Projet Miaou

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Résultats nouveaux

Approximation méromorphe de fonctions de transfert

 

Participants : Laurent Baratchart , José Grimm , Juliette Leblond , Jonathan Partington (univ. Leeds, GB) , Fabien Seyfert


Nous avons généralisé cette année la solution du problème (P) au cas d'un nombre quelconque de pôles $N$lorsque $p=\infty$, et surtout résolu (P'), toujours pour $p=\infty$,en le ramenant de façon implicite à (P). Comme (P) se ramène lui-même implicitement à un problème de type AAK, ces liens nous permettent de montrer l'unicité de la solution de (P') sous l'hypothèse que la fonction concaténée $f \vee \psi$ appartient à $H^\infty + C(T)$ et de calculer cette solution en résolvant itérativement un problème de décomposition spectrale pour une famille de fonctions dépendant de paramètres implicites en les données, qui sont eux-mêmes ajustés itérativement. La convergence générique de cet algorithme dans les classes de Hölder-Zygmund séparables a été établie. Ces résultats s'appliquent aussi à des extensions en données partielles de problèmes d'interpolation du type Nevanlinna-Pick et Carathéodory-Fejér [13]. Par ailleurs, le problème (P) avait aussi été ramené implicitement à un problème extrémal non contraint pour $2\leq p<\infty$, ce qui posait la question de l'analogue d'une théorie AAK pour ces valeurs de $p$.Cet analogue a été développé cette année et s'avère remarquablement similaire dans sa formulation : la meilleure approximation méromorphe ayant au plus $n$ pôles dans le disque d'une fonction $f\in L^p$du cercle s'obtient à partir des vecteurs singuliers de l'opérateur de Hankel de symbole $f$ entre deux espaces de Hardy convenables, l'erreur étant à nouveau égale au $n+1$-ème nombre singulier de l'opérateur. L'existence de vecteurs singuliers repose ici sur la théorie de Ljusternik-Schnirelman et sur la géométrie des produits de Blaschke de degré donné. Un algorithme de calcul qui procède par continuation depuis la valeur $p=\infty$ est actuellement à l'étude.

Approximation rationnelle

 

Participants : Laurent Baratchart , Andrea Gombani (CNR Padoue, It.) , Juliette Leblond , Martine Olivi , Edward Saff (univ. Floride du Sud, Tampa, USA) , Herbert Stahl (TU Berlin, Al.) , Franck Wielonsky


En approximation de type $(n-1,n)$ dans $H^2$, nous avons établi avec H. Stahl l'unicité asymptotique d'un point critique (c'est-à-dire l'unicité pour un ordre d'approximation assez grand) lorsque la fonction à approcher est de Markov avec une mesure associée qui satisfait la condition de Szegö. La méthodologie générale de preuve est celle de [8], mais l'estimation de l'indice de Morse des points critiques utilise ici un lien nouveau avec la théorie AAK et une estimation précise de l'erreur d'interpolation due à V. Totik. Notons que le support de la mesure peut être arbitrairement proche du cercle unité (de sorte que l'on peut approximer des fonctions de transfert à la limite de la stabilité), ce qui contraste avec un résultat antérieur qui n'était, en revanche, pas asymptotique et ne supposait rien sur la régularité de la mesure [5]. Un contre-exemple a également été mis au point qui montre qu'on ne peut pas se passer de la condition de Szegö en général.

En approximation pondérée dans $H^2(d\mu)$, nous avons établi les équations aux points critiques de ([*]) lorsque la densité de la mesure $\mu$ est donnée par le carré du module d'une fonction rationnelle, et ce en décomposant le numérateur optimal sur une base des polynômes orthogonaux. Dans le cadre de notre collaboration NSF-Inria, nous avons poursuivi l'étude de la consistance (unicité du point critique à l'ordre $(m,n)$si $f$ est elle-même rationnelle de type $(m,n)$). Si le poids est de degré $d$ et pour $m < n + d - 2$, nous avons exhibé des points critiques dégénérés qui montrent que la consistance peut toujours être mise en défaut. Ceci précise et généralise certains contre-exemples disponibles dans la littérature [11].

Le paramétrage des matrices intérieures de degré de McMillan donné s'est également poursuivi. Ce problème donne lieu à essentiellement deux approches, évidemment interdépendantes. La première s'appuie sur des réalisations, et donc s'adapte bien au contexte de l'Automatique, mais présente l'inconvénient d'une complexité combinatoire qui rend les calculs très délicats. L'autre approche utilise des versions matricielles de l'algorithme de Schur [1], et c'est celle adoptée dans le logiciel hyperion [*]. Unifiant ces points de vue, nous avons montré que l'algorithme de Schur tangentiel se traduit simplement en termes de réalisations. Ceci a permis d'exhiber un nouveau paramétrage pour lequel le grammien d'observabilité garde une valeur constante[GOon], ce qui confère un meilleur conditionnement numérique [18].

Par ailleurs, dans le cas scalaire, un paramétrage des fonctions intérieures de degré donné peut s'obtenir en sélectionnant une réalisation normale dont la matrice de Rosenbrock est unitaire et Hessenberg supérieure positive[PH94]. Nous avons montré que les paramètres correspondants sont en fait les paramètres de Schur, ce qui ouvre des perspectives nouvelles dans le cas matriciel. L'introduction d'un poids dans l'approximation rationnelle matricielle $H^2$ a également été abordé [20].

Structure et commande des systèmes non-linéaires

 

Stabilisation périodique de systèmes non-linéaires

 

Participants : Pascal Morin (Projet ICARE) , Jean-Baptiste Pomet , Claude Samson (Projet ICARE) , Zhong-Ping Jiang (université de Sydney)


Mots-clés : commande, stabilisation de système non linéaire, automatique non linéaire, système mécanique non holonôme


Le résultat le plus récent [MPS97] est une méthode de construction de lois de commande périodiques stabilisantes pour un système sans dérive qui ne dépendent que de la structure de l'algèbre de Lie engendrée par les champs de commande. On s'inspire pour cela des méthodes ayant permis d'approcher, grâce à des commandes oscillantes, les trajectoires d'un système << étendu >> (où l'on rajoute des commandes fictives dans les directions des crochets de Lie) par des trajectoires du système original cf. [*]. Bien qu'intuitive a priori, l'adaptation de ces méthodes à la synthèse de lois de commandes en boucle fermée est assez délicate, et l'homogénéité y joue un grand rôle. Comme les lois obtenues sont elles-mêmes homogènes, la stabilisation locale est exponentielle. De plus, le feedback est complètement explicite, et algébrique si le système est algébrique.

Stabilisation, fonctions de Lyapunov controlées

 

Participants : Jean-Baptiste Pomet , Ludovic Faubourg


Pour certains systèmes, une fonction << énergie >> permet de concevoir une loi de commande stabilisante mais qui ne fait pas décroître cette énergie uniformément, et du reste cette énergie n'est pas une fonction de Lyapunov contrôlée. Un résultat préliminaire [26] permet d'obtenir explicitement une fonction de Lyapunov contrôlée, et donc une loi de commande associée à une fonction de Lyapunov stricte. Ceci constituait le stage de DEA de L. Faubourg. Le but de tels résultats --pourquoi s'intéresser à trouver des fonctions de Lyapunov si l'on connaît déjà une loi de commande stabilisante-- est l'étude et l'amélioration de la robustesse de lois de commande.

Transformations et équivalences des systèmes non-linéaires

 

Participant : Jean-Baptiste Pomet


Mots-clés : automatique non linéaire, feedback non linéaire


La publication [9] donne des conditions nécessaires et suffisantes pour l'existence de fonctions linéarisantes dépendant de l'état et de la commande dans le cas des systèmes à quatre états et deux commandes dont la dynamique est affine en ces commandes (ce sont les premières dimensions non triviales). Il est à noter que, dans les preuves de ces conditions, on a utilisé un logiciel de calcul formel (Maple).

Espace des trajectoires

 

Participant : Jean-Baptiste Pomet


On a obtenu [Pom97] une caractérisation des courbes qui peuvent être approchées au sens $C^0$par des trajectoires d'un système contrôlé affine en les commandes, en dehors de certaines singularités.

Stabilisation de systèmes hybrides

 

Participants : Laurent Baratchart , Yuncheng Yu (univ. Floride du Sud, Tampa, USA)


Dans les configurations qui se veulent pratiques, où l'on cherche un contrôle réparti à la frontière qui stabilise une géométrie donnée, la théorie se heurte en général aux difficultés conjuguées de conditions aux limites non-lisses et d'une analyse spectrale compliquée. Nous avons montré[BY97], dans ce contexte, comment stabiliser en dimension 2 une membrane rectangulaire ou circulaire. La preuve utilise la théorie de Siegel sur la transcendance des valeurs des fonctions de Bessel pour établir les propriétés de séparation du spectre nécessaires ici.

Jeux dynamiques

Méthodes numériques pour des jeux de poursuite évasion



Participants : Stéphane Crepey , Pierre Bernhard , Odile Pourtallier


L'étude des solutions numériques d'un jeu à somme nulle s'est poursuivie suivant deux axes. Il s'agit de rechercher des méthodes systématiques pour approximer la fonction valeur dans le cas où celle-ci présente des discontinuités.

Une première approche a consisté à tester sur des exemples concrets une formulation en termes d'inéquation variationnelle de l'équation d'Hamilton-Jacobi-Bellman. Le critère considéré n'est alors plus le temps minimal pour toucher la cible, mais la distance (orientée) minimale à la cible. L'ensemble de capture d'un jeu de poursuite est alors l'ensemble des points initiaux tels que les trajectoires optimales passent à une distance minimale orientée de la cible qui est négative ou nulle. Cela permet de se débarrasser de certaines discontinuités de la fonction valeur[Rap]. On a testé numériquement cette méthode d'approximation, avec succès, sur un jeu présentant de nombreuses discontinuités.

Une deuxième approche vise à généraliser les résultats de A. Kushner [Kus77] développés pour le contrôle. L'espoir est ici de relaxer certaines hypothèses de régularité globales, et de suivre une approche trajectorielle. Les résultats de convergences obtenus pour l'instant nécessitent toutefois des hypothèses qui ne sont pas satisfaisantes dans le cas des jeux.

Commande robuste



Participants : Pierre Bernhard , Naira Hovakimyan (acad. sci. d'Arménie, Erevan)


Nous avons poursuivi l'étude du parallèle entre les concepts d'<< espérance mathématique >> et de << frayeur mathématique >> qui se correspondent dans la dualité entre l'algèbre $(\mathbb{R}, +, \times)$et l'algèbre idempotente $(\bar\mathbb{R}, \max, +)$[Ber96]. Nous avons examiné en particulier le rôle du terme intégral de la commande en espérance mathématique, ce qui nous a conduit à une théorie de la commande minimax lorsque le critère comporte, en sus du terme intégral, un terme de type $\max_t M(x(t))$. Ceci concerne en particulier les problèmes de temps d'arrêt. L'inéquation quasi-variationnelle qui régit ce genre de problème est le pendant naturel de l'équation d'Hamilton Jacobi Bellman. On obtient ainsi un principe de séparation pour ce style de problème en information imparfaite [17].

Par ailleurs, nous continuons à progresser sur la question de savoir quand un feedback permet de rendre un système non linéaire contractant ou Lipschitz continu en tant qu'application des perturbations vers les sorties. Bien qu'il ne soit pas traité dans la littérature sous le nom de commande $\mathcal{H}_\infty$ non-linéaire, c'est bien ce problème qu'il faut résoudre si on veut des résultats de stabilisation robuste. Nous avons montré son équivalence à un problème de théorie des équipes << statique >> (au sens de Radner). Nous avons pu étendre à ce cas notre approche de la commande minimax en information incomplète et obtenu une condition suffisante permettant de résoudre le problème dans certains cas.

Modèles biologiques



Participants : Pierre Bernhard


Nous avons fourni une aide mathématique et une assistance à la modélisation dans l'étude des courbes de survie de certains nématodes phytoparasitaires conduite par une équipe de l'ORSTOM [10].

Contrôle de débit de transmission



Participants : Eitan Altman (Projet MISRAL, INRIA-Sophia) , Tamer Basar (université d'Illinois, Urbana-Champaign, USA) , Naira Hovakimyan (acad. sci. d'Arménie, Erevan)


Il s'agit d'une application de la commande $H^\infty$ et du contrôle linéaire quadratique pour le contrôle du débit dans les réseaux de télécommunications. Les critères à minimiser sont les variations de la taille de la file d'attente d'une part, pour éviter des pertes de paquets ou la sous-utilisation, et les variations de délai. De plus, on souhaite adapter le débit d'entrée à la bande passante disponible, laquelle est modélisée par un processus ARMA. Le contrôleur possède une information bruitée et retardée du débit disponible et de l'état de la file d'attente. Ce problème s'avère être singulier et, en le perturbant, nous obtenons un contrôleur optimal.
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