Fondements scientifiques

Problèmes inverses

Participant : Guy Chavent , François Clément , Susana Gómez , Michel Kern , Jean-Marc Cognet , Jérôme Jaffré , Benoît Lavaud , Claire Leleu , Christophe Berthelot

Mots-clés : Problème inverse,estimation de paramètre,moindres carrés

Problème mal posé: Problème dont la solution ne dépend pas de façon continue des données
Moindres carrés: On cherche à minimiser l'erreur quadratique entre la mesure réelle et la mesure simulée en fonction des paramètres

Résumé : Un problème inverse, ou d'estimation de paramètre, consiste à rechercher les coefficients d'une équation aux dérivées partielles, à partir de mesures sur sa solution. Une formulation aux moindres carrés utilisant les techniques de contrôle optimal est une façon naturelle de poser ce problème.
Les problèmes inverses sont typiquement mal posés, ce qui donne une grande importance à leur formulation. D'autres difficultés spécifiques sont dues à la grande taille des problèmes rencontrés, au calcul exact du gradient de la fonction coût, au choix de la paramétrisation,ainsi qu'aux questions théoriques liées à l'identifiabilité.

D'où proviennent les problèmes inverses

Considérant une équation aux dérivées partielles ou un système de telles équations, le problème direct consiste à calculer la solution, connaissant les coefficients et les termes sources. Cependant, ces coefficients et ces termes sources sont souvent mal connus. Pour terminer la modélisation, il faut donc encore résoudre le problème inverse : étant données des mesures sur une observation de la solution, calculer une estimation des coefficients et/ou des termes sources de l'équation ou du système d'équations considéré.

La classe de problèmes considérés actuellement porte essentiellement sur l'estimation de coefficients. Ceux-ci peuvent dépendre soit de la variable d'espace, soit du temps, soit être des fonctions de la solution (non-linéarités de l'équation). Le problème d'estimation de paramètres est formulé comme un problème de minimisation au sens des moindres carrés, la variable de minimisation étant le vecteur des paramètres à estimer, et la fonction à minimiser étant une évaluation en norme de la différence entre l'observation calculée par le modèle avec un jeu donné de paramètres et celle mesurée effectivement. Dans les problèmes abordés le nombre de paramètres sera grand (d'une vingtaine à un million), ce qui conduit à l'utilisation pour l'optimisation de méthodes de gradient utilisant l'état adjoint.

Difficultés des problèmes inverses

Les problèmes inverses tels qu'ils viennent d'être rapidement décrits présentent de nombreuses difficultés liées à leur non-linéarité, à leur taille, au fait qu'ils sont très gourmands en temps de calcul et qu'ils sont souvent mal posés. Ce sont des problèmes d'optimisation, mais les algorithmes d'optimisation ne sont pas un objet de recherche du projet. Pour nos besoins dans ce domaine, on s'appuie sur les résultats et les compétences du projet Promath et on s'est assuré la collaboration de S. Gómez.

Depuis les travaux de J.-L. Lions et de G. Chavent au début des années 70 montrant comment résoudre les problèmes d'estimation de coefficients par contrôle optimal, le savoir-faire a considérablement évolué et on peut aujourd'hui identifier les directions de recherche suivantes comme essentielles :

Choix de la formulation : suivant la façon dont est formulé le problème inverse - choix des paramètres à estimer, choix de la fonctionnelle à minimiser - le problème de minimisation associé est plus ou moins bien posé. Une bonne compréhension du problème physique est nécessaire pour faire les bons choix.
Choix de la paramétrisation : c'est souvent un problème non trivial de choisir la représentation discrète des paramètres à estimer. Ce choix a aussi une influence sur le conditionnement du problème de minimisation associé et sur l'immodalité de la fonction coût, comme l'a montré le succès des paramétrisations multiéchelles.
Génération automatique de logiciels : l'écriture de programmes calculant le gradient par la méthode de l'état adjoint est toujours longue et laborieuse, alors que cette procédure pourrait être automatisée. Deux voies, s'appliquant à des situations différentes sont possibles : génération automatique simultanée des programmes de calcul de la fonction à minimiser et de son gradient - ainsi le programme Gradj écrit en Maple et développé au sein de Ident et Estime -, ou génération du seul programme de calcul du gradient à partir d'un programme déjà existant de calcul de la fonction à minimiser - voie choisie par exemple par Odyssée développé au sein du projet Saphir. Cette deuxième voie s'impose quand de gros programmes de calcul existent déjà, alors que la première est plus adaptée quand le simulateur peut être réécrit.
Efficacité dans la résolution du problème direct : dans les problèmes que nous considérons la résolution du problème direct est très coûteuse. On doit donc chercher à améliorer les techniques de résolution de ce problème - amélioration des méthodes numériques, utilisation du parallélisme - ou à utiliser des modèles simplifiés. Une partie de ce travail est fait en dehors du projet (par exemple dans le projet Ondes pour la sismique).
Identifiabilité : la question se pose toujours, de façon théorique et pratique, de savoir si les mesures sont suffisantes pour estimer les paramètres que l'on cherche, et comment l'incertitude sur les mesures se répercute sur les paramètres estimés. Les questions de stabilité et d'identifiabilité sont donc au coeur de l'estimation de paramètres.

Méthodes numériques pour les équations aux dérivées partielles

Participants : Clarisse Alboin , Guy Chavent , Jérôme Jaffré , Michel Kern , Xueweng Wang

Mots-clés : Eléments finis, volumes finis, calcul parallèle, décomposition de domaine

Décomposition de domaine: Technique qui consiste à partitioner le domaine d'étude en plusieurs sous-domaines, et à résoudre en parallèle le problème de départ sur les sous-domaines.
MPI: Message Passing Interface. Spécification d'une bibliothèque standard permettant de faire communiquer des processus s'exécutant sur des processeurs différents d'une machine parallèle.

Résumé : Les méthodes de discrétisation appropriées pour les problèmes en milieu hétérogène sont les volumes finis centrés sur les mailles et les éléments finis mixtes ou mixtes-hybrides. Les méthodes de décomposition de domaine sans recouvrement permettent de décomposer le domaine de calcul en sous-domaines sur lesquels sont définis des modèles physiques différents. L'implémentation parallèle est une nécessité pour les problèmes de grande taille.

Eléments finis et volumes finis

Les méthodes de volumes finis centrés sur les mailles sont particulièrement adaptées aux problèmes où les coefficients varient beaucoup. C'est le cas, en particulier, des problèmes concernant les écoulements en milieu poreux. Ainsi la composante normale vitesse de Darcy, $\vec{u} = - K \vec{\mbox{ grad }} P,$ reste régulière même lorsque le coefficient

, la perméabilité absolue, varie beaucoup, pour satisfaire les propriétés de conservation des différents fluides (phases). Cette situation se retrouve dans d'autres applications comme la diffusion neutronique ou les semi-conducteurs. En utilisant les moyennes harmoniques de

, les méthodes de volumes finis centrés sur les mailles permettent d'obtenir de bonnes approximations de la vitesse de Darcy, même lorsque

varie beaucoup, tout en respectant les propriétés de conservation au niveau de la maille de discrétisation.

Les méthodes d'éléments finis mixtes sont une généralisation de ces méthodes de volumes finis centrés sur les mailles qui, s'appuyant sur des formulations variationnelles, a permis de traiter le cas des maillages non-structurés utilisant des mailles triangulaires ou tétrahèdriques. Les éléments finis mixtes ont permis aussi de traiter le cas où n'est plus ni un coefficient scalaire ni même une matrice diagonale, mais une matrice pleine en dimension 2 ou 3. Cependant ces méthodes sont plus coûteuses que les méthodes de volumes finis puisqu'il faut résoudre un système linéaire pour déduire la vitesse $\vec{u}$ de la pression . De plus, étant plus abstraites car basées sur la formulation variationnelle, ces méthodes ont moins d'attrait pour les physiciens.

Ainsi, les relations entre éléments finis mixtes et volumes finis centrés sur les mailles peuvent être encore approfondies. D'une part, on peut présenter les méthodes d'éléments finis mixtes, notamment en utilisant la formulation mixte-hybride, comme des méthodes de volumes finis en introduisant des inconnues de maille - eventuellement plus d'une inconnue par maille - et des inconnues d'arête, et en écrivant les équations maille par maille, puis en explicitant les relations entre les mailles. On obtient ainsi ce qu'on peut appeler des éléments finis généralisés. D'autre part, on cherche à écrire des formulations volumes finis sur des maillages de triangles ou de tétrahèdres, de rectangles ou d'héxaèdres déformés. Même sur un maillage de rectangles, il est difficile d'écrire une formulation volumes finis dans le cas ou est une matrice non-diagonale.

Décomposition de domaines

Les méthodes de décomposition de domaines peuvent être utilisées en vue d'une implémentation parallèle efficace, mais elles peuvent être aussi un outil pour assembler des domaines dans lesquels des modèles physiques différents doivent être utilisés.

Pour les écoulements finis en milieux poreux, on peut être ainsi amené à utiliser un modèle monophasique dans une partie du domaine qui est saturée, un modèle diphasique ou triphasique dans une région qui est non-saturée, un modèle double porosité là où le milieu est fracturé, et des failles peuvent traverser le milieu. Parfois, même si le modèle ne change pas, une variation brusque du milieu - changement de type de roche - introduit des conditions de transmission non-standard à l'interface.

Pour ce genre de problèmes, les méthodes de décomposition de domaine sans recouvrement sont appropriées. Elles permettent de faire coïncider les sous-domaines de calcul avec les sous-domaines physiques. Evidemment, ces méthodes doivent pouvoir utiliser des pas de temps locaux car les échelles de temps associées aux différents sous-domaines peuvent varier beaucoup.

Calcul parallèle

Comme cela a été souligné plus haut, aussi bien les problèmes inverses que la modélisation en milieu poreux sont de gros consommateurs de calcul. Il est donc naturel de se tourner vers les techniques utilisant le calcul parallèle, tant pour réduire le temps de calcul, que pour accéder à une mémoire plus importante.

Une classe de méthodes générales pour obtenir des algorithmes parallèles pour la résolution d'équations aux dérivées partielles sont les méthodes de décomposition de domaine. Ces méthodes ont été étudiées de façon intensive dans le cas des problèmes elliptiques. Elles constituent actuellement le moyen le plus général d'obtenir des application portables et efficaces sur une large gamme d'ordinateurs parallèles. Leur mise en oeuvre effective est facilitée par l'existence de bibliothèques telles que MPI. Nous étudions des extensions de leur champ d'application dans différentes directions :

Pour la simulation d'écoulement en milieu poreux, il s'agit d'adapter la méthode à une discrétisation par éléments finis mixtes, et à introduire la pression globale, ce qui conduit à traiter un saut dans la condition de raccord à l'interface.
Pour le calcul de criticité dans les réacteurs nucléaires : le facteur effectif multiplicatif est la plus grande valeur propre d'un opérateur non symétrique. Nous proposons d'étendre à ce cas la méthode de synthèse modale qui n'a été analysée jusqu'ici que dans le cas des opérateurs symétriques.
Pour la propagation des ondes par des méthodes d'éléments finis. L'utilisation des éléments d'ordre élevés developpés au sein du projet Ondes conduit à une méthode explicite pour laquelle la mise en oeuvre est plus simple que pour les problèmes stationnaires.

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