Présentation générale et objectifs

Le projet Idopt est un projet commun au CNRS (département SPM), à l'université Joseph Fourier (Grenoble 1), à l'INPG et à l'Inria Rhône-Alpes. Ce projet est localisé au laboratoire LMC de l'Imag.

De nombreux domaines de la physique et de la mécanique sont modélisés par des systèmes à paramètres répartis, régis par des équations aux dérivées partielles, qui décrivent le comportement spatio-temporel des variables du modèle. Deux types de problèmes se posent alors naturellement et leur étude fait l'objet de ce projet :

i) l'identification :

Certains paramètres ou certaines fonctions intervenant dans ces modèles sont inconnus, ou plutôt mal connus (coefficients de diffusion dans des équations paraboliques, sources non linéaires dans des équations elliptiques, conditions initiales ou conditions aux limites, etc.). On se propose d'identifier ces paramètres ou fonctions à partir d'observations expérimentales : ce sont des problèmes inverses (par opposition à la résolution des équations elles-mêmes qui constitue le problème direct). La résolution de ces problèmes est une aide précieuse pour le physicien qui, en général, possède un modèle de son système, mais avec une large incertitude sur ses paramètres. La résolution du problème inverse lui fournit donc une information primordiale.

ii) l'optimisation :

Les dispositifs expérimentaux sont pilotés par un physicien qui dispose en général d'un certain nombre de fonctions de contrôle qui lui permettent d'optimiser et éventuellement de stabiliser le système. Le travail du mathématicien consiste à déterminer de façon optimale ces fonctions, que ce soit sous forme d'un contrôle en boucle ouverte (préprogrammation) ou en boucle fermée (feedback stabilisant).

Le lien entre les problèmes d'identification et ceux d'optimisation réside dans le fait qu'il s'agit, dans les deux cas, de minimiser une fonctionnelle dépendant de la solution de l'équation aux dérivées partielles (EDP). En effet, les problèmes d'identification peuvent être formulés comme la minimisation de l'écart quadratique entre les observations expérimentales et les quantités correspondantes calculées par résolution du système d'équations; les variables de contrôle sont, dans ce cas, les paramètres ou les fonctions à identifier. La minimisation de fonctionnelles dépendant de la solution d'une EDP, par rapport à un vecteur de contrôle intervenant soit dans les conditions initiales, soit dans les conditions aux limites ou dans l'équation elle-même, relève de la théorie du contrôle optimal des EDP. Des techniques stochastiques seront également utilisées pour résoudre les problèmes inverses (filtrage de Kalman, validation croisée, ondelettes).

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