contrôlés

En collaboration avec M. Tidball (université Nationale de Rosario, Argentine), A. Jean-Marie a étudié les «Processus de Markov déterministes par morceaux» (Piecewise deterministic Markov processes), une classe de modèles introduits récemment par M. Davis. Dans le cadre d'une application à un modèle d'ordonnancement de la production, ils ont en particulier étudié l'approximation et la discrétisation de la fonction de valeur du problème [37].

Jeux stochastiques

Les jeux stochastiques non-coopératifs ont été étudiés par E. Altman dans [24], [39], [13]. Dans [13] nous considérons des jeux stochastiques à $n$-joueurs ; nous obtenons des conditions nécessaires et suffisantes pour l'existence des fonctions de valeur et des politiques d'équilibre stationnaire, ainsi que des algorithmes pour les calculer. Dans [24,39], nous considérons des problèmes d'approximations dans les jeux à somme nulle. En particulier, nous étudions la convergence des politiques optimales et des fonctions de valeur. Nous appliquons ces résultats pour approcher des jeux définis sur des espaces d'état infinis par des jeux à espaces d'état finis.

Contrôle des systèmes stochastiques hybrides

Dans [12], E. Altman étudie des systèmes stochastiques hybrides en temps continu dans un intervalle de temps fini, dans le cas de coûts non-linéaires de l'espérance de la trajectoire. La dynamique de l'état est non-linéaire, et les paramètres qui déterminent la dynamique varient selon un processus markovien de saut contrôlé. Des contrôleurs qui sont optimaux asymptotiquement (quand le nombre de sauts devient grand) sont obtenus en étudiant le contrôle d'un système déterministe limite.

Contrôle et multimodularité

Dans un article datant de 1985, << Extremal splitting of point processes >>, B. Hajek a introduit une propriété de convexité appelée multimodularité. Cette notion est définie pour les fonctions sur les points entiers d'un espace euclidien multidimensionnel. Dans une série de quatre articles, nous présentons et caractérisons la multimodularité et nous montrons comment elle s'applique au contrôle optimal de files d'attentes ou de systèmes (max,+) [4].

Ce travail, en collaboration avec le professeur Hordijk de l'université de Leiden, a commencé par l'étude des propriétés de couplage et de stabilité dans des systèmes non markoviens contrôlés, en utilisant la théorie du renouvellement de Borovkov.

Puis nous avons entamé une étude de systèmes contrôlés ayant la propriété de multimodularité, qui a conduit à des méthodes de contrôle des réseaux de télécommunications, en particulier pour améliorer leur qualité de service (limitation des rafales de trafic, taux de service équitables pour l'ensemble des sessions).

Dans [42], qui constitue la partie théorique de notre étude, nous montrons la relation entre la convexité et la multimodularité. Nous obtenons ainsi des résultats généraux pour des coûts actualisés ou moyens qui sont des compositions convexes croissantes de fonctions multimodulaires. En particulier, nous construisons des bornes inférieures pour la fonction de valeur du problème actualisé et nous montrons que le problème moyen est minimisé par une séquence équilibrée, tant pour les problèmes avec un objectif unique que pour ceux avec objectifs multiples.

Dans [40], nous avons utilisé le formalisme (max,+) pour montrer que le temps de séjour moyen d'un client dans le réseau et la charge moyenne du réseau sont des fonctions multimodulaires de la suite des dates d'arrivées. Nous utilisons ensuite les théorèmes généraux introduits dans [42] pour construire le contrôle d'admission optimal.

Dans [41], nous donnons une vue d'ensemble de la notion de séquences équilibrées qui peuvent être définies informellement comme répondant à la question suivante : est-il possible de construire une suite infinie sur $n$ lettres dans laquelle chaque lettre est distribuée de façon aussi régulière que possible et apparaît avec un taux fixé ? Nous montrons aussi le lien avec la multimodularité et nous utilisons ces deux notions a priori assez éloignées pour optimiser le routage dans des réseaux de files d'attente. Des résultats nouveaux, comme l'optimalité du routage cyclique dans des systèmes homogènes très généraux (G/G/1), deviennent de simples corollaires de ce résultat.

Finalement, dans [43], nous considérons le problème dual des absences du serveur. Ici, le contrôle n'a plus lieu sur les arrivées mais sur le serveur, sans information sur l'état du système. Le problème dual est alors celui du << polling >>, où un même serveur est responsable de plusieurs files d'attente.

Modélisation spatiale et architecture de réseaux

Participants : François Baccelli , Konstantin Tchoumatchenko , Sergueï Zuyev

Mots-clés : modélisation spatiale, processus ponctuel, géométrie aléatoire, calcul de Palm, pavage de Voronoï, arbre couvrant

Arbres couvrants

Plusieurs modèles d'arbres couvrants ont été proposés dans [18] pour la description de la topologie de systèmes hiérarchiques de réseaux. Le calcul de Palm et la formule d'échange entre deux mesures de Palm nous ont permis de calculer le coût moyen des connexions d'un commutateur typique, en prenant en compte les fonctions de coût de l'infrastructure et celles des communications. Parmi des applications possibles de ces résultats, on peut citer la répartition optimale des bases de données de localisation pour les systèmes de télécommunications mobiles (paging) et l'optimisation de l'architecture de réseaux hiérarchiques.

Routage de Delaunay

Dans le cadre d'un réseau cellulaire, le routage peut être modélisé par un chemin sur le graphe de Delaunay, proche de la ligne droite connectant la source et la destination. Dans le cadre de la collaboration avec France Telecom, nous avons étudié les propriétés markoviennes de tels chemins. Les résultats numériques obtenus montrent que la longueur de ce chemin est asymptotiquement 4/$\pi$ fois la longueur euclidienne entre les stations. Dans le cas poissonnien, la représentation markovienne de ce chemin permet aussi d'étudier la vitesse de convergence vers la constante 4/$\pi$.

Ensembles d'arrêt

Une large classe d'ensembles aléatoires construits à partir des configurations ponctuelles forment des ensembles d'arrêts. Cette classe contient, en particulier, la fleur de Voronoï définissant la géométrie de la cellule de Voronoï qui sert de modèle pour la zone de desserte d'un commutateur. Dans [49] nous montrons des résultats de type loi Gamma analogues à ceux obtenus dans le passé par S. Zuyev et I. Molchanov, ainsi que des nouveaux résultats concernant les propriétés de recouvrement des ensembles d'arrêt.

Gradients stochastiques

Participants : François Baccelli , Sergueï Zuyev


Mots-clés : gradient stochastique, développement de Taylor de fonctionnelles de processus de Poisson

Différentiabilité de fonctionnelles de processus de Poisson

Dans un travail en collaboration avec des chercheurs de l'université d'Ulm (S. Hasenfuss et V. Schmidt), F. Baccelli a proposé une nouvelle méthode fondée sur le couplage pour établir la différentiabilité en $\lambda$d'une fonctionnelle quelconque d'un processus de Poisson homogène d'intensité $\lambda$ [44]. Cette méthode permet de donner des conditions moins contraignantes que celles des méthodes classiques (la méthode d'admissibilité de Reiman et Simon, la méthode de Baszczyszyn et celle de Zazanis fondée sur les dérivées de Radon-Nikodym), notamment pour la différentiabilité infinie au point $\lambda=0$.Plusieurs applications ont été étudiées en détail, notamment celle des systèmes (max +)-linéaires avec des entrées formant un processus de Poisson ([16], [15]).

Gradients dans l'espace des mesures

En collaboration avec le professeur I. Molchanov, de l'université de Glasgow, S. Zuyev a aussi continué les travaux sur la technique des gradients stochastiques qui est à la base du simulateur ARC de réseaux de télécommunications décrit dans [26]. De nouvelles applications des résultats théoriques concernant l'optimisation sur l'espace de mesures de masse totale tendant vers l'infini, présentés dans le journal Adv. in Appl. Probab. (J. Møller et S. Zuyev, 1996) nous ont permis d'exprimer la densité asymptotiquement optimale des stations pour une densité démographique donnée des abonnés du réseau.

Stabilité stochastique

Participants : Eitan Altman , François Baccelli , Thomas Bonald


Mots-clés : stabilité de systèmes de files d'attentes, stabilité dans des systèmes non markoviens

Stabilité du contrôle de flux à fenêtre dans les réseaux à commutation de paquets

Le contrôle de flux à fenêtre, utilisé par exemple par le protocole TCP sur le réseau Internet, consiste à limiter le nombre de paquets que peut envoyer une source sans avoir reçu d'acquittement de la destination. Dans [34], F. Baccelli et T. Bonald s'intéressent au débit maximal d'une connexion contrôlée par un tel mécanisme, lorsque chaque routeur est modélisé par une file d'attente recevant un flux exogène stationnaire et ergodique. En établissant des conditions nécessaires et une condition suffisante de stabilité de ce système, ils obtiennent des bornes sur ce débit maximal. Certains phénomènes contre-intuitifs, comme la non-monotonie du débit maximal en l'intensité des flux exogènes, sont également mis en évidence.

Stabilité de files d'attentes

Eitan Altman a considéré deux problèmes de stabilité de files d'attentes. Dans [11], des systèmes de polling markoviens ont été analysés. Les temps de services, de déplacement du serveur, et les temps entre les arrivées sont indépendants, et leurs espérances sont supposées être finies. Des conditions nécessaires et suffisantes de stabilité sont obtenues. Dans [32] nous avons considéré des files d'attentes où des clients qui trouvent le serveur occupé ou la file pleine, reviennent plus tard (<< retrial queues >>). Sous plusieurs types d'hypothèses (markoviennes et non markoviennes), des conditions nécessaires et suffisantes de stabilité sont obtenues. Des méthodes de renouvellement ont été utilisées pour le cas non markovien, y compris dans le cas contrôlé [14].

Evénements rares et qualité de service dans les réseaux

Participants : François Baccelli , Zhen Liu , Philippe Nain


Mots-clés : qualité de service, borne, distribution sous-exponentielle, rareté et exponentialité

Événements rares pour processus stationnaires

Kielson (1979) et Aldous (1989) ont donné des expressions pour le comportement asymptotique du temps moyen jusqu'à l'occurrence d'un événement rare dans le cadre de processus markoviens. Dans un travail en collaboration avec le professeur David Mac Donald de l'université D'Ottawa [45], F. Baccelli a généralisé ces résultats du cadre markovien au cadre stationnaire grâce à la théorie des processus ponctuels, et notamment la formule d'échange entre deux mesures de Palm [3]. Deux notions d'indépendance et d'exponentialité asymptotiques sont introduites qui permettent d'étudier le comportement asymptotique de ce temps moyen sous diverses lois de probabilité.

Evaluation de performances des serveurs Web

Participants : Zhen Liu , Alain Jean-Marie , César Jalpa-Villanueva , Vincent Morgera , Philippe Nain , Nicolas Niclausse , Jérôme Talim


Mots-clés : multimédia, serveur Web, HTTP, modèle de trafic, cache, politique de remplacement, moteur de recherche, ordonnancement

Modélisation des transactions HTTP

Dans le cadre de la thèse de C. Jalpa-Villanueva, nous nous sommes intéressés aux problèmes liés à la modélisation des transactions HTTP. Afin de trouver des modèles statistiques adéquats du trafic de la nouvelle version du protocole de transport HTTP1.1, C. Jalpa-Villanueva a installé un serveur Web supportant HTTP1.1 pour y effectuer des mesures. Les expériences sur ce serveur nous ont permis d'analyser son comportement (consommation de CPU, accès au disque, etc) et d'observer l'effet de certains paramètres sur la durée des transactions et le taux de requêtes servies. De plus, une analyse des traces de trafic HTTP/1.1 sur TCP a mis en évidence l'évolution de ces connexions TCP. La phase initiale, qui joue un rôle important sur la durée des transactions, ne ressemble pas à ce qu'on observe usuellement dans les autres applications TCP. Des études plus approfondies sont en cours.

Moteurs de recherche

Z. Liu s'est intéressé aux problèmes d'optimisation des moteurs de recherche sur le Web tels que Alta Vista, Lycos, etc. Ces moteurs utilisent des robots qui sont envoyés à travers le réseau, pour sonder les différentes pages Web et pour rapatrier des informations aux moteurs de recherche qui effectuent l'indexation. Les pages Web étant modifiées plus ou moins régulièrement, le travail des robots assure la mise à jour des bases de données. En collaboration avec Ed. Coffman (Bell Labs), Z. Liu a entamé une étude [47] du problème d'ordonnancement du robot pour minimiser les fractions $r_i$ du temps où les pages ne sont pas à jour, en supposant des processus poissonniens indépendants de changement de pages, et une distribution générale pour les durées d'accès de pages $X$.Nous montrons que si $X$ décroit dans le sens de l'ordre convexe-croissant, alors $r_i$ décroit pour toutes les pages $i$ sous n'importe quelle politique d'ordonnancement. Nous montrons aussi que pour maximiser l'espérance de la fraîcheur d'une page, l'accès à cette page par le robot doit être équitablement espacé en temps. Nous étudions ensuite le problème d'ordonnancement pour minimiser la fonction de coût $\sum c_i r_i,$où les $c_i$ sont des coefficients proportionnels aux taux de changement des pages $\mu_i$.Nous donnons une borne sur la performance de la politique optimale et montrons que la fréquence optimale avec laquelle le robot accède à la page $i$ est proportionnelle à $\ln (h_i)^{-1}$, où $h_i := {\rm E}\ e^{-\mu_iX}.$Notons que cette dernière devient proportionnelle à $\mu_i$ seulement quand $X$ est une constante. Nous évaluons les politiques d'accès aléatoires de distribution $\{f_i\}$.Nous montrons que, quand les $c_i$ sont des coefficients proportionnels aux taux de changement des pages $\mu_i$,le coût minimum est atteint si $f_i$ est proportionnel à $(h_i)^{-1} - 1$.Finalement, nous présentons et analysons une heuristique pour le cas d'un grand nombre de pages.

Afin d'appliquer tels résultats, il reste à estimer la distribution de $X$ ainsi que les paramètres $\lambda_i$. Ceci a fait l'objet du stage de DEA de V. Morgera [50]. Dans ce stage, V. Morgera (sous la direction de Z. Liu) a installé un robot de moteurs pour effectuer des mesures statistiques. Les données collectées sont stockées dans une base de données afin d'en faciliter la réutilisation.

Indexation de documents

L'étude rapportée dans [47] a été poursuivie dans le cadre de la thèse de J. Talim. Le modèle utilisé est celui d'une file d'attente où les clients représentent les documents rapatriés par les robots, et les services les opérations d'indexation de ces documents. Le buffer est de capacité finie. L'objectif consiste à optimiser la quête des données à travers le réseau afin d'assurer une mise à jour aussi fréquente que possible des bases de données. Plus précisément, nous nous sommes intéressés au nombre de robots, à savoir comment le fixer de manière à éviter que le buffer ne soit plein et à maintenir le serveur en activité. Dans cet état d'esprit, nous avons considéré différentes distributions de service (exponentielle, ou fonction plus générale) d'une part, l'aspect statique (où le nombre de robots est constant) et l'aspect dynamique (où suivant la charge du serveur, nous régulons ce nombre), d'autre part. Nous proposons des techniques de calcul de ce nombre optimal de robots dans le cas statique ; et surtout nous avons étudié, sur des exemples, la structure de cette quantité en fonction de certains paramètres du modèle (tels que la taille du buffer, ou bien le temps moyen de service). Dans le cas dynamique, nous prenons en compte à la fois le nombre de robots en activité et la file d'attente dans le buffer ; le champ des actions consiste à déterminer le nombre optimal de robots à mettre en activité.

Modélisation des réseaux

Participants : Alain Jean-Marie , Zhen Liu , Philippe Nain

Mots-clés : qualité de service, modèle de trafic, mémoire longue, dimensionnement, multiplexage

Modèles de trafic pour les réseaux

  La mise en évidence récente, par expérimentation, de la nature << fractale >> du trafic (on parle aussi de mémoire longue) dans les réseaux mobilise en ce moment de nombreuses équipes autour de la recherche de nouveaux modèles mathématiques de trafic susceptibles de reproduire ce type de comportement statistique. Trois classes de modèles sont principalement à l'étude : ceux basés sur le mouvement brownien fractionnaire, le processus de Cox et les sources on/off avec périodes d'activité à << queue lourde >>. En 1997 les membres du projet MISTRAL se sont intéressés aux modèles issus des deux dernières classes et ont obtenu des résultats parmi les plus généraux de ceux publiés à ce jour.

Un processus de Cox $\{X(t)\}$ est défini comme le processus du nombre de clients dans une file d'attente M/G/$\infty$. C'est un processus fortement corrélé (ses composantes sont des variables aléatoires associées) et stationnaire. Sa fonction d'autocorrélation est une fonction explicite de la loi de service $G$, ce qui en fait tout l'intérêt. Par exemple, ce processus sera à << mémoire longue >> (c'est-à-dire que $\sum_{n=0}^\infty\,\vert\hbox{cov }(X(t),X(t+n))\vert=\infty$)si $G$ suit une loi de Pareto de paramètre $\alpha\in (1,2)$.Si $G$ est une loi lognormale ou une loi de Weibull, alors le processus de Cox n'est pas à << mémoire longue >> ; cependant, sa fonction d'autocorrélation décroîtra beaucoup plus lentement dans ce cas (comme $1-G(n)$) que dans le cas où $G$ est une variable exponentielle (décroissance exponentielle). Ces quelques éléments montrent donc que l'on peut modifier la structure de corrélation du processus de Cox de façon explicite en faisant varier $G$.

Un problème particulièrement intéressant dans le cadre des réseaux est l'étude du comportement d'une file d'attente (routeur) alimentée par un tel processus et qui transmet les clients (paquets) à débit constant (appelée file Cox/D/1 dans la suite). En collaboration avec D. Towsley (univ. Massachusetts) et Z.-L. Zhang (univ. Minnesota), Z. Liu et P. Nain ont étudié [21] le comportement asymptotique de la charge stationnaire ($W$) d'une file Cox/D/1 sous l'hypothèse où $G$ est une loi sous-exponentielle (par exemple, Pareto, lognormale, Weibull). Des bornes asymptotiques inférieures et supérieures ont été obtenues pour $\log\,P(W\gt x)$ pour $x\uparrow \infty$ ainsi que le comportement asympotique exact de cette quantité lorsque $G$ est une loi de Pareto ou lognormale, sous une condition particulière qui s'exprime en fonction des intensités d'arrivée et de service. Une conséquence directe de ces résultats est que la probabilité de perte d'un paquet peut être de plusieurs ordres de grandeur supérieure à celle calculée dans les modèles markoviens ou à base de processus de renouvellement. Traduit en termes de réseaux, cela signifie qu'en présence de trafic de nature << fractale >>, les mémoires doivent être surdimensionnées sous peine d'une forte dégradation de la qualité de service.

true cm Les sources on/off sont utilisées depuis très longtemps dans le monde des télécommunications, car particulièrement bien adaptées à la modélisation du trafic généré par les usagers. Une source on/off est un processus stochastique qui génére un << fluide >> (par exemple, des bits) à débit constant quand elle est active (on) et rien du tout quand elle est inactive (off). En téléphonie traditionnelle, les périodes on et off sont bien modélisées par des lois exponentielles. Parmi les raisons avancées pour expliquer le comportement fractal du trafic dans les réseaux il y a le caractère sporadique de certains trafics (rafales de paquets) ainsi que la co-existence dans le réseau d'applications aux << échelles de temps >> différentes (quelques minutes en téléphonie, de l'ordre de l'heure pour la vidéo à la demande ou la vidéoconférence). Ces phénomènes et leurs conséquences peuvent être reproduits et étudiés à partir de la superposition de sources on/off avec des périodes d'activités à << queue lourde >>. Un problème naturel est l'étude du comportement de la charge ($X$) d'un multiplexeur/routeur alimenté par plusieurs sources on/off de ce type. En collaboration avec R. Agrawal (univ. Wisconsin) et A. Makowski (univ. Maryland), tous les deux visiteurs de MISTRAL en 1997, P. Nain a obtenu des bornes asymptotiques inférieures pour $P(X\gt x)$ sous l'hypothèse où au moins une source a des périodes d'activité à << queue lourde >> et montré que $P(X\gt x)$ héritait de cette propriété de queue lourde. Dans le cadre des réseaux ceci signifie que c'est le trafic le plus sporadique (bursty) qui causera les phénomènes d'attente et de rejet, et qui déterminera donc le niveau des performances. Ces recherches se poursuivent actuellement dans le but de calculer une borne asymptotique supérieure.

true cm A. Jean-Marie, Z. Liu et P. Nain, jointement avec D. Towsley (univ. Masachussetts), ont étudié le modèle de files d'attente MMPP/GI/1 où les clients arrivent selon un processus de Poisson modulé. En partant de résultats connus sur les modèles fluides de trafic, une analyse fine des propriétés spectrales des matrices impliquées a pu être effectuée. Il est ainsi possible de calculer numériquement la distribution de la quantité d'informations en attente dans les tampons, pour des routeurs soumis à des trafics provenant de sources diverses avec des caractéristiques (débit moyen, débit des rafales) très diverses.

Protocoles de communication dans l'Internet

Dans un travail joint avec M. May, C. Diot et J.-C. Bolot (projet RODEO), A. Jean-Marie a étudié les mécanismes de discrimination de service basés sur 1 bit, pour le traitement des informations dans l'Internet. Ces protocoles, dérivés de ceux proposés dans les réseaux ATM, visent à proposer mieux que la simple garantie du «meilleur effort» qui prévaut actuellement, sans trop compliquer les protocoles. Des modèles simples de files d'attente multiclasses ont été établis afin d'illustrer les bénéfices apportés par ces mécanismes, ainsi que leurs limites [48].

Modélisation de systèmes temps-réel

Participants : Alain Jean-Marie , Jörn Migge


Mots-clés : ordonnancement, temps réel, faisabilité, vidéoconférence

Dans le cadre d'une convention conclue avec EDF, les études sur les systèmes temps-réel cycliques ont été poursuivies par J. Migge. L'élaboration d'un modèle général, de type stochastique, a été entamée. Il permet de représenter des systèmes sous différentes politiques d'ordonnancement qui peuvent être basées sur des priorités, des dates d'échéances ou d'autres critères. Ce modèle constitue une base pour l'analyse de ces politiques. Il a permis d'élaborer une meilleure méthode pour déterminer des bornes stochastiques sur les temps de réponse des tâches dans le cas à priorités préemptives fixes.

Une deuxième application des méthodes mises au point a également été l'élaboration et l'implémentation par J. Migge et F. Lyonnet d'une politique d'ordonnancement pour le coeur du logiciel de vidéo-conférence Rendez-Vous, developpé par le projet RODEO.

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