Projet Gamma

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Résultats nouveaux

Méthode frontale en trois dimensions



Participant : Éric Séveno et Frédéric Hecht


Mots-clés : Avancée de front


Résumé : Cette étude concerne le développement d'un algorithme de maillage par une méthode frontale en trois dimensions et fait suite à une étude traitant du cas bidimensionnel. La méthode frontale pose, en trois dimensions, un certain nombre de difficultés liées en particulier au fait qu'il n'existe pas de théorie permettant de définir à coup sûr un algorithme efficace et convergent.


Les problèmes de convergence de l'algorithme, de validité et de qualité des maillages générés sont résolus de manière satisfaisante. Deux points restent désormais à étudier. D'une part, l'optimisation des structures de données informatique au niveau de la mémoire afin de produire de ``gros'' maillages requis par exemple pour les problèmes d'écoulements ou d'électromagnétisme. D'autre part, l'interface avec le code de maillage surfacique pour permettre l'adaptation surfacique et volumique des maillages.

La conception de cet algorithme de maillage a été menée en définissant et en utilisant des structures de données géométriques nouvelles (étudiées dans le cadre plus général du contrat GENIE avec Dassault-Aviation) qui sont ainsi expérimentées en grandeur réelle [33].

Maillage gouverné isotrope en trois dimensions



Participants : Houman Borouchaki et Paul Louis George


Mots-clés : Mailleur de Delaunay adapté


Résumé : Cette étude présente une méthode permettant la génération d'un maillage tridimensionnel respectant une carte de taille spécifiée en entrée. La méthode utilisée est du type Delaunay et fournit un maillage composé de tétraèdres isotropes dont la taille est conforme à la spécification. L'application de la méthode décrite s'insère tout naturellement dans les processus d'adaptation de maillages utilisés dans un ensemble (maillage, calcul, estimation d'erreur).


L'extension d'un mailleur classique de type Delaunay au cas isotrope contrôlé repose essentiellement sur le développement d'une nouvelle méthode de création de points internes et la généralisation des méthodes d'optimisation au cas où, en plus d'un critère de forme, un critère de taille est spécifié.

Les points internes sont créés à partir d'une analyse des arêtes internes du maillage courant. Cette analyse utilise un maillage de fond qui fournit les spécifications de taille et permet ainsi de calculer les longueurs unité des arêtes actuelles. Une telle longueur s'exprime par  

\begin{equation}l_{AB} = d_{AB} \int_0^1 {1 \over h(t)} \, dt\end{equation}


où $d_{AB}$ est la distance (usuelle) entre $A$ et $B$ et $h(t)$, la spécification de taille, est connue de manière discrète aux sommets du maillage de fond.

Pour apprécier le respect du maillage vis-à-vis du champ de taille, on introduit un indice d'efficacité défini comme

 \begin{equation}\tau = 1 - {\displaystyle \sum_{i=1}^{na} e_i^2 \over na }\end{equation}




avec $e_i = 1 - l_i $ si $l_i < 1 $ ou $e_i = 1 - { 1 \over l_i} $ si $l_i \gt 1 $ avec $l_i$ la longueur (unité) de l'arête i ($na$ étant le nombre d'arêtes).

L'optimisation vise alors à modifier les connections afin d'obtenir des arêtes unité et des éléments optimaux en termes de forme. Pour ce faire, on utilise les opérateurs usuels de modification de maillages [2].

Maillage de surfaces paramétrées



Participants : Houman Borouchaki et Patrick Laug


Mots-clés : Surface paramétrée


Résumé : Une surface paramétrée est définie comme l'union de plusieurs morceaux (``patches'') dans l'espace 3D. Deux morceaux distincts peuvent avoir une frontière commune, appelée courbe interface, ou bien être totalement disjoints. Chaque morceau est l'image d'un espace 2D, appelé domaine des paramètres, qui est défini à partir de sa frontière. Une courbe interface 3D peut être l'image de plusieurs frontières 2D.


Schématiquement, le processus de maillage de la surface comporte les étapes suivantes qui reviennent à :

1.
donner une paramétrisation pour chaque morceau $i$,c'est-à-dire un domaine de paramètres $\Omega_i \subset R^2$, ainsi qu'une application $\varphi_i$ de $R^2$ dans $R^3$ telle que le morceau $i$ soit l'image par $\varphi_i$ de $\Omega_i$,
2.
discrétiser chaque courbe interface dans $R^3$,
3.
reporter les discrétisations précédentes de $R^3$ dans $R^2$,
4.
mailler chaque domaine de paramètres $\Omega_i$ dans $R^2$ à partir de sa frontière, en utilisant certaines propriétés intrinsèques de la surface image associée,
5.
obtenir le maillage surfacique cherché comme l'union des images des maillages plans précédents.

Afin de préciser et de valider cette étude, plusieurs types de surfaces paramétrées ont été considérées, notamment des surfaces de Bézier, B-splines et sphériques.

Des études plus spécifiques ont été menées dans le cas de l'enveloppe $E$ d'une réunion de sphères. La principale difficulté est de réaliser l'étape 1 du processus de maillage. Ceci revient à définir de manière adéquate les courbes interfaces de $E$, les domaines $\{\Omega_i\}$et les applications $\{\varphi_i\}$.Il suffit ensuite de réaliser les autres étapes qui sont très générales. Ce travail trouve une application dans le domaine de la chimie, où une molécule peut être modélisée par un ensemble d'atomes sphériques [37], [25].

Génération automatique de maillages surfaciques par CSG



Participants : Christophe Prud'homme, Olivier Pironneau et Frédéric Hecht


Mots-clés : Surface paramétrée


Résumé : La génération d'un maillage tridimensionnel passe par celle d'un maillage surfacique. Celle-ci s'effectue à l'aide de logiciels de CAO. Une nouvelle approche est proposée: il s'agit de générer un maillage surfacique à partir d'une description donnée par une CSG (Constructive Solid Geometry). L'originalité réside dans le fait que les objets de définition géométrique simple, par exemple une sphère, un cylindre, un cône, un plan, sont maillés séparément et les opérations (intersection, union, extraction) définies par la CSG sont effectuées sur ces maillages.


 

Les scènes sont décrites par le langage VRML (Virtual Reality Modelling Language). Ce langage est tout à fait approprié à nos besoins et il est devenu un standard dans ce domaine. Les objectifs à terme sont de fournir un mailleur surfacique à Gfem [26] sans avoir à développer d'outils de CAO.

Une autre application de ce mailleur est la décomposition de domaines. En effet dans le cadre d'un code de mécanique des fluides avec une stratégie de décomposition de domaines [6], on voudrait utiliser différents types de maillages selon les phénomènes physiques : par exemple, dans une couche limite, utiliser un maillage structuré et, ailleurs, un maillage non structuré. Le mailleur surfacique fournit alors l'interface entre les deux types de maillages : on maille non seulement la scène mais également les domaines liés aux maillages de type structuré.

Triangulation et maillage de surfaces implicites



Participants : Houman Borouchaki et Pascal Frey


Mots-clés : Surface implicite


Résumé : Les surfaces et volumes implicites (i.e., définis par une équation du type $f(x,y,z)=0$, resp. $f(x,y,z) \geq 0$) sont utilisés pour la modélisation de nombreuses applications scientifiques et en particulier dans les systèmes de CAO. Obtenir une représentation polyédrique d'une surface implicite est un problème qui intéresse donc de nombreux domaines d'activité, à des degrés divers. Notre intérêt pour ces surfaces, sensiblement différent, vient des modélisations par la méthode des éléments finis partant de données discrètes.


Nous traitons ici du problème de la construction d'une approximation fidèle d'une surface implicite par une surface plane par morceaux, possédant de plus une régularité suffisante entre chaque morceau. En particulier, on souhaite contrôler l'écart entre les triangles et la surface implicite.

Un couplage des techniques de simplification et d'optimisation de maillages permet d'envisager la construction de maillages géométriques de la surface implicite. Dans une première étape, une triangulation de la surface est construite à partir d'un recouvrement du domaine d'étude en tétraèdres. Cette triangulation est alors optimisée pour conduire au maillage géométrique désiré [20].

Maillage en quadrangles de surfaces paramétrées



Participants : Houman Borouchaki, Paul Louis George et Pascal Frey


Mots-clés : Maillage en quadrangles


Résumé : L'idée de base consiste à générer le maillage dans l'espace des paramètres et à le reporter ensuite sur la surface. Il existe essentiellement deux types d'approches, directes et indirectes, pour générer des maillages en quadrangles dans un domaine quelconque en deux dimensions. Les méthodes indirectes (l'approche retenue appartient à cette classe) consistent, à partir d'un maillage triangulaire du domaine, à apparier les triangles deux-à-deux pour former des quadrangles. Le regroupement des triangles est dirigé par un critère portant sur la qualité des éléments générés et peut dans certains cas conduire à un maillage mixte (triangles et quadrangles).


L'étude a porté sur la généralisation du procédé d'appariement des triangles au cas où un champ de métriques est spécifié, ce qui permet de générer le maillage quadrangulaire d'une surface via son domaine de paramètres.

L'idée principale consiste à combiner les triangles sous contrôle de qualité, dans le cas d'un domaine muni d'une structure riemannienne pour créer des quadrangles de qualité optimale. Les éventuels triangles isolés sont ensuite éliminés par subdivision, ce qui conduit à raffiner le maillage de manière uniforme. Pour pallier ce handicap, il suffit simplement de gouverner la génération du maillage triangulaire initial par rapport à une taille deux fois plus grande que la taille voulue.

Une étape de bougé de points est rendue nécessaire car le maillage est optimal au regard de la qualité des triangles (et non des quadrangles) et en raison de l'ajout des sommets lors de la phase de conversion. La procédure de bougé de points vise à optimiser les longueurs des arêtes du maillage (calculées dans la métrique) et prend en compte les diagonales des quadrangles. Le maillage en quadrangles obtenu dans le domaine des paramètres est alors reporté sur la surface [28].

Enrichissement et appauvrissement de maillages de surfaces



Participants : Houman Borouchaki et Pascal Frey


Mots-clés : Enrichissement, appauvrissement


Résumé : Ces opérations sont basées sur un couplage de modifications topologiques locales (gouvernées par la qualité des éléments de la triangulation et la géométrie de la surface) et des processus visant à subdiviser les arêtes trop longues, à supprimer les arêtes trop courtes et à bouger les sommets du maillage. La longueur des arêtes est calculée dans une métrique appelée géométrique de telle sorte qu'une longueur d'arête idéale dans un maillage géométrique soit égale à un.


Soit une triangulation de surface donnée, dotée éventuellement de spécifications géométriques (arêtes vives, points singuliers, etc.). On définit un support géométrique (assez lisse, d'ordre $G^1$) associé à la triangulation initiale de la surface donnant une approximation adéquate de sa géométrie et on optimise le maillage de départ au regard tant de cette géométrie pour obtenir un maillage géométrique que de la qualité en forme des éléments pour obtenir un maillage de type éléments finis.

Le nombre d'éléments du maillage géométrique est généralement lié à l'écart entre le maillage et la surface réelle sous-jacente. En particulier, pour l'obtention d'un maillage géométrique satisfaisant, l'écart doit être suffisamment petit (en pratique, inférieur à 10 degrés), ce qui conduit généralement à la génération d'un nombre d'éléments important. En revanche, quel que soit le domaine d'application envisagé, un nombre d'éléments trop important est pénalisant. Il est donc intéressant de trouver un compromis entre l'approximation géométrique, d'une part et le nombre d'éléments du maillage, d'autre part. C'est l'objectif des méthodes de simplification (de décimation ou d'appauvrissement) de maillages.

La simplification de maillages de surfaces est conçue comme une application particulière de la méthode proposée. En effet, comme l'enrichissement géométrique du maillage est conditionné par l'écart (géométrique) désiré du maillage à la surface, il suffit de considérer des écarts plus importants ainsi qu'une valeur minimale de taille pour obtenir des maillages simplifiés [35], [34].

Surfaces Delaunay admissibles



Participants : Philippe Pebay, Houman Borouchaki et Pascal Frey


Mots-clés : Surface Delaunay admissible


Résumé : On établit si une triangulation de surface est Delaunay admissible ou non. Dans ce dernier cas, on propose une méthode permettant de rendre cette triangulation de surface Delaunay conforme.


L'application d'un mailleur tridimensionnel de type Delaunay aux sommets de la triangulation d'une surface ne conduit pas, en général, au respect de cette triangulation (il existe des triangles de la surface qui ne sont pas des faces des tétraèdres construits) sauf si la triangulation de surface est Delaunay admissible. Cette notion se traduit par un ensemble de contraintes géométriques que doivent satisfaire les éléments de la triangulation.

On propose une méthode, basée sur des modifications locales, permettant de transformer une triangulation de surface quelconque afin de la rendre Delaunay admissible (ou Delaunay conforme).

Les applications de cette étude sont multiples. Outre le fait que l'on simplifie ainsi le travail du mailleur tridimensionnel utilisé pour mailler le domaine défini par la surface, on peut appliquer cette technique à la création de squelette. Ceci ouvre la voie à la génération de maillages hexaédriques non structurés pour des domaines de géométrie arbitraire.

Évaluation des maillages de surfaces



Participants : Houman Borouchaki et Pascal Frey


Mots-clés : Évaluation de surface


Résumé : On cherche à établir si une triangulation de surfaces respectant la carte des rayons de courbure principaux est un maillage géométrique (i.e. une approximation fidèle de la surface). Quelques mesures de qualité destinées à permettre la validation de la conformité physique et/ou de la conformité géométrique d'une triangulation de surface sont proposées.


Contrairement aux triangulations des domaines plans et volumiques, une triangulation de surface[*] n'est pas nécessairement une approximation fidèle de cette surface, au sens où l'écart maximal entre la surface et les éléments de la triangulation n'excède pas une tolérance donnée. Une telle triangulation est appelée triangulation géométrique. Si en outre, les éléments de la triangulation satisfont des requis de tailles (une carte de métriques), celle-ci est appelée un maillage. La conformité physique d'une triangulation signifie que celle-ci respecte nécessairement une carte donnée, qui peut éventuellement être corrigée pour réduire les variations de tailles localement trop importantes (contrôle de la gradation, voir plus bas). Un maillage respectant une carte de métriques, de gradation contrôlée, est appelé un maillage éléments finis.

Dans ce contexte, on cherche à déterminer si une triangulation de surface donnée respecte des propriétés spécifiques, liées notamment à la géométrie de la surface et à la physique du problème [19], [31].

Contrôle de gradation



Participants : Houman Borouchaki, Frédéric Hecht et Pascal Frey


Mots-clés : Taille, métrique, adaptation


Résumé : L'objectif d'une boucle d'adaptation de maillages est d'optimiser la simulation numérique des phénomènes physiques. Une étape nécessaire est la génération d'un maillage adapté au problème traité. Pour cela, il faut tenir compte de spécifications de tailles d'éléments (généralement fournies par un estimateur d'erreur a posteriori). La question qui se pose alors est de savoir s'il est possible de générer un maillage respectant ces spécifications, en particulier dans le cas où la variation de taille est trop importante ou discontinue dans l'espace de contrôle.


Une solution naturelle consiste à remplacer les spécifications de tailles, par des spécifications de tailles plus petites. La variation en taille $\beta$ est définie soit comme le maximum du gradient de la fonction taille $h(P)$ spécifiée dans l'espace de contrôle, soit comme le rapport $\alpha$ maximun des longueurs de couples d'arêtes incidentes et opposées en un point. On a la relation suivante $\alpha= log(\beta)$. On définit ainsi la variation de taille relative à une arête $AB$ du maillage $\mathcal{T}$ comme le gradient de la fonction d'interpolation de tailles le long de cette arête,

\begin{equation}\beta_{AB} = \frac{\vert h(A)-h(P)\vert}{\Vert AB\Vert}. \end{equation}



Le choc de taille relatif à une arête est alors lié à la distorsion de cette fonction d'interpolation. On le définit par

\begin{equation}\alpha_{AB} = \left(\frac{h(B)}{h(A)}\right)^{\frac{1}{l}}\end{equation}



où $l=l_{AB}$ est définie par la relation ([*]). L'idée de base consiste à borner la variation en taille d'un espace de contrôle, relativement à la mesure considérée (variation ou choc). La méthode étudiée est très générale et peut s'appliquer à des maillages plans, de surfaces ou volumiques, dans le cas de spécifications isotropes ou anisotropes [30].

Maillage adaptatif de surfaces



Participants : Houman Borouchaki, Pascal Frey, Paul Louis George et Éric Saltel


Mots-clés : Adaptation de maillage de surface


Résumé : Partant d'une surface définie par un maillage, on remaille cette surface de manière à respecter une carte de métriques spécifiée en entrée. Cette carte comprend à la fois des informations de type géométrique (traduisant les propriétés intrinsèques de la surface) et des propriétés de nature physique (liées au comportement de la solution du problème traité) obtenues par analyse des résultats d'un calcul via un estimateur d'erreur a posteriori.


La surface est définie par une triangulation et quelques informations géométriques (arêtes, points singuliers, normales aux points, etc.). Ces informations sont fournies par la C.A.O. ou extraites, au mieux, d'un maillage servant de définition géométrique.

À partir de ces informations, nous calculons une métrique géométrique intégrant les courbures et les directions principales en tout point. De manière à tenir compte de la "forme" de la surface, la métrique qui servira lors du remaillage est l'intersection de la métrique géométrique et de celle dérivée du calcul. Une fois remaillées, les arêtes de la surface ont toutes une longueur unité dans cette métrique.

Le processus comprend les phases suivantes :


   Figure:  Maillages optimisés de la pièce mécanique. Partie gauche : enrichissement (tolérance géométrique: 5 degrés), partie droite : simplification (tolérance géométrique: 14 degrés) Figure:  Pièce mécanique: modèle CAO (Parasolid) et maillage original (donnée fournie par MacNeal Schwendler Corp.)

\begin{figure} \hbox to \hsize{\hfill\begin{minipage}{7cm} \centering \epsf... ...ering \epsfig {file=dcd90g.03.ps,width=6.5cm}\end{minipage}\hfill}\end{figure}



     Figure: Maillage tridimensionnel adapté (itération 3). Figure: Surfaces sphériques : molécule d'ADN.

\begin{figure}\hbox to \hsize{\hfill\begin{minipage}{7cm}\centering\epsfig ... ...ntering \epsfig {file=lhmount3.ps,width=6.5cm}\end{minipage}\hfill}\end{figure}


Maillage adaptatif en trois dimensions (validation)



Participants : Houman Borouchaki, Paul Louis George, Bijan Mohammadi et Rachid Ouachtaoui


Mots-clés : Adaptation de maillages tridimensionnels


Résumé : Dans la simulation numérique par des méthodes d'éléments finis, la qualité en forme et en taille des éléments du maillage support est importante, en raison de son effet sur la précision des solutions numériques et sur la convergence du schéma de calcul. L'adaptation des maillages au comportement physique du phénomène étudié est un moyen de réduire les temps de calcul et d'améliorer la précision des résultats numériques.[*] La génération du maillage est alors gouvernée par ces résultats pour obtenir un maillage mieux adapté au phénomène physique modélisé.


On utilise ici l'ensemble des résultats exposés ci-dessus pour construire une boucle d'adaptation. Cette boucle comprend l'ensemble mailleur adaptatif-estimateur d'erreur. L'aspect maillage adaptatif concerne à la fois l'adaptation du maillage des surfaces du domaine considéré et, ceci fait, celui du maillage volumique proprement dit.

Dans cette étude, on distingue deux étapes dont le but est de valider les approches proposées. En premier lieu, on considère un problème de maillage adaptatif académique. La fonction de taille (i.e. la carte de métriques isotrope) est connue analytiquement mais utilisée de manière discrète (aux sommets d'un maillage de fond). On valide alors l'algorithmique de maillage sur deux types de géométries. Un domaine convexe est considéré puis une géométrie plus réaliste (un domaine non convexe) est traitée. Ensuite, on prend un cas réel. Le domaine est une aile d'avion tandis que la carte de métriques est directement le résultat de l'analyse de la solution par un estimateur d'erreur. Cette dernière validation est en cours de réalisation. L'étape suivante consistera à traiter un cas anisotrope.

Base de Données maillages



Participants : Frédéric Hecht, Paul-Louis George


Mots-clés : Base de Données, Maillage, Éléments Finis


Résumé : Un des gros problèmes informatiques est la transmission de données. Si nous voulons faire des calculs où la géométrie est mobile, ou de l'adaptation de maillage, nous avons besoin de définir des structures d'échange de données suffisamment simples pour être compréhensibles par les logiciels de calculs et suffisamment générales pour prendre en compte la complexité des formes industrielles.


L'idée est d'utiliser un maillage comme support géométrique, et de lui adjoindre des informations minimales: arêtes faîtières, coins, normales, ..., car la plupart des logiciels de CAO sont capables à ce jour de fournir ce type d'informations. À partir de ces données, on utilisera une interpolation de type $G^1$ pour définir la géométrie (spline en deux dimensions).

Nous avons écrit un logiciel en C++ appelé bamg pour <<Bidimensional Anisotropic Mesh Generator>> qui permet de construire un maillage bidimensionnel à partir d'une géometrie définie par cette base de données. Ce logiciel permet également de faire de l'adaptation de maillage. De plus, le source de ce logiciel est disponible
sur ftp

Langage adapté aux EDP



Participants : Frédéric Hecht et Olivier Pironneau


Mots-clés : C++,EDP


Résumé : Le but est de définir un langage adapté aux EDP, utilisant notre expèrience en éléments finis. Ce langage permet de définir la géométrie, d'écrire simplement le problème variationnel (scalaire, vectoriel, complexe, ...). Le but est que l'écriture soit aussi proche que possible de l'écriture mathématique des équations.


Devant le succès de FreeFem (voir le serveur asci ) et le problème que posait son extension aux problèmes couplés avec maillage variable (ex: interaction fluide-structure), nous avons décidé de réécrire complètement FreeFem en C++ en tenant compte de l'expérience précédente. Le logiciel est disponible en version alpha. Les fonctionnalités suivantes on été introduites:

Il reste à introduire les systèmes vectoriels et le produit sera disponible par ftp début 98.


Notes:

...surface
dont tous les sommets appartiennent à la surface.
...numériques.
Le critère d'adaptation est basé sur un estimateur d'erreur a posteriori et le résultat de l'analyse est traduit en termes de métriques associées aux noeuds de la triangulation support du calcul.


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