Projet Meta2

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Résultats nouveaux

CAO en automatique

Scilab



Participants : Jean-Philippe Chancelier , François Delebecque , Claude Gomez , Maurice Goursat , Ramine Nikoukhah , Tony Scott , Serge Steer


La diffusion de Scilab continue sa croissance. Plusieurs milliers de retraits ont été réalisés sur le seul serveur ftp de l'Inria. La plupart des CD-roms Linux incorporent Scilab parmi leurs applications standards. Un Newsgroup a été créé au début de l'année pour assurer un meilleur échange d'information sur le logiciel. Environ 600 membres ont demandé leur inscription au club des utilisateurs. Une nouvelle version comprenant de nombreuses améliorations ainsi qu'un portage sur Windows-95 a été mise sur le réseau. En plus de ces aspects, le groupe s'est attaché cette année plus particulièrement à réaliser une version stable du noyau pouvant servir de référence pour les développements futurs.

Développement.

- Maple-Scilab : Tony Scott (éditeur en chef de la revue Mapletech) a été invité dans le projet META2 pour un an afin de travailler sur l'interface symbolique/numérique entre Maple et Scilab. Ce travail doit être réalisé dans le cadre d'un contrat avec Waterloo Maple Incorporated et en collaboration avec Mike Monagan de Simon Fraser University (Vancouver).

Le but de ce travail est de réaliser les outils nécessaires pour permettre un dialogue efficace entre Maple et Scilab pour résoudre des problèmes (typiques dans le domaine de l'ingénierie) où calcul symbolique et calcul numérique sont intimement liés et où en général, ce sont les résultats numériques que l'on cherche à obtenir en fin de résolution d'un problème. En raison des structures de données d'un système de calcul formel comme Maple, il est très difficile de réaliser des calculs numériques efficaces et nous envisageons donc de les réaliser en utilisant Scilab.

Pour ce travail, nous envisageons de travailler sur un exemple réel de calcul d'intégration définie qui met en oeuvre tous les liens nécessaires entre Maple et Scilab. Cela demande en particulier :

- génération de code C et/ou fortran, en particulier de code fortran Blas à partir de Maple afin de résoudre efficacement les problèmes matriciels numériques (comme celui du calcul d'intégrales auquel il se ramène) ;

- traduction de code Scilab en code Maple ;

- traduction de code Maple en code Scilab.

Les codes qui seront réalisés dans le cadre de ce travail devraient permettre l'ajout de nouvelles fonctionnalités à la fois à Maple et à Scilab.

Scilab parallèle.

Le but de ce travail est d'inclure dans Scilab des possibilités d'exécution de tâches parallèles. Ce travail est réalisé en collaboration avec le projet ReMaP de l'Inria Rhônes-Alpes avec Frédéric Desprez et Stéphane Ubéda.

Un premier travail a été réalisé dans le projet ReMaP pour introduire les librairies de communication PVM à l'intérieur de Scilab et cela doit se poursuivre par une intégration plus poussée au niveau des commandes Scilab.

À terme, il est envisagé d'inclure dans Scilab des algorithmes d'algèbre linéaire parallèles.

Communications.

Une boîte à outils de communications (actuellement en béta test) a été incluse dans Scilab. Elle est basée sur le module de communications GeCi déjà inclus dans Scilab réalisé par le groupe CalICo du LaBRI (Université de Bordeaux I) et qui permet de gérer des exécutions d'applications sur des machines locales ou distantes tout en permettant des échanges de messages entre elles.

Cette boîte à outils permet de réaliser des communications entre Scilab et d'autres applications (y compris Scilab). Afin de pouvoir communiquer avec Scilab, une application doit inclure une bibliothèque qui est fournie avec Scilab. Actuellement, le passage de messages se fait uniquement par caractères ASCII.

Augustin Ido qui fait sa thèse dans le groupe CalICo a passé une semaine à l'Inria afin d'améliorer GeCI, en particulier au niveau du rattrapage des erreurs. Une nouvelle version qui sera incluse dans la prochaine release de Scilab a été réalisée.

Documentation.

Un livre qui sera publié chez Birkhauser dans le courant de l'année est en cours de rédaction. Il s'articule autour de trois grandes parties. La première partie est un guide d'utilisation décrivant les capacités du logiciel et sa syntaxe. Une deuxième partie décrit les boîtes à outils principales (traitement du Signal, Commande, graphique, optimisation et intégration non linéaire, calculs sur les graphes et réseaux).

La troisième partie est consacrée à des applications de type industriel. L'ensemble doit former un volume d'environ 450 pages et le livre comprendra un CDrom contenant toutes les versions du logiciel sous forme source et binaire.

Diffusion.

Divers contacts ont été pris pour étudier les conditions d'une diffusion comportant un support et une maintenance industrielle.

Scilab participe au projet Européen Niconet (Brite-Euram thematic network) et sera un support de diffusion de la bibliothèque d'Automatique (Slicot) résultant de ce projet .

Boîtes à outils.

Diverses boîtes à outils sont venues complêter les capacités du logiciel. Ces développements résultent souvent de travaux extérieurs au projet et de collaborations avec le groupe Scilab. Ces travaux sont souvent diffusés sous forme de ``contributions''.

Interface.

Scicos



Participants : Ramine Nikoukhah , Serge Steer


Cette année, le formalisme utilisé pour la modélisation de ces systèmes a été amélioré. Pour cela, un nouveau compilateur a été développé et les blocs de bibliothèque Scicos ont été modifiés. Un traducteur a aussi été développé pour assurer la compatibilité des anciens schémas Scicos avec le nouveau formalisme.

Suite à nos expériences et celles de partenaires industriels (EDF, Renault) de nouvelles fonctionnalités ont été introduites pour améliorer l'interface homme-machine et l'édition de schéma sous Scicos, et pour simplifier la définition interactive de blocs spécifiques (link incremental, blocs interprétés). De plus, la bibliothèque de Scicos a été enrichie par de nombreux blocs (d'interpolation, superviseur, ...).

Metanet



Participants : Claude Gomez , Maurice Goursat


Le travail sur Metanet a été limité à la rédaction du tutorial qui a été l'occasion de faire quelques modifications. Nous considérons Metanet comme terminé dans sa partie généraliste. Nous cherchons maintenant à l'utiliser dans des secteurs applicatifs : transports ou télécommunications.

Commande des systèmes

Identification et commande de systèmes à retard avec sortie tout-ou-rien



Participants : Marianne Akian , Pierre-Alexandre Bliman , Michel Sorine


Dans ce travail, nous étudions la commande et l'identification de systèmes du premier ordre à partir d'une sortie tout ou rien retardée. Ce travail est décrit précisément dans le paragraphe du même titre dans le rapport d'activité du projet SOSSO (Thème 4) et [39].

Séquencement de gains par méthode LMI



Participant : Gérard Scorletti


Dans le cadre d'un contrat Dret commencé par P. Gahinet, G. Scorletti a continué son travail de thèse en réalisant un rapport sur la synthèse de contrôleurs à séquencement de gains par des méthodes LMI (Linear Matrix Inequalities).

L'idée est de réaliser des contrôleurs nonlinéaires pour des systèmes nonlinéaires ou linéaires variables dans le temps en utilisant des techniques venant de la commande linéaire. Le système bouclé est vu comme un système dont les coefficients varient dans le temps. On paramétrise le système bouclé de telle sorte que le problème de synthèse se formule comme un problème d'optimisation convexe comportant des contraintes stationnaires exprimées sous forme d'inégalités matricielles assurant entre autres la stabilité du système bouclé. La méthode est systématique. La mise en oeuvre est difficile du fait de la complexité du problème d'optimisation à résoudre.

Des développements utilisant la boîte à outils LMITOOL de Scilab permettent maintenant de résoudre ce type de problèmes pour des tailles pas trop importantes.

L'application à la commande d'un missile comportant des nonlinéarités, servant de benchmark dans la littérature, a permis de comparer cette approche de synthèse à d'autres méthodes. Cette étude montre clairement les gains de robustesse obtenus.

Ce travail consitue le rapport final [36] d'une convention DRET.

Systèmes descripteurs



Participants : François Delebecque , Ramine Nikoukhah


Dans le cadre d'un contrat Inria/NSF, en collaboration avec Steve Campbell, nous avons poursuivi l'étude de la théorie des systèmes implicites sur plusieurs axes. La méthodologie de la commande prédictive mise au point dans la cadre de la thèse de D. Von Wissel a été complètement formalisée dans [9]. D'autre part, l'étude de la construction d'observateurs généraux s'est poursuivie. On a montré qu'un grand nombre de problèmes classiques de construction d'observateurs (entrées inconnues, dynamique implicite, ordre réduit,...) peuvent être étudiés dans un cadre très général sous la forme suivante :



\begin{displaymath}E \xi_{k+1} = F \xi_k + G z_k\end{displaymath}




où la variable $\xi$ représente l'état généralisé et $z_k$ les entrées et sorties mesurées. On a montré que le problème se réduit à la construction des solutions causales quand elles existent et à la réduction de l'état dans le cas contraire. Cette réduction est fondée sur une méthode récursive numériquement stable qui repose sur de nouvelles propriétés géométriques des faisceaux singuliers [22]

Par ailleurs un nouvel algorithme de placement de pôles a été donné pour les systèmes implicites réguliers. Cet algorithme permet de déterminer simultanément la partie contrôlable finie et infinie du faisceau $\left[ sE - F, G \right]$.

Au cours de cette détermination, on place tous les modes contrôlables finis ou infinis par un algorithme de placement de pôles standard relatif à une paire de matrices (A,B) extraite du faisceau précédent. Cet algorithme est implémenté comme une fonction Scilab.

Systèmes hybrides



Participants : Ramine Nikoukhah , Rachid Djenidi , Serge Steer


En collaboration avec Christophe Lavarenne et Yves Sorel du projet Sosso, en prolongement de nos recherches précédentes sur les systèmes hybrides, un nouveau formalisme, en partie inspiré par les travaux récents de A. Benveniste sur l'extension du langage SIGNAL, est proposé pour modéliser une classe plus large de systèmes hybrides. Dans ce formalisme, contrairement à la notion d'événements utilisée précédemment, les ``signaux de conditionnement'' indiquant les plages temporelles d'apparition des signaux permettent des gains importants en vitesse de simulation.

Etant plus en harmonie avec le formalisme des systèmes synchrones, ce nouveau formalisme doit faciliter l'intégration des environnement Scicos et Syndex. Ce travail d'intégration est effectué dans le cadre de la thèse de R. Djenidi en collaboration avec le projet Sosso.

Détection de pannes



Participant : Ramine Nikoukhah


L'étude des problèmes de détection de pannes dans les systèmes dynamiques s'est poursuivie. Une nouvelle méthode de détection de pannes dans le cas nonlinéaire est en cours de développement. Elle s'appuie sur la construction d'observateur par la méthode DAE (Descriptor Algebric Equation) [23]. L'idée principale de cette méthode est d'inclure le filtre détecteur qui permet de distinguer les diverses pannes par leur signatures temporelles à l'intérieur même de l'observateur (générateur de résidus) et non pas en aval de celui-ci. La souplesse du cadre DAE rend cette inclusion possible.

L'autre problème qui a été étudié est la détection active. La détection active consiste à exciter le système pour mieux voir et distinguer les pannes. Cela est particulièrement utile dans le cas des systèmes contrôlés car les contrôleurs cachent souvent les pannes en compensant les variations du modèle (robustesse). Concrètement dans cette méthode, un ``signal d'excitation'' est injecté de manière régulière ou aux instants critiques, pour faire apparaître les diverses pannes éventuelles. Le problème consiste alors à construire ce signal faisant apparaître les pannes sans trop perturber le fonctionnement normal du système. Evidemment, il faut aussi construire les filtres détecteurs correspondants [42].

Problèmes de classification de systèmes de sous-espaces linéaires



Participant : Carlos Klimann


Beaucoup de problèmes d'algèbre linéaire dans les espaces vectoriels de dimension finie peuvent être ramenés à l'étude de la classification de systèmes de sous-espaces. On étudie des aspects combinatoires et homologiques de cette question en collaboration avec Henry Crapo (CAMS, EHESS. Paris). On commence avec la relation de modularité qui contrôle les dimensions de deux sous-espaces A, B d'un espace vectoriel de dimension finie



\begin{displaymath}r(A\cup B) + r(A\cap B) = r(A) + r(B)\end{displaymath}




Le propos de cette étude est de montrer que toutes les propriétés intéressantes des configurations de sous-espaces proviennent de la non-vérification des généralisations naturelles de cette relation quand elle est appliquée à plus de deux sous-espaces.

Les résultats pertinents les plus avancés sont dus à Huang et Howe [HH96]. En nous appuyant sur leur classification des configurations de sous-espaces et sur l'algèbre supersymétrique de Grosshans, Rota et Stein [GRS69] nous sommes en train de créer des instruments informatiques permettant la génération des invariants algèbriques de degré et d'ordre donnés.

Systèmes à événements discrets, algèbre max-plus et programmation dynamique

Approche géométrique des systèmes linéaires max-plus linéaires

 

Participants : Guy Cohen , Stéphane Gaubert , Jean-Pierre Quadrat


Etant données B et C des matrices max-plus de taille n x m et p x n respectivement, on veut savoir si chaque classe d'équivalence modulo C rencontre l'image de B en un seul point, i.e. si $\text{\rm Im}(B)\cap C^{-1}C(x)$ est un singleton pour tout x. Quand c'est le cas, l'application qui à x associe ce singleton, noté Px, définit un projecteur qui est linéaire dans l'algèbre max-plus. On a les formules explicites, utilisant des opérateurs de résiduation :



P=B(CB)=(B/CB)C ,



dans laquelle le résiduel à droite de A par C, noté A/C [resp. le résiduel à gauche de A par B, noté B], désigne la plus grande matrice X telle que XC <= A [resp. BX <= A]. L'opérateur P doit être compris comme une projection sur l'image de B parallèlement au noyau de C au sens de l'algèbre max-plus. L'analogie avec l'algèbre ordinaire est parfaite.

Il reste néanmoins une difficulté importante. Dans l'algèbre ordinaire, un sous-espace vectoriel admet toujours un supplémentaire algébrique. Ce résultat n'est plus vrai dans l'algèbre max-plus, ni d'ailleurs dans les modules ou semi-modules généraux. Dit autrement, étant donné B, il n'existe pas toujours C tel que l'on puisse construire le projecteur P décrit précédemment.

On a montré, cette année, qu'il existe un projecteur sur l'image de B ssi la matrice B est régulière, i.e. ssi il existe une matrice Z telle que BZB=B, ce que l'on sait vérifier aisément en résiduant. On a exhibé des matrices régulières et d'autres qui ne le sont pas. Ces résultats sont publiés dans [28].

A partir de ces projecteurs, l'aggrégation qui est perte d'observabilité, et la cohérence qui est perte de commandabilité, peuvent aussi être caractérisées.

Systèmes dynamiques monotones homogènes et systèmes à événements discrets



Participants : Stéphane Gaubert , Jean Cochet-Terrasson


En collaboration avec Jeremy Gunawardena, BRIMS, Hewlett-Packard Labs., Bristol.




est min-max. Une fonction min-max peut s'écrire




 \begin{displaymath}f\left(\begin{array}{c}x_1\\ x_2\end{array}\right)= \left... ...ay}{c}\max(\min(x_1,2+x_2),3+x_1)\\ 7+x_1\end{array}\right )\end{displaymath}


où $\{h^v\}_{v\in V}$ est une famille finie d'applications max-plus linéaires, et où dualement, $\{g^u\}_{u\in U}$ est une famille finie d'applications min-plus linéaires. La conjecture de dualité, énoncée par Gunawardena en 94, affirme que lorsque la famille $\{h^v\}_{v\in V}$ est rectangulaire (i.e. close par échange de lignes), et de même pour $\{g^u\}_{u\in U}$$\{h^v\}_{v\in V}$, le temps de cycle de f est donné de la manière suivante


 


Il s'agit d'une formulation treillis-théorique de propriétés naturelles en commande, revenant grosso modo à l'optimalité de politiques stationnaires. De telles propriétés dépassent bien-sûr le cadre des fonctions min-max, quoique leurs conditions générales de validité ne soient pas bien comprises. On a prouvé la conjecture de dualité dans [20], au moyen d'outils développés dans [32]. La preuve utilise des arguments d'itérations sur les politiques (variantes de l'algorithme de Howard) et de théorie spectrale max-plus. Essentiellement, on montre l'existence d'un couple ,qui satisfait f(kn+v) = (k+1)n+v $f(k\eta + v)=(k+1)\eta + v$pour tout naturel k (vecteur propre généralisé). On travaille actuellement à l'implémentation et à l'étude de la complexité de ces algorithmes, dont la remarquable efficacité expérimentale est bien répertoriée dans d'autres contextes. On travaille également aux généralisations de ces résultats à des classes plus larges de dynamiques monotones homogènes.

Asymptotique de la valeur propre et du vecteur propre de Perron



Participants : Marianne Akian , Stéphane Gaubert


Dans ce travail, qui est mené depuis plus d'un an en collaboration avec Ravindra Bapat, de l'Indian Statistical Institute, New Delhi, on s'intéresse aux valeurs propres et vecteurs propres de matrices de la forme





où \begin{displaymath}\mathcal{A}_{\beta} =(\exp(-\beta A_{ij}))\enspace ,\end{displaymath} est une matrice réelle donnée, et $A=(A_{ij})$ est un grand paramètre.

Les motivations de ce problème en physique statistique sont classiques. La valeur propre de Perron de $\beta$, $\mathcal{A}_\beta$$\rho_\beta$,satisfait la propriété de type ``grandes déviations''





où \begin{equation}\lim_{\beta\to\infty} -\frac{1}{\beta} \log \rho_{\beta}= \rho_{\min,+}(A) \enspace ,\end{equation} désigne la valeur propre de la matrice A sur le semianneau (min,+); et le vecteur propre de Perron de $\rho_{\min,+}(A)$,$u_{\beta}$$\mathcal{A}_\beta$ (unique à une constante multiplicative près), satisfait





où v est un vecteur propre (min,+) de A. Les phénomènes qualitatifs sous-jacents sont analogues à ce qui se passe en théorie de Wentzell-Freidlin, mais des difficultés nouvelles apparaissent. L'année dernière, on avait caractérisé de manière combinatoire dans des cas non-dégénérés, le vecteur propre particulier que ce procédé limite sélectionne. Dans le cas général, on avait donné un algorithme récursif, lourd. On a travaillé cette année à la simplification de cet algorithme, en essayant de mieux comprendre les propriétés combinatoires sous-jacentes. La rédaction d'un article rassemblant ces résultats est en cours.

Jeu de Tetris, Empilements de Pièces, Algèbre max-plus, Ordonnancement Cyclique, Réseaux de Petri Temporisés et Monoïdes de Trace



Participants : Stéphane Gaubert , Éric Hautecloque


En collaboration avec Jean Mairesse, LIAFA, Université Paris VII.

On a poursuivi le travail des dernières années sur la représentation et l'évaluation de performance de réseaux de Petri temporisés à l'aide d'empilements de pièces de type ``jeu de Tetris'' et de semigroupes de matrices sur le semi-anneau max-plus. Ces travaux ont été présentés dans [11].

Les progrès principaux ont été : -- d'une part sur la compréhension de possibilités de calcul plus générales d'exposants de Lyapunov (taux de croissance de tas de pièces aléatoires), et en particulier en la découverte du lien élégant entre des opérateurs de comblement qui permettent de simplifier les chaînes de Markov induites, et des outils de théorie de la résiduation; -- d'autre part, un début d'exploration systématique, dans le cadre du stage de DEA de Éric Hautecloque, des liens entre ces outils et la littérature très abondante sur l'ordonnancement d'ateliers. La principale contribution du stage est la mise en oeuvre de techniques de type ``branch and bound'', pour les problèmes d'ateliers de type jobshop, en exploitant les représentations et méthodes max-plus linéaires. Des possibilités de simplification exploitant les propriétés de monoïdes de traces sous-jacents ont été mises en évidence. Il s'agit de règles de nature algébrique, très proches de certaines règles de dominance connues en ordonnancement, qui permettent de réduire la ``fausse combinatoire'' du problème. Ces propriétés sont loin pour l'instant d'améliorer l'état de l'art en ordonnancement, mais elles posent par contre des problèmes intéressant de théorie des traces.

Logiciels et algorithmes pour l'algèbre max-plus



Participants : Jean Cochet-Terrasson , Stéphane Gaubert , M. Mc Gettrick


Dans le cadre du projet ALAPEDES, un logiciel à vocation numérique permettant de calculer de façon efficace dans l'algèbre max-plus est développé dans un premier temps à l'École des Mines. Ce travail sera poursuivi à l'Inria en 98 et 99.

Ce projet consiste à ajouter à Scilab de nouveaux types de données liés à l'algèbre max-plus, afin de réaliser l'arithmétique correspondante, et à développer une algorithmique efficace. Le but est de traiter des problèmes d'origine industrielle donc a priori de grande taille. Une des difficultés importantes a été, pour l'instant, la gestion des récupérateurs d'exception. En effet, l'élément neutre de l'addition de cette arithmétique étant $+\infty$, cet élément apparait partout. D'autre part, $+\infty$$-\infty+\infty$ apparait souvent et vaut $-\infty+\infty$ou $-\infty$selon le contexte. Il faut donc gérer ces exceptions (qui n'en sont plus) de façon efficace.

A l'heure actuelle, une version de Scilab existe avec cette arithmétique. L'algorithmique de base rapide permettant de calculer efficacement les valeurs propres et vecteurs propres pour des matrices creuses de plusieurs centaines de milliers d'éléments non égaux à $+\infty$, basée sur l'algorithme de Howard, a été prototypée et est en cours d'intégration dans Scilab.

Il reste à implanter le calcul des générateurs du semi-module des solutions de l'équation linéaire générale



Ax =Cx.

Il s'agit d'un vieux problème, primordial pour la manipulation d'objets géométriques en commande (espaces accessibles et autres semi-modules invariants), pour lequel le seul algorithme connu, qui utilise une élimination, a une complexité naïve double exponentielle inacceptable, beaucoup moins en pratique, après incorporation de certaines règles de simplifications. Si l'on recherche seulement une solution, le problème est plus simple, car relié à des problèmes combinatoires plus ou moins classiques (calculs de permanents, affectation optimale). Stéphane Gaubert continue à travailler sur ce problème en collaboration avec Peter Butkovic, de l'Université de Birmingham.

Il faut faire ensuite une implémentation efficace du calcul sur les fractions rationnelles existant dans Maple sous forme expérimentale.

Enfin, la réalisation d'une boîte à outils productique, basée sur cette arithmétique, permettant d'optimiser les ressources (calcul de permanents, affectation optimale) et faire de l'ordonnancement, devra montrer l'intérêt pratique de ce genre de travail.

Symétrie et décomposition dans les systèmes linéaires max-plus



Participants : Oumar Fall , Jean-Pierre Quadrat


Les résultats discutés au paragraphe [*] se trivialisent dans le cas CB diagonal. Ils permettent de retrouver dans l'algèbre max-plus les notions d'aggrégabilité de cohérence de réversibilité et de réversibilité partielle bien connues en probabilité. Ces notions permettent de décomposer le calcul de vecteurs propres max-plus. Dit autrement, certaines symétries permettent la décomposition du calcul de solutions d'équations de la programmation dynamique.

Ce problème est important puisque chacun sait que la limitation principale à l'application de la programmation dynamique est sa complexité exponentielle avec le nombre d'états (qui est toujours relativement grand dans les applications un tant soit peu réalistes). L'utilisation de symétries pour séparer les variables dans l'équation d'Hamilton Jacobi est bien connue en mécanique, c'est le théorème de Noether.

Dans le travail de thèse O. Fall, l'analogue max-plus des réseaux Jacksoniens de file d'attente a été obtenu dans le cas général pour les systèmes fermés. Le cas des systèmes ouverts passe par une meilleure compréhension des valeurs propres et vecteurs propres max-plus pour des systèmes comportants un nombre dénombrable d'états.

Une partie de ces derniers résultats est exposé dans un papier [21] essayant d'améliorer les liens existant entre l'algèbre max-plus, la mécanique classique, la thermodynamique et la mécanique statistique.

Mesures de coût



Participante : Marianne Akian


Pour tout $-\infty$, la bijection $\alpha\gt$ log x transporte la structure classique de demi-corps de $x\mapsto -\alpha \log x$ dans une structure de demi-corps sur RU{$-\infty+\infty$}; et en prenant la limite quand $\alpha$alpha tend vers 0, on retrouve l'algèbre (min,+). On peut définir la notion de probabilité sur toutes ces structures. Sous certaines conditions, ces probabilités sont des capacités. Dans des papiers récents de O'Brien et Vervaat [GV91], les notions de convergence faible et de convergence vague de capacités ont été définies et caractérisées. Mais le manque de structure (linéarité) des capacités ne permet pas de ``calculer'' [38].

Par contre, si l'on se restreint à l'ensemble des probabilités sur les structures algèbriques introduites précédemment, tous les résultats classiques probabilistes obtenus pour la convergence faible peuvent encore être établis dans cet ensemble : équivalence avec la convergence des espérances de fonctions continues bornées, critères de compa cité, .... Les théorèmes limites probabilistes, leurs versions (min,+) (établis dans des travaux antérieurs) ainsi que des principes des grandes déviations peuvent alors être unifiés en un seul et même résultat.

La théorie ergodique des chaînes de Markov est basée sur le théorème de Perron-Frobenius qui établit l'existence et l'unicité, à une constante multiplicative près, du vecteur propre à coefficients positifs ou nuls d'une matrice à coefficients positifs ou nuls irréductible.

Dans la version (min,+) de ce résultat (n'assurant plus cette unicité), la théorie ergodique des chaînes de Bellman est nécessairement différente de son analogue classique. Utilisant les notions de graphe et de circuit critiques introduites classiquement pour établir le résultat (min,+), nous avons établi un théorème ergodique pour les chaînes de Markov à états finis. La conclusion reflète le caractère dégénéré des chaînes de Bellman, ce qui n'est pas étonnant puisqu'elles peuvent être vues comme limites de chaînes de Markov [37].

Mathématiques financières

Un problème ergodique en gestion de portefeuille



Participants : Marianne Akian , Agnès Sulem


En collaboration avec Michael Taksar, nous avons poursuivi l'étude de problèmes de gestion de portefeuille avec coûts de transaction dans le cas ergodique. Nous étudions la politique optimale d'investissement d'un agent possédant un actif non risqué et n actifs risqués modélisés par des processus de diffusion log-normaux. Les transactions entre comptes entraînent des coûts proportionnels au montant de la transaction et sont modélisés par des commandes singulières. Il s'agit d'optimiser le taux moyen de profit. Mathématiquement, ce problème se réduit à un problème de la commande stochastique singulier avec critère ergodique. Nous l'étudions à partir de l'équation de la programmation dynamique vérifiée par le taux optimal en tant que fonction de l'état initial. Cette équation est ici une inéquation variationnelle.

La résolution numérique de l'IV nous a permis ensuite d'obtenir la stratégie optimale de transaction, c'est à dire les frontières entre les régions où il est optimal d'acheter, de vendre ou de laisser évoluer sans transaction chaque actif.

L'étude théorique de l'inéquation variationnelle a été menée à l'aide de la notion de solutions de viscosité. Sa résolution numérique a été menée à l'aide des méthodes multigrilles pour les équations d'Hamilton-Jacobi-Bellman (programmes développés antérieurement par M. Akian).

La résolution numérique de l'IV nous a permis ensuite d'obtenir la stratégie optimale de transaction, c'est à dire de déterminer les frontières entre les régions où il est optimal d'acheter, de vendre ou de laisser évoluer sans transaction chaque actif.

Optimisation des flux de dividendes



Participants : Agnès Sulem


En collaboration avec Albert Shiryaev, nous étudions une extension du modèle de Shepp et Shiryaev : il s'agit d'optimiser le flux de dividendes

versés par une société dont le capital évolue selon l'équation différentielle stochastique :



\begin{displaymath}\max_{\tau,Z} E_x \{ \int_0^\tau e^{-\lambda t} dZ_t + e^{-\lambda \tau} X_{\tau} \} \end{displaymath}

où le processus \begin{displaymath}dX_t = \mu dt + \sigma dW_t - dZ_t + \alpha X_t I(X_t <0) dt\end{displaymath}, positif et croissant, caractérise la stratégie de paiement des dividendes par la compagnie, et le temps d'arrêt r correspond à l'atteinte d'un seuil de perte intolérable entrainant l'arrêt de ses activités.

On étudie la politique optimale par l'étude de l'équation de la Programmation Dynamique associée.

Le modèle de Black and Sholes avec une seule transaction



Participants : Agnès Sulem , Christophe Patry


Fait en collaboration avec Albert Shiryaev, nous étudions le problème de la couverture d'une option dans le cas où un seul ajustement de portefeuille n'est autorisé sur la période considérée. Le marché est alors incomplet et on ne peut plus dupliquer l'option. L'objectif est de déterminer la stratégie optimale, ce qui conduit à l'étude d'une inéquation variationnelle.


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