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Participants : Olivier Bernard (CESAME, Louvain, Belgique)
, Jean-Luc Gouzé , Claude Lobry , Antoine Sciandra (CNRS
Villefranche-sur-mer)
Mots-clés : bioréacteur
Nous avons poursuivi (en collaboration avec O. Bernard et A. Sciandra) le développement d'une méthode de validation dynamique robuste de modèles différentiels, qui utilise seulement le signe des éléments de la matrice jacobienne, et ne dépend donc pas de la formulation exacte des équations ni des paramètres. En effet, les modèles utilisés sont mal connus, et on utilise seulement le fait que certaines fonctions sont croissantes. On suppose donc que le modèle a une matrice jacobienne de signe fixé. On étudie alors la succession temporelle des extrema de chaque variable et du signe de l'écart par rapport à un équilibre quelconque. Ce sont des renseignements qualitatifs assez faciles à obtenir, même quand il y a beaucoup de bruit sur les mesures. On a cherché à affiner l'étude, en superposant le graphe donnant la succession des extrema, et le graphe donnant la succession des passages par un équilibre. On obtient ainsi une espèce de partition de l'espace des variables, permettant une validation fine du modèle, et dans certains cas des prédictions sur le comportement global du système [BGar]. On peut appliquer ces techniques à des populations structurées en stades ou âges [BSar].
O. Bernard, en collaboration avec Antoine Sciandra et Gauthier Sallet (projet Conge, Metz), a poursuivi des travaux concernant l'application de méthodes d'observateurs non-linéaires à des problèmes de modélisation biologique, en l'appliquant au modèle de Droop (croissance du phytoplancton). L'approche choisie est originale : il s'agit d'utiliser l'observateur pour valider un modèle ou révéler ses lacunes. On compare donc les variables reconstituées par l'observateur aux mesures biologiques. Les techniques d'observateurs (de type grand gain ou Kalman étendu) s'appliquent à toute une classe de modèles très fréquents en biologie : la matrice jacobienne doit être << presque >> triangulaire (de type Hessenberg). Des théorèmes généraux ont été prouvés concernant ces systèmes et la convergence des observateurs ; l'application à des données réelles obtenues sur le chemostat de Villefranche a été réalisée, dans le cadre du modèle de Droop (modèle avec quota). Un article est à paraître [BSSar,BSS].
Participants : Jean-Luc Gouzé , M. Zakaria Hadj-Sadok
Mots-clés : bioréacteur
Nous avons entamé un travail où nous appliquons l'expertise développée dans les problèmes de croissance des algues à des problèmes d'épuration (d'eau par exemple) dans des réacteurs biologiques, et plus particulièrement à un modèle de boues activées (on recycle une part des cellules après décantation).
Comme pour tout processus industriel, le procédé des boues activées nécessite une régulation continue afin d'optimiser les opérations et maintenir la dégradation du substrat polluant à un niveau désiré à la sortie de l'unité de traitement. L'objectif est de définir un algorithme de commande efficace qui doit incorporer tous les éléments majeurs de la connaissance du processus (modèle), tout en étant capable de remédier au manque d'informations (données incomplètes, dynamiques négligées...).
D'une part, nous nous sommes intéressés à la conception d'observateurs robustes pour reconstruire des variables non mesurées. Nous avons choisi un modèle simple à trois variables (substrat, biomasse, biomasse recyclée), la sortie étant le substrat. Comment construire un observateur alors qu'on connaît mal les taux de croissance de la biomasse ? Ces problèmes ont déjà été considérés par l'équipe du CESAME (Louvain-la neuve, Belgique) ([BD90]) avec qui nous collaborons. D'autre part, nous avons des contacts sur ce thème avec l'INRA Montpellier (J.P. Vila, A. Rapaport), qui dispose de réacteurs expérimentaux. Nous utilisons des techniques de matrices positives pour prouver des résultats de convergence de systèmes non-linéaires.
La validation des résultats théoriques par des applications sur un procédé pilote (société EPTEAU, Lyon) est aussi envisagée.
Olivier Bernard, qui est en post-doctorat au laboratoire d'automatique Cesame (Louvain-la-Neuve), travaille sur des problèmes industriels de modélisation et contrôle dans des bioréacteurs concernant, d'une part, la production de vanilline naturelle par des champignons, et, d'autre part, la dégradation des résidus d'une usine à bois.
Participants : Jean-Luc Gouzé , Suzanne Touzeau , Claude
Lobry
Mots-clés : pêche
Suzanne Touzeau a soutenu sa thèse [10], qui concerne l'étude des populations marines exploitées par le biais d'outils issus de l'automatique. Les modèles dynamiques considérés représentent en général le stock, c'est-à-dire la phase de la population susceptible d'être exploitée (pas les stades larvaires). Ils sont en temps continu, structurés (en stades, classes d'âge...) ou non ; dans ce dernier cas, le stock est agrégé en une seule variable et on parle de modèle global.
La thèse s'articule selon deux axes : la modélisation et le contrôle.
Nous avons établi et étudié un modèle de population halieutique structuré en stades. L'accent a été mis sur le bouclage d'un tel modèle, de la reproduction au recrutement dans la phase exploitable. Ce bouclage est réalisé soit explicitement, en modélisant la ponte et le développement des pré-recrutés, soit grâce à une fonction non autonome très générale entre le stock fécond et le recrutement. Nous avons montré que ces deux approches permettent des comportements plus riches que l'utilisation de relations stock-recrutement classiques. En outre, une étude de stabilité de ces modèles a été menée, par des méthodes issues des systèmes coopératifs et grâce au critère du cercle. Par ailleurs, un système de pêcherie plus complet est présenté, sous forme d'un modèle fonctionnel décrivant les étapes intervenant de l'élaboration des stratégies de gestion aux captures.
Un modèle global a été retenu pour mener une étude de régulation d'un stock exploité. Nous avons cherché à contrôler la pêche, de manière à réduire les fluctuations de la capture et de l'effort de pêche. Ainsi, on garantit aux pêcheurs des revenus et des coûts relativement stables. Deux techniques sont employées : le contrôle optimal pour dégager des tendances sur un stock précis, le flétan du Pacifique, et l'approche par << domaine invariant >>, plus robuste et permettant de déterminer des stratégies de gestion admissibles, selon l'état de la pêcherie. Pour plus de vraisemblance, le comportement du pêcheur, dicté par des contraintes de rentabilité, est pris en compte dans la modélisation.
Claude Lobry a dirigé la thèse de Christophe Béné (Ifremer et Villefranche) [Bén97]. L'objectif de cette thèse était d'étudier le couplage entre la dynamique d'une ressource renouvelable et d'un marché économique, au travers de l'analyse de la dynamique de la pêcherie crevettière guyanaise. L'hypothèse de base est que certains systèmes anthropiques, et en particulier les systèmes d'exploitation des ressources renouvelables, sont capables, dans une optique de viabilité économique, de développer une capacité de << résilience >> qui leur permet d'amortir les perturbations externes. La première partie des recherches concerne l'identification des diverses sources de perturbation auxquelles le système-pêche guyanais est soumis. Une série de modélisations dynamiques est ensuite proposée. Le premier modèle analyse le rôle de la régulation des stockages dans le maintien de la viabilité économique de la pêcherie. Le second étudie les origines possibles des oscillations qui sont observées au sein du système ressource-flottille. Le dernier modèle analyse la dynamique endogène d'investissement de la flottille. La dernière partie des recherches concerne les enseignements que cette étude aura permis de mettre en évidence en terme de gestion pour les systèmes d'exploitation des ressources renouvelables.
Participants : Claude Lobry , Hervé Elmoznino
Mots-clés : forêt
Le modèle le plus courant actuellement utilisé est le modèle de Usher (modèle du type Leslie) qui n'est pas un modèle spatialisé. Nous nous posons la question de savoir à partir de quelle dimension spatiale (hectare, km2 ...) s'il en existe une, un tel modèle est pertinent. Pour le moment, sur les modèles déterministes que nous testons, il semble que la réponse soit non, mais il pourrait en être autrement avec des modèles stochastiques représentant des évènements aléatoires comme la chute d'un arbre. Un article est en cours de rédaction.
Parallèlement à ces travaux théoriques nous travaillons avec B. Riéra (Muséum National d'Histoire Naturelle/ CNRS) sur l'analyse de données de la forêt Guyanaise. H. Elmoznino a appliqué un test de Ripley à ces données et montré que la structure ne pouvait être considérée comme purement aléatoire (pour utiliser au mieux des données relativement peu nombreuses le programme a été conçu de manière à fonctionner sur un terrain de forme arbitraire).
Participants : Jean-Luc Gouzé , Claude Lobry , Hervé
Elmoznino
Mots-clés : modélisation en biologie, système
dynamique
J.L. Gouzé a démontré deux conjectures de René Thomas (Lab. de génétique, Bruxelles) [Tho81]concernant la stabilité qualitative de systèmes dynamiques biologiques. On part d'un système dynamique qui a une matrice jacobienne (matrice des dérivées partielles) de signe fixé. On considère le graphe de cette matrice ; on prouve alors que l'existence d'un cycle positif dans ce graphe est nécessaire pour l'existence de plusieurs états stationnaires. Ce résultat a un lien avec l'apparition de différenciation dans les cellules, et les mécanismes de régulation de l'expression des gènes.
La seconde conjecture dit que l'existence d'un cycle négatif non-orienté de longueur au moins deux est nécessaire à un comportement «compliqué» ; sinon, presque toutes les trajectoires convergent vers un équilibre. Par exemple, on exclut les solutions périodiques qui apparaissent dans les réseaux métaboliques (glycolyse par exemple). L'article est à paraître dans Journal of Biological Systems.
Nous avons prouvé un résultat concernant la stabilité de systèmes compartimentaux ouverts (un réacteur en flux continu par exemple) ; ce résultat affaiblit les hypothèses classiques de monotonie de certaines fonctions en hypothèses de positivité [15]. On peut ensuite étendre l'étude au cas d'un système non autonome (qui dépend du temps).
Nous avons travaillé, avec Joydev Chattopadhyay à des modèles de dynamique de populations couplés à de l'épidémiologie.
C. Lobry et H. Elmoznino ont étudié des problèmes théoriques concernant les automates cellulaires. Ceux-ci engendrent des formes qui ressemblent plus à des tapis mayas qu'aux formes «rondes» souvent observées dans la nature. Comment «faire des ronds» à partir d'un quadrillage du plan ? en introduisant le hasard. En effet une marche aléatoire sur une grille de taille infinitésimale (tendant vers zéro) a pour loi la loi du mouvement brownien issu d'un point, c'est à dire une loi ayant pour densité une gaussienne admettant une symétrie de révolution. Ainsi nous avons testé la «distance des ponts coupés» (qui consiste à tirer au sort une proportion de côtés du maillage et à les supprimer) : à une certaine échelle, pour une proportion de l'ordre de 1/3 de ponts coupés, les expériences montrent des «boules» (au sens de la distance) à peu près rondes. Dans le même ordre d'idées si nous regardons se propager le support de la solution numérique du laplacien (équation de la diffusion donc associée au mouvement brownien) pour une discrétisation sur une grille du plan, à partir d'un «Dirac» à l'origine on observe un losange qui grossit. Il n'en est plus de même si on suppose l'existence d'un «quantum» de diffusion (pour qu'il y ait transport entre deux cellules il faut que la différence soit supérieure à un seuil) : on observe d'abord un losange qui devient de plus en plus rond, reste rond un certain temps, puis redevient un losange. Nous savons «expliquer» ces phénomènes sans pouvoir pour le moment en fournir une véritable théorie mathématique.
C. Lobry (en collaboration avec S. Touhami et T. Sari, de Strasbourg, deux articles soumis) a étudié des systèmes à rétroaction lente ou rapide (feedback et observateurs grand gain dans la terminologie de l'automatique) dans le contexte des applications à la biologie.
Participante : Odile Pourtallier
Mots-clés : théorie des jeux
Ce travail est fait en collaboration avec Alain Haurie, de
l'université de Genève. Le calcul numérique des solutions d'un
jeu à deux joueurs et à somme nulle a été largement étudié et,
sous certaines hypothèses, la convergence des algorithmes a été
prouvée. Dans le cas linéaire quadratique, le problème est
entièrement résolu. Il n'en va pas de même pour les jeux à somme
non nulle. Cela est en particulier dû à la perte de tout
caractère de monotonie dans les algorithmes. La recherche
d'algorithmes, et surtout de conditions et de preuves de
convergence a dans le passé été l'objet de nombreuses tentatives,
et à ce jour il n'existe pas de tels résultats. L'enjeu de ce
problème est néanmoins important, et en particulier en économie.
En effet, les modèles économiques s'attachent souvent des
situations équilibres entre un certains nombres d'agents qui ont
en général des intérêts différents mais non opposés (ce qui
impliquerait l'utilisation de jeux à somme nulle), et conduisent
donc à utiliser des modèles de jeux à somme non nulle. Des
modèles de jeux à somme nulle peuvent néanmoins être utilisés
pour calculer des solutions dans les cas les plus défavorables,
mais cela est bien souvent insuffisant. Depuis quelques temps la
nécessité d'introduire une dynamique dans les modèles s'est faite
plus pressante, justifiant la nécessité de se repencher sur les
solutions numériques pour des jeux non coopératifs à somme non
nulle.
L'idée de départ de ce travail repose sur un papier de Rosen paru en 1965 dans le journal econometrica. Dans ce papier Rosen prouve l'unicité des équilibres de Nash pour un jeu statique en utilisant une propriété de convexité (ou concavité) strictement diagonale (SDC). L'utilisation de cette propriété dans le cas de jeux dynamiques à somme non nulle dans le cas où les agents utilisent des contrôles en boucle ouverts avait conduit à des résultats encourageants.
Nous nous sommes intéressés au cas des contrôles en boucle fermée. Dans le cas le plus simple d'un jeu en temps discret et à deux étapes nous avons montré que la propriété de SDC des fonctions coût instantané conduisait à l'unicité des équilibres. Néanmoins nous n'avons pu trouver les conditions sous lesquelles cette propriété se propage au cours du temps pour donner l'unicité des équilibres pour les jeux avec un plus grand nombre d'étapes.
Dans le cas du temps continu, nous nous sommes intéressés à des jeux linéaires quadratiques avec une dynamique séparée c'est-à-dire le cas ou chacun des agents n'influe que sur son état. Le couplage entre les agents se faisant au travers de la fonction d'évaluation. Là encore nous n'avons pu prouver la convergence des algorithmes, mais les essais numériques effectués semblent confirmer l'importance de la SDC.
Ce travail est présenté dans [17].
Participante : Odile Pourtallier
Mots-clés : théorie des jeux
Les méthodes numériques décrites dans les paragraphes précédents s'attachent au calcul numérique des fonctions Valeur des jeux. Néanmoins, d'un point de vue pratique, plutôt que de savoir la valeur de la fonction d'évaluation à l'équilibre, les agents ont besoin de connaître les contrôles qu'ils doivent appliquer pour parvenir à cet équilibre. Les travaux décrits précédemment ne répondent pas à cette question. Pour le cas des jeux à somme nulle des résultats concernant les stratégies avaient été obtenus et appliqués aux jeux stochastiques [TA96] [12]. Le théorème d'approximation a été généralisé pour les jeux à somme non nulle.
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