Projet Meta2

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Actions industrielles

Régulation des cours d'eau aménagés



Participants : Habib Jreij , Jean-Pierre Quadrat , Serge Steer


Ce travail marque la fin de la thèse de Habib Jreij dans le cadre du contrat EDF/DER Chatou sur la régulation des cours d'eau aménagés.

L'essentiel du travail effectué cette année était dédié à la conception et la mise en oeuvre des contrôleurs non linéaires robustes pour les systèmes linéaires présentant un retard uniquement dans le contrôle.

Une rivière aménagée est divisée en plusieurs aménagements. On appelle bief la partie du cours d'eau située entre deux aménagements consécutifs. L'écoulement de l'eau dans un bief est régi par les équations de St Venant. Le but de la régulation est de maintenir le niveau d'eau en certains points critiques en agissant sur les débits sortant des aménagements.

Pour décomposer le système en sous système, on introduit des actions ``Feedforward'' assurant la coordination des sous-systèmes en cascade. Chaque sous-système est régulé localement en ``Feedback''.


Cette coordination comprend deux parties :

Des méthodes d'optimisation dans une classe des fractions rationnelles ont été proposées pour la détermination des filtres d'anticipation série et parallèle (actions ``Feedforward'') qui permettent de réguler l'ensemble de la vallée ``en tendance''.

Le régulateur non linéaire local est basé sur une conception $F_{s_i}$-optimal robuste à deux degrés de libertés qui permet d'optimiser séparément la poursuite de la consigne et le rejet des perturbations pour un système local approximable par un retard pur en cascade avec un intégrateur


Le réglage du contrôleur s'obtient par simple ajustement des constantes de temps de deux filtres : l'un pour la poursuite de la consigne ($H_2$) et l'autre pour le rejet des perturbations ($f_r$). L'introduction d'une non linéarité multiplicative ($f_d$)dans le contrôleur permet de tenir compte des spécifications données par zone de fonctionnement. La stabilité du système bouclé par ce contrôleur non linéaire est montrée en utilisant le critère de cercle pour les systèmes avec retard.

Commande des systèmes flexibles



Participants : François Delebecque , Ramine Nikoukhah , Pierre Coustal


Une coopération se fait avec le SFIM par l'intermédiaire de l'encadrement de la thèse de Pierre Coustal sur la commande robuste.

La thèse de P. Coustal s'est achevée cette année. Elle porte sur des problèmes de commande de structures flexibles. Ce travail repose sur un savoir faire acquis à l'occasion de nombreuses applications industrielles réalisées à la SFIM-EA ces dernières années dont certaines en collaboration avec le projet. On a dégagé les particularités essentielles des systèmes flexibles en vue de leur commande. Une méthodologie est proposée. Elle est présentée à l'aide de concepts familiers aux ingénieurs (positivité, marges de stabilité, grands gains, ...).

Le ``loop-shaping'' est habituellement utilisé pour la synthèse robuste de systèmes comportant des incertitudes non structurées. Dans l'approche proposée, on ne peut pas réaliser une commande robuste pour des structures flexibles comportant des incertitudes structurées sur l'amortissement et la pulsation des modes de structure. La propriété de positivité est en général intégrée dans le formalisme $\psi$ par une transformation conforme. Dans la méthode proposée, la positivité est une conséquence d'une contrainte imposée sur l'amortissement. Ce paramètre étant une caractéristique physique du procédé, le risque d'imposer une contrainte non réalisable se trouve réduit. On a, par ailleurs, étudié le problème du positionnement des capteurs et actionneurs par l'intermédiaire des déformées modales qui caractérisent les propriétés de contrôlabilité et observabilité des modes de structure.

La commande numérique obtenue par la technique proposée a été appliqué sur de nombreux systèmes flexibles (paliers magnétiques actifs, systèmes articulés à plusieurs degrés de liberté, viseur d'hélicoptère). Les algorithmes numériques utilisés dans la boîte à outils de Scilab supposent qu'un certain nombre d'hypothèses techniques soient vérifiées. Ces conditions qui sont nécessaires pour l'application des algorithmes ne le sont pas pour l'existence de contrôleurs stabilisants et vérifiant une condition de petit gain. On a montré comment l'utilisation de préfiltres adéquats construits à partir d'une variante de l'algorithme de structure de Silverman permet de surmonter cette difficulté. Des fonctions Scilab permettent d'automatiser cette procédure ont été développées pour cela.

Processus stables et ``pricing'' d'options



Participants : Agnès Sulem , Arnaud Tisseyre


Dans le cadre d'une convention Cifre avec la Banque Hervet (N. Ville), Arnaud Tisseyre développe de nouveaux modèles de valorisation d'options.

La majorité des modèles utilisés en mathématiques financières s'appuie sur des processus gaussiens. Les gaussiennes, grâce à leur propriété de stabilité, se prêtent très bien au calcul. Cependant, il est apparu empiriquement que les chocs observés sur les différents marchés financiers possèdent une amplitude et une fréquence de retour bien supérieures à celles que laissent prévoir les lois gaussiennes. De plus, les trajectoires des différents cours observables sont structurellement discontinus et les processus gaussiens ne prennent pas en compte ce phénomène. Enfin, des études ont montré que, pour des intervalles de temps moyens, les accroissements moyens au cours d'un intervalle de temps $H_{\infty}$ d'un actif At sont homogènes à l'intervalle $H_{\infty}$ selon une puissance supérieure de celle prévue par la gaussienne, ce qui peut se résumer de la manière symbolique suivante :



Il apparait donc naturel de s'appuyer sur d'autres lois que la loi gaussienne pour modéliser les actifs financiers. Nous devons cependant conserver des propriétés minimales pour tenir compte de la natures des objets dynamiques à modéliser : l'indépendance des accroissements et la stabilité analytique des lois au cours du temps. Les lois dites ``stables'' ou encore loi de Lévy paraissent tout à fait adaptées à cette fin.

Un actif financier At  est représenté par une intégrale stochastique de Lévy, i.e


On suppose que $\alpha \in \left] 1,2\right[ , \left\vert \beta \right\vert \leq 1$ pour disposer du premier moment du processus et on exclue les cas $1\leq \alpha \leq 2$ (loi de Cauchy) et $\alpha =1$ (loi gaussienne). De plus, on considère seulement le cas $\alpha =2$(processus complètement tourné à gauche) pour disposer de la propriété :  


Le problème est de calculer le prix d'une option d'achat sur l'actif At, qui s'écrit



d'où la nécessité de disposer de la propriété ([*]).

Nous obtenons une généralisation de la formule de Black-Scholes qui fait intervenir successivement la transformée de Laplace, la répartition et la densité des lois de Lévy.

Une fois les outils de calculs développés, nous sommes amenés à estimer le paramètre \begin{displaymath}O_s=E\left[ \left( A_T-K\right) ^{+}\vert\Im _s\right] \end{displaymath} pour un actif donné, et à tester sur des trajectoires historiques la différence entre une gestion gaussienne de portefeuille et une gestion ``à la Lévy''. Pour cela, nous devrons déterminer, à l'aide des prix de marché, la fonction $\alpha $pour ``caler'' le prix de l'option étudiée. Ensuite, nous utiliserons les ``dérivatifs'' de ce prix pour gérer la couverture de l'option.

Gestion dynamique de contrats d'assurance sur taux de change



Participants : Agnès Sulem , Xavier Joseph


Dans le cadre d'une convention Cifre avec la Coface (Pierre Fournel, Direction financière), Xavier Joseph étudie les problèmes de couverture (stratégies, efficacité, risque toléré) de contrats d'assurance sur taux de change (typiquement des risques de change à l'exportation) conditionnés par un facteur exogène aux taux de change, à savoir le taux de conclusion (taux de réussite aux appels d'offre) et de modéliser une gestion dynamique des contrats ainsi couverts.

Les garanties de change usuelles de la Coface sont des ventes à terme avec intéressement, dont la mise en place définitive est soumise à une condition suspensive, qui consiste en la constatation de l'échec de l'assuré exportateur à l'appel d'offre. La délivrance de la garantie s'accompagne du versement d'une prime d'engagement, la levée de la condition suspensive d'une prime de conclusion, toutes deux versées à la Coface par l'assuré.

Il s'agit donc d'un instrument financier soumis à des aléas de type financier (taux de change et d'intérêt) et non financier (taux de conclusion).

Après avoir modélisé le risque de change et le risque de conclusion, le problème est de déterminer des stratégies dynamiques de gestion des risques.

Ces stratégies devront respecter les limites de risque de perte autorisées, prendre en compte les coûts de gestion et de réajustement de couverture et permettre d'optimiser les prix de contrats.

Un premier stage de DEA a été effectué à la Coface qui a permis d'étudier la stratégie 0-100, c'est à dire l'étude d'une couverture dans le cas où 100% des contrats défavorables et 0% des contrats favorables entrent en vigueur.

Modélisation et commande des moteurs à injection directe de l'essence



Participants : Habib Jreij , Ramine Nikoukhah , Michel Sorine (projet SOSSO)


Dans le cadre d'un contrat avec la Direction de la Recherche Renault (A. Dauron, V. Rauch, E. Valencienne, P. Rodriguez), un modèle dynamique d'un moteur IDE (injection directe essence) a été développé. Ce modèle doit servir, dans un premier temps, à tester et valider les contrôleurs conçus sur des modèles réels simplifiés. Par la suite, il sera utilisé pour la conception du contrôleur, en particulier en présence de l'EGR (recirculation des gaz d'échappement) dans le cas du fonctionnement en régime pauvre. La modélisation et les simulations sont effectuées à l'aide du logiciel Scicos [34].

Réduction de modèles thermiques



Participants : Papa Momar Ndiaye , Serge Steer


Dans le cadre d'un contrat avec le centre des Renardières (EDF, F. Déqué) sur la réduction de modèles thermiques, nous avons développé un outil de réduction de modèles thermiques. Le système à réduire se présente comme un modèle de connaissance linéaire de dimension finie donné par une représentation d'état non observable. Le point de départ est donc la construction d'une base équilibrée pour la partie commandable et observable de ce système. Une troncature permet alors d'éliminer les modes faiblement observables. Puis une méthode d'approximation par perturbations singulières donne le système réduit à l'ordre voulu. Les états de faible énergie sont, non pas tronqués, mais remplacés par des valeurs asymptotiques. Cette combinaison permet de minimiser l'erreur de réduction pour les hautes fréquences et aussi de conserver le gain statique du modèle de connaissance, ce qui est essentiel pour le calcul de la puissance de chauffe. Une revue bibliographique a été effectuée et le code développé en Fortran. L'ensemble des résultats a fait l'objet du rapport [35].



Commande du système Praxitèle



Participants : Chafik Allal , Maurice Goursat , Jean-Pierre Quadrat


L'objet de ce travail est d'étudier la modélisation et l'optimisation d'un domaine Praxitèle c.a.d. i) de définir le mode de gestion d'un domaine Praxitèle, ii) de dimensionner les parkings, iii) d'optimiser le dimensionnement du système de ramassage (hauts le pied) de praxicars (voitures électriques), iv) de déterminer les routages des hauts le pied (système de transport des voitures).

Cette année, la régulation complète a été mise en oeuvre et étudiée numériquement. La stabilité du système régulé a été prouvée.

Analyse modale de systèmes mécaniques en fonctionnement



Participants : Maurice Goursat


Il s'agit d'identifier les modes propres (fréquences et amortissements) d'une structure vibrante sous excitation naturelle ; cette excitation est non maîtrisée, non mesurée et généralement non stationnaire.

Les études menées à l'Inria, il y a quelques années, ont été relancées avec le démarrage d'un projet Eureka Sinopsys dont le but est de réaliser un transfert industriel de méthodes d'identification. Les participants au projet Sinopsys sont une dizaine dont la société LMS (Leuven, Belgique, leader du projet) et pour la France la société Sopemea (Villacoublay), l'Ecole Centrale et l'Inria.

Dans la seconde moitié de 1997, nous avons réalisé une étude pour le CNES et l'Aérospatiale consistant à identifier les modes de vibration du lanceur Ariane 5 en exploitant les données du vol 501. Nous sommes candidats à traiter les données du vol 502 à venir.

Cette application pose un problème nouveau en ce qui concerne l'identification modale : la non-stationnarité de la structure (et non plus seulement de l'excitation) résultant de la combustion rapide du carburant, qui modifie masses, raideurs et amortissements.

La participation majeure à ces études est menée à l'Irisa dans le projet Sigma2.



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