Grands domaines d'application

La répartition des activités du projet s'effectuant autour de deux axes qui sont l'identification dans le domaine fréquentiel et le contrôle de systèmes différentiels, on peut distinguer deux familles dans les applications visées : une qui concerne grosso modo les problèmes inverses dans les systèmes diffusifs et résonnants et une qui concerne la stabilisation de certains systèmes mécaniques. Pour ce qui est du premier axe, les techniques d'approximation méromorphe décrites en section sont susceptibles d'applications à la déconvolution d'équations linéaires où l'analycité peut provenir soit de l'application de la transformation de Fourier soit du caractère harmonique de l'équation elle-même par exemple en thermique ou en électrostatique. Nous donnons, ci-après, un aperçu de telles applications.

Problèmes inverses en diffusion-propagation ; détection de défauts

Participants : Laurent Baratchart , Nick Dudley Ward , Juliette Leblond , Frédéric Mandrea , Edward Saff (univ. Floride du Sud, Tampa, USA)

Mots-clés : problème inverse, Laplacien, approximation méromorphe

La localisation de fissures dans un matériau, à l'aide de mesures thermiques ou électrostatiques sur sa frontière, est un problème inverse classique pour étudier la fatigue des structures ou détecter les fuites, par exemple. Cependant aucun algorithme efficace n'existe aujourd'hui pour détecter l'emplacement de telles fissures, en particulier si l'on ne dispose pas d'informations initiales sur leur emplacement, car l'intégration numérique du problème inverse est très instable. La présence de << pailles >> dans un objet se traduisant par un défaut d'analycité de la solution du problème de Dirichlet-Neumann associé, elle peut en principe être diagnostiquée en utilisant la théorie d'Adamjan-Arov-Krein ou, lorsque les mesures ne sont disponibles que sur une partie de la frontière, son extension présentée en section . Cette approche originale de la question en est à ses débuts au sein du projet et pose la question de savoir si les pôles et les zéros des approximants méromorphes s'accumulent au voisinage des fissures éventuelles ; elle se couple plaisamment avec l'étude, active en théorie de l'approximation, des ensembles d'accumulation des pôles et des zéros des approximants rationnels ou méromorphes.

Nous avons pu établir le résultat préliminaire mais encourageant suivant: s'agissant d'un domaine 2D possédant une fissure intérieure qui est une portion de géodésique hyperbolique, les pôles et zéros de ses approximants AAK se placent sur la fissure, hormis un nombre fini d'entre eux. Le problème de savoir si les pôles s'accumulent au voisinage de la fissure pour des géométries plus générales est à l'étude et fait l'objet de la thèse de F. Mandrea. L'étude de la dimension infinie (fonctions à valeurs opérateurs) est aussi envisagée à plus long terme pour ses applications à la tomographie ou la détection de mines, par exemple. Nous collaborons pour ces questions avec le projet CAIMAN de l'Inria-Sophia.

Déconvolution robuste

Participants : Laurent Baratchart , Juliette Leblond , Jonathan Partington (univ. Leeds, GB)

Mots-clés : identification robuste

La déconvolution ou l'identification harmonique décrites en section interviennent de façon très courante en ingénierie, par exemple en aéronautique (flottement, modes aérodynamiques) et en mécanique des structures (bras et panneaux flexibles) pour identifier des modes vibratoires, en encore en acoustique (anti-bruit) et en télécommunications (multiplexage, téléphonie) pour identifier et simuler diverses réponses fréquentielles. Nous indiquons ici une formulation générale du problème d'identification robuste qui a été étudié et algorithmiquement résolu dans le projet, que nous énonçons sur le cercle plutôt que sur l'axe imaginaire.

On se donne des mesures de la forme $(a_k) = f(z_k) + \eta_k$ où les points de mesures appartiennent à un sous-arc du cercle unité cependant que appartient à l'algèbre du disque (c'est-à-dire est la fonction de transfert d'un système linéaire stable qui peut être approché en norme d'opérateur $L^2\to L^2$ par un système de dimension finie), la suite $\eta = (\eta_k)$ étant bornée et représentant une erreur de mesure ou de modélisation.

(P2) : étant donnés $\psi,r \in C(T \setminus K)$ , on cherche une suite de fonctions $f_n=f_n(a_1,...,a_n)\in H^\infty\cap C(T)$ approximant robustement sur :

$\begin{displaymath}\lim_{n\to\infty \atop \epsilon \to 0}\sup_{\Vert\eta\Vert _{\infty} \le \epsilon}\Vert f_n-f\Vert _{L^\infty(K)} = 0,\end{displaymath}$

et qui, sur $T \setminus K$ , satisfasse la contrainte de gabarit :

$\begin{displaymath}\lim_{n\to\infty \atop \epsilon \to 0}\sup_{\Vert\eta\Vert ... ..._n(z)-\psi(z)\vert \leq r(z) \ \ \forall \ z \in T \setminus K.\end{displaymath}$

Une solution à ce problème s'obtient en couplant certains schémas d'interpolation avec la résolution de (P) [7].

Annulation d'écho

Participants : Laurent Baratchart , Marc Bordier (CMA École des Mines de Paris, Sophia Antipolis) , Juliette Leblond , Jean-Paul Marmorat (CMA École des Mines de Paris, Sophia Antipolis) , Fabien Seyfert

Mots-clés : contrôle actif d'écho

L'objet de cette application, associée à la bourse DRET dont bénéficie F. Seyfert, est la faisabilité du contrôle actif de l'écho d'un sous-marin en minimisant l'énergie de l'onde sonore réfléchie. Ce phénomène a été modélisé par le CMA de l'ENSMP sous forme d'un système dynamique linéaire stationnaire causal et stable de dimension infinie. La présence d'un retard (délai de transmission) est intrinsèque à ce problème et suggère une procédure d'identification qui découple la partie rationnelle du transfert de celle purement retardée. À partir de données fréquentielles obtenues par simulation numérique, l'estimation du retard s'effectue en résolvant (P) pour une norme de Hardy-Sobolev (cf. ) et l'identification rationnelle des différentes composantes ondes-capteurs par l'algorithme d'approximation implémenté dans le logiciel hyperion, cf. .

Stabilisation

Participants : Pascal Morin (California Inst. Tech. puis projet ICARE) , Jean-Baptiste Pomet , Claude Samson (Projet ICARE) ,

Mots-clés : mécanique, robotique, robotique mobile, satellite, génie des procédés

Les systèmes pour lesquels il n'existe pas de commande stabilisante continue stationnaire, et auxquels les travaux sur la commande périodique évoqués en s'appliquent naturellement, sont essentiellement des systèmes mécaniques. À l'origine de la théorie se trouve la stabilisation de systèmes comprenant des liaisons non-holonômes intervenant en robotique mobile : nos travaux, communs avec le projet ICARE, permettent la stabilisation d'une configuration << immobile >> par retour d'état continu. De gros efforts ont été fournis pour améliorer leurs performances et restent à faire concernant leur robustesse à des erreurs de modèles. Ces applications s'inscrivent dans un vaste programme expérimental en robotique mobile mené par le projet ICARE, pour lequel nous renvoyons au rapport d'activité de ce projet. Certains systèmes mécaniques sous-actionnés, par exemple un satellite en mode dégradé, fournissent d'autres applications potentielles.

La stabilisation de manière générale concerne évidemment bien d'autres systèmes. Par exemple, un grand nombre de procédés chimiques ont leur meilleur rendement autour de points de fonctionnement instables, qui relèvent de méthodes non-linéaires pour leur stabilisation.

Transformations et équivalence des systèmes non-linéaires

Participants : Laurent Baratchart , Jean-Baptiste Pomet ,

Mots-clés : planification de trajectoires, robotique mobile, identification

Les travaux présentés en se situent assez en amont. L'utilité de décider si un système donné est en fait un système linéaire modulo un compensateur adéquat est claire conceptuellement. Soulignons que l'utilisation des << sorties plates >> pour la planification de trajectoires revêt un grand intérêt, voir par exemple Conférence Européenne d'Automatique[MMR97]. De plus, comme indiqué en , une meilleure compréhension des invariants des systèmes non-linéaires conduirait à des progrès considérables en identification.

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