Projet Mistral
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Dans ce premier formalisme, on décrit le
système comme un ensemble de stations de service où les serveurs
représentent les ressources logiques ou physiques du système
considéré, et où les entités circulant entre les stations
représentent les requêtes, messages et programmes partageant ces
ressources.
Le formalisme des réseaux de Petri permet de
représenter de manière fine les phénomènes de synchronisation et
de concurrence propres à l'informatique répartie ou aux
protocoles de communication. Nous nous concentrons principalement
sur l'étude de réseaux temporisés et stochastiques.
C'est l'outil de base de la modélisation des
systèmes aléatoires des deux formalismes précédents. Un modèle
markovien permet de quantifier de façon fine les principales
mesures de performances, soit analytiquement soit numériquement.
La théorie des fonctions analytiques
constitue également un outil de base de notre activité. En effet,
la résolution de nombreux problèmes de probabilités se ramène à
des équations fonctionnelles, faisant intervenir des fonctions
génératrices ou des transformées de Laplace. Cette communauté
d'outils rapproche parfois techniquement le projet MISTRAL des
projets d'algorithmique ou d'automatique.
Cette théorie s'intéresse aux excursions d'un
processus stochastique loin de son comportement moyen : on
parle d'événements rares. En modélisation des réseaux, cet outil
est utilisé pour déterminer le comportement asymptotique de
quantités du type 
lorsque 
, où typiquement 
représente la
<< charge >> d'un système. Dans les réseaux, par
exemple, la probabilité de rejet d'un paquet par un routeur
s'exprime assez souvent sous la forme 
. Un
problème classique est alors de dimensionner la mémoire du
routeur de façon à ce que la probabilité de rejet n'excède pas un
seuil donné 
, où 
est typiquement
très petit (
). On peut alors utiliser la
théorie des grandes déviations pour calculer 
tel que 
.
Des méthodes basées sur la programmation
dynamique sont utilisées pour résoudre des problèmes avec un ou
plusieurs contrôleurs (jeux stochastiques). La théorie de la
programmation dynamique est aussi utilisée dans les réseaux pour
la recherche de contrôleurs optimaux pour les systèmes
markoviens. Couplée à une approche analytique qui permet de
réduire la classe des contrôleurs dans laquelle se trouve un
contrôleur optimal, elle permet la définition de schémas
numériques efficaces.
En l'absence d'une structure markovienne, on
ne peut pas appliquer les outils de la programmation dynamique.
L'approche trajectorielle, basée sur des techniques de couplage,
de comparaison et d'ordonnancement stochastique, offre une
alternative intéressante qui permet de caractériser partiellement
la structure d'un contrôleur optimal. Dans le cas non markovien,
nous avons développé des méthodes basées sur la théorie du
renouvellement, ainsi que des méthodes basées sur la
multimodularité, qui est l'équivalent de la convexité dans les
espaces discrets. Nous considérons par ailleurs des méthodes de
contrôle hybride, où la dynamique a une composante continue et
une composante contrôlée discrète.
Le cadre markovien est en fait restrictif
et il cache bien souvent des hypothèses excluant des phénomènes
tels que la mémoire longue. Nous avons une tradition ancienne de
travaux de recherche portant sur le développement d'un cadre non
markovien pour les réseaux. Ce cadre est celui des processus
ponctuels et des mesures de Palm. Dans ce cadre, les travaux du
projet MISTRAL ont aussi porté sur les problèmes de stabilité
stochastique et sur la théorie ergodique.
La géométrie aléatoire permet quant à elle de
prendre en compte la structure spatiale des réseaux. Dans ce
cadre plusieurs objets mathématiques jouent un rôle
central : les pavages de Voronoï, les arbres couvrants et
enfin la triangulation de Delaunay. Associés aux processus
ponctuels de Poisson, ces objets fournissent un cadre
paramétrique pour de nombreux problèmes d'analyse et
d'optimisation de l'architecture des réseaux.
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