Projet Meval

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Résultats nouveaux

 Les points énumérés ci-dessous doivent être plongés dans le contexte des sections [*] et [*] (bien que les chronologies ne soient pas identiques), certains recouvrements étant par ailleurs inévitables.

Modèles de réseaux de transport et de télécommunications

Réseaux de transport

 

Participants : F. Delcoigne , G. Fayolle


Le modèle de déplacement de véhicules (bus, taxis) sur un graphe quelconque (problématique issue de PRAXITèLE, cf. section [*] et RA96) pour des routages Markoviens, une discipline de service 1-limitée, dans le cas où les taxis, arrivant à une station vide attendent les clients, qui choisissent leurs destinations selon une certaine matrice de routage. Sous des hypothèses assez larges sur les séquences d'entrée, on a montré que le système n'est jamais ergodique. Il n'est récurrent nul que si 3 conditions sont réalisées : $N\leq 3$ ; le vecteur des intensités d'arrivées aux stations est proportionnel à la mesure invariante de la matrice de routage ; $\lambda\tau < V$, $\lambda$ désignant l'intensité totale des nouveaux clients et $\tau$ le temps moyen de déplacement entre 2 stations quelconques. Sinon, le système est transient. On donne une classification précise de chaque file, ainsi que les lois limites, après changement d'échelle temporelle convenable, le nombre de véhicules pouvant être une fonction du temps. Des transitions de phase apparaissent. La démarche proposée s'appuie sur le théorème de la limite centrale et sur un couplage avec un processus de référence, dans lequel les temps de déplacement sont identiquement nuls. Enfin on a considéré des politiques où les taxis, en l'absence de clients, attendent pendant une durée aléatoire quelconque : il existe alors des conditions d'ergodicité qui ont été formulées explicitement [8].



Participant : F. Dumontet


Le dimensionnement du système PRAXITèLE (cf. section [*]) a été abordé au moyen d'un réseau de files d'attente $M_t/M/\infty$. Ici les intensités des processus dépendent du temps et les équations d'évolution avaient été données par W. Whitt et W. Massey (Bell Laboratories). Cependant, ce type de modèle ne rend pas compte de l'aspect bloquant de certaines stations. On a donc différencié les clients, en introduisant des niveaux de priorité : le temps de service aux files bloquantes dépend d'un paramètre général et du nombre moyen de clients de niveau supérieur présents. On trouve des équations différentielles d'évolution, dont on caractérise le comportement stationnaire. Ces résultats [7] seront comparés avec ceux précédemment obtenus par d'autres méthodes dans [3].

Par une approche de type programme linéaire sous contraintes, on a aussi testé et comparé différentes configurations et mécanismes de répartition du parc de véhicules ; ceci a permis de trouver des solutions approchées à des questions cruciales telles que le choix des périodes pendant lesquelles effectuer des retours à vide [7].

Systèmes à polling

  Les systèmes dits à polling, où $V$ serveurs se partagent entre N stations, selon une politique fixée, font toujours l'objet d'une abondante littérature, notamment à cause de leur vaste champ d'applications. Des percées significatives ont été accomplies concernant les conditions d'existence de régimes stables dans le cas $V\gt 1$,jusqu'alors totalement ouvert. En général, le problème est difficile (processus de Markov vectoriels et absence de monotonie trajectorielle). En outre, il est presque toujours impossible de calculer certaines grandeurs intéressantes, telles par exemple les temps d'attente moyens !



Participant : Ch.  Fricker


En collaboration avec R. Jaibi (Université de Tunis), on a généralisé l'étude de la stabilité pour un système à $V$ serveurs homogènes avec routage Markovien, à une classe de politiques de service assez large pour inclure toutes les politiques classiques, notamment celles dites limitées et illimitées (de type exhaustif ou à barrière). L'obtention de la condition suffisante est basée sur l'étude du modèle fluide associé [19].



Participants : F. Delcoigne , G. Fayolle


Une étude pour les grands systèmes de polling a été réalisée et est décrite dans la section [*].

Marches aléatoires

Méthodes analytiques



Participant : V. Malyshev


Avec la collaboration de I. Kurkova (LLRS, MOSCOU), on a mis évidence des liens entre frontières de Martin et équations fonctionnelles du type évoqué dans la section [*].

Stabilité et questions connexes



Participant : R. Iasnogorodski


Les études [9,10] sont terminées et acceptées pour publication, [10] étant spécialement consacrée à l'évolution de marches aléatoires dans le cylindre $Z_{+}^2\times Z$, avec dérives nulles à l'intérieur du domaine et réflexions sur les frontières. Il est montré qu'il y a toujours transience, dans tous les cas non critiques de réflexion aux bords. On s'est intéressé aussi au problème de convergence des marches renormalisées. Deux situations sont alors possibles : soit le processus limite est une semimartingale continue; soit il se comporte d'une façon inhabituelle, une des coordonnées tendant vers l'infini presque sûrement, avec une vitesse supérieure à $\sqrt{n}$. Ces résultats sont obtenus en s'appuyant sur les estimations des mesures invariantes de marches dans $Z^{2}_{+}$, données dans [9].

Dérives nulles



Participant : R. Iasnogorodski


En collaboration avec S. Aspandiiarov et M. Menshikov, on propose dans [16] la classification des marches aléatoires dans $Z^{3}_+$, avec réflexions aux bords et dérives nulles à l'intérieur du domaine.

Grands systèmes en limite thermodynamique

Systèmes à polling

 

Participants : F. Delcoigne , G. Fayolle


On a démontré la propagation du chaos pour les systèmes à polling, sous des hypothèses exponentielles des diverses lois. Ces résultats sont neufs et font appel à des techniques de convergence de semi-groupes.

Soit $\{{\cal P}^{(N)}, \,N\geq 1 \}$ une suite de réseaux est formé de $N$ stations visitées par $V^{(N)}$ serveurs mobiles, indépendants. On étudie ${\cal P}^{(N)}$ sous les conditions



\begin{displaymath}{\displaystyle U = \lim_{N\rightarrow \infty}\frac{V^{(N)}}{N}},\quad\textrm{ avec } \, 0<U<\infty .\end{displaymath}

- Système symétrique. Les arrivées externes de clients à chaque noeud forment un processus de Poisson de paramètre $\lambda$ ; chaque client demande un service de durée moyenne $1/\mu$ ; les destinations sont choisies de façon uniforme avec probabilité $1/N$ ; le temps de déplacement moyen entre deux stations quelconques vaut $1/\tau$. On introduit le processus Markovien ${\vec Y}^{(N,r)}(t)$ représentant l'état joint de $r$ files arbitraires et du champ moyen. Après avoir trouvé les conditions d'ergodicité, on caractérise complètement la dynamique de la limite $ \displaystyle \lim_{N\rightarrow\infty}{\vec Y}^{(N,r)}(t)$, en montrant de plus


\begin{displaymath}\lim_{t\rightarrow\infty}\lim_{N\rightarrow\infty} {\vecY}^... ...ightarrow {\vec \pi}^{\otimes r} \otimes \delta_{\vec \pi} \, ,\end{displaymath}



où le symbole `` $\Rightarrow$ '' signifie convergence en distribution. La mesure ${\vec \pi}$ a une forme explicite simple correspondant à la distribution stationnaire d'un réseau à deux files.

- Symétrie par blocs. On étend les résultats précédents au cas où les ${\cal P}^{(N)}$ sont constitués d'un nombre fini de sous-systèmes du type précédent, $\forall N\leq\infty$.

Réseaux de files M/G/1



Participants : G. Fayolle , J.-M. Lasgouttes


On a travaillé sur l'extension des résultats de [3] à des réseaux de grande taille ne présentant pas de propriétés de formes produit exacte. Le premier candidat étudié est un réseau de Jackson ouvert, dans lequel les distributions des temps de service sont arbitraires. Il s'agit de déterminer sous quelles conditions existerait, là encore une propagation du chaos. En fait, cette propriété s'avère intimement liée à l'approximation poissonnienne des flux totaux arrivant à chaque file d'attente. Ce lien n'est pas évident a priori, puisqu'il est connu que, dans la plupart des réseaux à forme produit, les flux ne sont pas poissonniens, même si chaque file se comporte comme une simple M/M/1, avec distribution géométrique. Les recherches en cours visent aussi à comprendre si il est possible d'étendre les méthodes de champ moyen à certaines chaînes de Markov à espace d'état non dénombrable et ne possédant pas de symétrie.

Vitesse de convergence



Participant : Ch. Fricker


Dans un travail de collaboration avec D. Tibi (Université Paris 7) et Ph. Robert (Projet Algo), on développe des techniques permettant d'étudier la vitesse de convergence de certaines chaines de Markov, dont l'espace d'états a un cardinal grand, vers l'état stationnaire. On s'est intéressé ici au comportement asymptotique d'une file M/M/N/N avec perte (modèle d'Erlang) lorsque $N\rightarrow \infty$. Après l'étude du trou spectral (cf. RA96), un phénomène de coupure (cut-off) a été prouvé. On a calculé dans [20] un équivalent du temps de coupure $a_N$ pour les principaux régimes de fonctionnement.

On utilise des outils probabilistes classiques de couplage et de martingales, mais l'obtention des équivalents nécessite des calculs non triviaux. Le cas d'un noeud avec deux types de clients est à l'étude, l'objectif final étant les réseaux avec perte.

Contrôle de chaînes de Markov

 

Participant : V.A. Malyshev


En collaboration avec divers auteurs, on propose une nouvelle classe de problèmes pour le contrôle de décision dans les chaînes de Markov [11]. Le point essentiel est que certaines situations concrètes requièrent un changement d'échelle temporel radicalement différent de ceux habituellement rencontrés. On introduit le concept de changement d'échelle d'urgence : quand on est loin de l'état d'équilibre (il y a donc situation critique et risque de catastrophe), il faut trouver le chemin optimal permettant de se rapprocher suffisammment de cet état, la stratégie étant possiblement très différente de celle en vigueur pendant les périodes de calme. La condition ``être loin de l'équilibre'' s'obtient en dilatant l'état initial : l'échelle de temps cherchée est alors liée au temps d'atteinte d'un voisinage de l'état d'équilibre le plus probable, en supposant qu'on parte de l'état initial dilaté.
Si les approximations fluides existent dans la littérature (comme procédures déterministes ad hoc), c'est peut-être la première fois qu'une preuve de la convergence vers un système fluide est exhibée. Les principales techniques mises en jeu sont les changement d'échelle d'Euler et les fonctions de Lyapounov. On obtient par exemple des solutions explicites au problème de première atteinte pour des marches aléatoires contrôlées dans le plan, avec applications à des systèmes comportant deux files d'attente.

Grandes déviations



Participant : A. de La Fortelle


La théorie des grandes déviations s'intéresse aux événements rares. Pour des processus $(X_n,n\geq 1) \in E$ dont les moyennes empiriques $\hat{S}_n(\omega)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i(\omega)$ admettent une limite (par exemple une suite de variables i.i.d. ou une chaîne de Markov), on s'intéresse au comportement asymptotique de ${\sfP}(\hat{S}_n\in\Gamma)$, où $\Gamma$ est un borélien de l'espace $E$.De façon plus générale, on analyse les distributions empiriques $L_n(\omega)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\delta_{X_i(\omega)}$. Il est bien connu que, pour des chaînes ergodiques, la probabitité invariante $\pi$ satisfait $\pi = \lim_{n\to\infty}L_n$, p.s. et en espérance. De plus, dans certains cas, est vérifié un principe de grandes déviations :



\begin{eqnarray*}\inf_{\mu\in O}I(\mu)\leq \liminf_{n\to \infty}\frac{1}{n}\ln... ...f_{\mu\in F}I(\mu), \quad\forall \, F \textrm{ fermé de} M_1(E),\end{eqnarray*}




où I est une fonction convexe positive ne s'annulant qu'en $\pi$,semi-continue inférieurement et dont les niveaux sont compacts. On sait démontrer ce théorème pour des espaces E finis. Lorsque E est polonais, l'état actuel de la théorie impose des restrictions importantes (une certaine uniformité des probabilités de transition). Le but est de monter que le résultat tient encore pour E dénombrable, sans cette hypothèse d'uniformité. Par exemple, si seule une condition d'ergodicité suffisait, il y aurait matière à des applications très intéressantes concernant les objets présentés dans la section [*], notamment les réseaux classiques.

Grammaires aléatoires



Participant : V.A. Malyshev


Une nouvelle activité a vu le jour, qui vise à développer les liens entre l'informatique et la physique mathématique moderne, au delà des réseaux. Si la notion de grammaire est fondamentale pour l'étude des langages de programmation, normalement la génération des mots et des phrases est déterministe ou multivoque, mais rarement aléatoire. On montre ici que la considération d'objets tels que les grammaires aléatoires (GA) est utile sous plusieurs aspects. Par exemple, elles incluent les fractales. Dans [18], le processus de génération de mots par des GA et des L-systèmes stochastiques est analysé sous différents points de vue : théorie des chaînes de Markov dénombrables, limite thermodynamique (i.e. lorsque le mot initial est immense), etc.

Réseaux de neurones



Participant : V.A. Malyshev


Les travaux amorcés les années précédentes (cf. section [*]) ont été peaufinés et publiés dans [13] et [14].

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