Projet Meta2

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• Commande et surveillance
• Mathématiques financières
• • Processus Stables et Applications Financières.
  • Techniques de couverture réelle.
  • Commande stochastique singulière et gestion de portefeuilles avec coûts de transaction.
  • Développement d'une boîte à outils ``mathématiques financières''.

  Grands domaines d'application

  Commande et surveillance

  Le projet s'est intéressé à l'application de la commande stochastique à des problèmes d'origine économique. A l'origine du projet, de nombreuses études ont été faites, en collaboration avec EDF, sur la gestion de l'eau contenue dans les barrages ou de stocks de combustible, dans le but de produire de l'énergie électrique au moindre coût.

  Plus récemment, un gros travail a été réalisé en collaboration avec EDF sur la régulation des cours d'eau avec pour objectif de maintenir les niveaux d'eau en des points donnés d'une rivière aménagée. Ce travail ne relève pas de la commande stochastique mais de la commande robuste de systèmes gouvernés par les équations aux dérivées partielles de Saint-Venant (approximés par des systèmes avec retard), de l'approximation rationelle de systèmes dynamiques et surtout d'une utilisation intensive de Scilab à un niveau industriel.

  La surveillance des vibrations de systèmes mécaniques, faite en collaboration avec le projet Sigma2, pour le suivi de turboalternateurs d'EDF, étudiée il y a quelques années, a été à nouveau utilisé pour la surveillance des vibrations d'Ariane 5.

  Un nouveau type d'applications autour de la commande de moteurs, en collaboration avec le projet SOSSO, dans le cadre d'accords avec Renault, commence et devrait prendre de l'ampleur dans l'avenir.

  Mathématiques financières

  Résumé : Les activités de mathématiques financières à l'INRIA concernent actuellement les projets META2, FRACTALES, OMEGA, IS2, ainsi que l'équipe de Probabilités appliquées du CERMICS.

  Les principaux sujets de recherche sont l'estimation et la modélisation des prix des actifs par des processus stables, le calcul numérique des prix d'actifs complexes, l'optimisation dynamique de portefeuilles avec coûts de transaction par des méthodes de commande stochastique, le calcul des stratégies de couverture approchée, les méthodes numériques déterministes et probabilistes en finance [LT96,LST].

  
  

  Depuis quelques années, de nouvelles techniques et de nouveaux produits sont apparus sur les marchés financiers pour contrebalancer la grande volatilité des taux d'intérêt et des taux de change. La pratique d'instruments financiers de plus en plus complexes (options, produits de taux d'intérêt...) conduit à une utilisation de techniques avancées d'analyse stochastique et numérique dans les établissements financiers. La théorie financière pose à son tour aux mathématiciens des problèmes stimulants et une interaction fructueuse s'est ainsi établie entre mathématiciens et financiers.

  Bien que les liens entre le calcul stochastique et la finance n'aient pas été ignorés comme en témoigne un travail fondamental de Bachelier paru au début du siècle et beaucoup d'autres (on peut citer les noms de Cramer, Feller), ils ont pris un nouveau tournant avec les articles de Black-Scholes et Merton des années 70 sur l'évaluation et la couverture des options (rappelons que ces derniers ont reçu cette année le prix Nobel d'économie). Depuis, ces travaux ont été considérablement améliorés et complétés et toute la théorie développée semblait correspondre aux réalités des marchés financiers.

  Cependant, des études récentes ont mis en évidence l'insuffisance de modèles existants et les limites des techniques classiques de couverture. Des problèmes fondamentaux de modélisation restent entiers. Les sujets de recherche que nous développons visent à se rapprocher des conditions du marché par des modélisations plus réalistes des actifs financiers (prise en compte d'événements rares comme d'importantes variations de cours ...), ainsi que par l'étude de techniques de couverture approchée.

  Les actions de recherche menées à l'Inria, dans le projet META2, en mathématiques financières sont les suivantes.

  Processus Stables et Applications Financières.

  Les modèles usuels de finance font intervenir des processus de diffusion browniens. Les actifs peuvent alors être couverts par des stratégies données sous forme explicite, ou bien calculables de manière approchée. Les calculs approchés reposent soit sur des méthodes de Monte-Carlo combinées avec des techniques de simulation de solutions d'équations différentielles stochastiques, soit sur des méthodes de résolution d'équations aux dérivées partielles paraboliques.

  Des études statistiques semblent montrer que les prix d'actions suivent des dynamiques discontinues. Ces modèles rendent mieux compte de certains phénomènes tels que les cracks boursiers, les irrégularités dues aux écarts entre offres d'achat et offres de vente, les interventions d'investisseurs institutionnels, etc.

  Récemment, divers auteurs ont donc introduit des modèles sous forme d'équations différentielles stochastiques gouvernées par des processus de Lévy. De sérieux problèmes apparaissent alors : d'un point de vue théorique, les options ne sont plus réplicables par des stratégies d'achat et de vente d'actifs primaires, et donc les prix d'options dans ce contexte ne sont pas clairement définis.

  Techniques de couverture réelle.

  Les modèles utilisés par les praticiens pour décrire les actifs financiers sont des modèles continus. On dispose alors d'une théorie parvenue à maturité ces dernières années, celle des marchés complets qui permet de calculer les prix et les stratégies de couverture des options.

  Pourtant, ces stratégies de couverture ne sont pas réalistes. En effet, le ``trader'' ne se couvre qu'à des instants discrets et ne peut intervenir qu'un nombre fini de fois sur le marché par séance. Des travaux théoriques montrent les limites de l'application de la stratégie continue à des temps discrets déterministes : un exemple typique est celui d'un ``call'' à la monnaie à maturité, ou d'une option digitale. Les praticiens sont conscients de ce phénomène et développent des recettes empiriques pour y pallier. Sur ce vaste sujet, des études doivent être menées concernant, pour ne donner que quelques exemples, le calcul des stratégies optimales lorsque l'on fixe le nombre d'interventions et l'étude de l'influence des contraintes sur les stratégies comme la taille du ratio de couverture ou les coûts de transaction.

  Les liens avec l'assurance ne sont pas oubliés, comme en témoignent les collaborations avec (i) la COFACE (leader français de l'assurance crédit), sur la Couverture en risque des contrats d'assurance sur taux de change,(ii) et avec la FFSA (Fédération Française des Sociétés d'Assurance) sur le calcul de la valeur de la dette engagée par une société d'assurance vis-à-vis d'un assuré, pour un contrat d'assurance garantissant un revenu minimum augmenté d'une participation au gain de la société sur ses placements financiers.

  Commande stochastique singulière et gestion de portefeuilles avec coûts de transaction.

  On étudie la politique optimale de consommation et d'investissement d'un investisseur ayant un compte en banque à taux d'intérêt fixe r et n comptes en actions modélisés par des mouvements Browniens géométriques. Les transactions entre comptes entrainent des coûts proportionnels au montant de la transaction et sont modélisés par des commandes singulières [A.S96].

  On note $s_0(t)$ (resp. $s_i(n)$, i = 1 ... n) la quantité d'argent investie dans le compte en banque (resp. dans le ième compte en actions). On suppose que les équations d'évolution des comptes sont
  
  
   $$\left\{ \begin{array}{l}\displaystyle ds_0(t) = (r s_0(t) - c... ...i(t), \quad s_i(0^-) = x_i \quad i = 1 \cdots n\end{array} \right.$$
  
  
  
  
  où c(t) représente la consommation et les coefficients $\lambda_i$ et $\mu_i$ sont les coûts de transaction proportionnels. Les processus $\L _i(t)$ et $\M_i(t)$ représentent les quantités cumulées d'actions de type i achetées et vendues sur l'intervalle de temps (0,t). Soit u(c) est une fonction d'utilité de type HARA, l'objectif est de maximiser la fonctionnelle
  
  
   $$J_x(\mathcal{P}) = E_x \int_0^\infty e^{- \delta t} u(c(t))dt$$
  
  
  
  sur l'ensemble des politiques admissibles, c'est à dire ne conduisant jamais à la faillite. On montre [AJS96] que la fonction valeur est l'unique solution de viscosité d'une inéquation variationnelle elliptique (IV). De plus, l'étude numérique de l'IV (que l'on a résolue par un algorithme basé sur l'algorithme de Howard et les multigrilles) permet de déterminer la stratégie optimale d'investissement et de consommation.

  Le cas d'un horizon fini (maximisation de l'espérance d'une fonction de la richesse finale)[ASS95] ainsi que le cas ergodique (maximisation du taux moyen de profit) [AST]ont également été étudié.

  Développement d'une boîte à outils ``mathématiques financières''.

  Un des objectifs de ce travail est de développer un package Scilab dédié à l'évaluation et à la couverture des produits dérivés. A vocation didactique, ce produit vise les étudiants de 3ème cycle de finance ou mathématique financière. Plus que l'exhaustivité, c'est l'aspect référence scientifique qui est recherché, surtout sur le plan des méthodes numériques et des algorithmes implémentés.

  
  

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