Fondements scientifiques

Stabilisation des systèmes par feedback

Résumé : On considère des systèmes du type : $\begin{eqnarray*} \left\{\begin{array} {l} \dot{x}=f(x,u)\\ x\in H \end{array} \right.\end{eqnarray*}$ soit en dimension finie auquel cas est une équation différentielle ordinaire, ou en dimension infinie auquel cas est un opérateur sur un espace de Hilbert,
et les systèmes
$\begin{eqnarray*} x_n=f(x_{n-1},u_n)\end{eqnarray*}$ . Le problème est de trouver une loi de commande dépendant de l'état du système, tel que le système avec cette loi (système bouclé) soit asymptotiquement stable. En dimension infinie, on s'intéressera aux diverses notions de stabilité (faible, forte, exponentielle...). La stabilité pourra être locale ou globale. Dans le cas des systèmes en dimension finie, nous nous intéresserons à l'adjonction de bruits, les sytèmes devenant stochastiques. Si les systèmes dynamiques stochastiques ne sont pas un sujet de recherche pour le projet, leur utilisation est un moyen pour nous de valider la robustesse des lois stabilisantes au bruits de mesures et aux pertubations.

Système hybride: Se dit d'un système coupland des systèmes d'équations différentielles ordinaires contrôlées et des équations aux dérivées partielles.

Dans tous les types de systèmes considérés, de dimension finie ou à paramètres répartis, déterministes ou stochastiques, discrets ou continus les techniques Lyapunov-Lasalle jouent un grand rôle. Si celles-ci sont bien connues dans les systèmes en dimension finie, leur apparition en discret et en dimension infinie est plus récente. Il y a une interaction très forte, au sein du projet, entre les différentes approches. C'est ainsi que des contrôles en dimension finie développés au sein du projet trouvent des parallèles pour les systèmes hybrides. Des contrôles classiques (PI) en automatique s'adaptent en dimension infinie (régulation de canaux d'irrigations). Pour des systèmes d'ordre 1, le mélange de contrôles classiques et de contrôles spécifiques aux EDP se révèle performant. Récemment nous commençons à nous intéresser aux systèmes à retard dans le cadre de la stabilisation des équations différentielles ordinaires

Observateurs

Résumé : On considère un système du type
$\begin{eqnarray*} \left\{\begin{array} {l} \dot{x}=f(x,u)\\ x\in H \\ y=h(x) \end{array} \right.\end{eqnarray*}$
ou est la fonction d'observation (les mesures), un observateur est un système
$\begin{eqnarray*} \left\{\begin{array} {l} \dot{z}=\Phi(z,y,u)\\ \hat{x}=\theta(z) \end{array} \right.\end{eqnarray*}$
qui a la propriété
$\begin{displaymath} \lim_{t \to \infty} \parallel \hat{x}(t)-x(t)\parallel = 0 \end{displaymath}$
Si le système est correctement identifié, connaître un observateur permet d'évaluer l'état du système à l'aide d'un solveur d'équations différentielles, ce qui permet de parler de capteur logiciel.

Le projet étudie et construit des observateurs pour des systèmes en dimension finie ou infinie. Les systèmes réels fournissent des mesures discrètes. Il y a deux façons possible de résoudre ce problème toutes les deux abordées dans le projet : soit concevoir des observateurs continus-discrets ou construire un observateur discret de système discret.

La recherche sur les observateurs est concentrée sur des systèmes particuliers issus d'exemples pratiques. C'est ainsi que nous avons introduit les systèmes de Hessenberg car ils constituent une classe générique de systèmes rencontrés en biologie ou en génie des procédés. Les systèmes bilinéaires sont aussi une classe privilégiée. En particulier, en dimension infinie, ils modélisent les échangeurs thermiques à contre-courant, systèmes assez génériques en génie des procédés.

D'un point de vue théorique nous commençons l'étude et la construction d' observateurs avec des entrées inconnues. Cette classe d'observateurs est intéressante entre autre du point de vue de la détection et de l'isolation des pannes.

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