Résultats nouveaux

Calcul des séquents, réseaux de démonstration et d'interaction

Philippe de Groote a montré qu'il était possible d'assurer la correction d'une structure de démonstration intuitionniste multiplicative en la décorant avec les éléments d'un monoïde commutatif libre [12]. Un des avantages de ce nouveau critère est qu'il s'adapte facilement aux cas (partiellement) non commutatif, ou non associatif : il suffit de remplacer le monoïde commutatif par une structure librement engendrée, modulo les lois structurelles auxquelles obéit le calcul considéré.

S'inspirant de ce travail (lui-même inspiré de ses propre travaux sur la logique linéaire intuitionniste), François Lamarche a mis au point un autre critère assez similaire, qui s'applique d'abord et avant tout au fragment implicatif du calcul de Lambek. Son avantage est de pouvoir être utilisable si le réseau en question est incomplet, en d'autre termes étant donné un ensemble partiel de liens axiomes, on obtient un objet pour lequel il existe une notion de compatibilité avec d'autres objets du même genre. On a donc ici une théorie des modules et interfaces pour le calcul de Lambek, dans la lignée des travaux de Girard[Gir86] et de Denis Béchet.[Bec96] Les monoïdes employés se rapprochent un peu des groupes, ayant des inverses à gauche et à droite. La présence de simplifications dans ces monoïdes rend donc certains modules plus désirables que d'autres, étant donné que leur interface peut être très simple par rapport au nombre de liens axiomes qu'ils comportent. Ceci fait entrevoir de nouvelles perspectives sur la recherche de démonstrations dans le calcul de Lambek, dont la complexité reste un problème ouvert célèbre. Ce travail sera presenté au workshop Problems and Advances in the Semantics of Linear Logic, Utrecht, novembre 97.

Christian Retoré et Philippe de Groote ont montré, en utilisant la planarité des réseaux non-commutatifs, l'existence de formules démontrables dans le fragment multiplicatif de la logique linéaire, dont aucun équivalent modulo l'associativité et la commutativité des connecteurs n'est démontrable dans les calcul d'Abrusci-Lambek. La rédaction de ce travail est en cours.

Christian Retoré, depuis sa thèse,[Ret93] travaille sur un programme d'extension de la logique linéaire usuelle par un connecteur non-commutatif et autodual, le précède. On dispose pour ce calcul d'une théorie des réseaux, et d'une sémantique dénotationnelle naturelle en termes d'espaces cohérents, préservée par l'éliminations des coupures qui est un système de réécriture fortement normalisant et confluent [20].

Ce connecteur possède diverses interprétations en terme de parallélisme[Asp91,Gug94] liées à la composition séquentielle. Il est aussi utilisé dans des grammaires catégorielles (voir plus bas). Bien qu'il existe un calcul des séquents qui décrive inductivement tous les exemples de réseaux connus de ce calcul, on est encore incapable de montrer qu'il les décrit effectivement tous.

Pour résoudre la question sus-mentionnée et, plus généralement, pour étudier les réseaux dans le cadre de la théorie habituelle des graphes, Christian Retoré a développé deux descriptions des réseaux en tant que graphes munis d'un couplage parfait, avec chacune leur critère de correction. Dans la seconde de ces descriptions, on ne garde de la structure syntaxique de la formule à prouver que le minimum essentiel : les sommets sont les variables propositionnelles et la structure de graphe entre elles est suffisante pour retrouver les connecteurs, modulo associativité et commutativité. Les graphes obtenus ainsi sont d'un type particulier, << série parallèle >>, dont l'étude a déjà quelques décennies d'histoire. Les réseaux sont ceux pour lesquels tout cycle élémentaire alternant contient une certaine configuration.[Ret96]

Parmis les résultats de cette année qui s'inscrivent dans ce programme, on a l'amélioration de ce critère en : tout cycle élémentaire alternant contient une corde (dans la version finale du papier précédent, soumis à Theoret. Comp. Sci).

Il y a aussi l'extension de ce second critère au connecteur précède.

L'étude de ces graphes et de leur généralisation au calcul ordonné a aussi amené à caractériser les relations séries parallèles obtenues par composition parallèle, série orientée et série symétrique, et à axiomatiser leur inclusion[9]. Cela répond également à d'autres questions sur les calculs où cohabitent connecteurs commutatifs et non-commutatifs.[dG96]

François Lamarche a mis au point une théorie des réseaux de démonstration pour la logique linéaire non associative. Il s'agit de la version << classique >> (ajout d'une négation involutive) d'un système logique intuitionniste déjá bien connu, le calcul de Lambek non associatif. Ce dernier est à la base de nombreux travaux en linguistique formelle, et en particulier il forme le squelette de certains analyseurs syntaxiques en opération. Comme on est tenu de s'y attendre de par l'expérience de la logique linéaire, le passage d'un système intuitionniste à un système classique fait voir des symétries qui n'apparaissaient pas auparavant, symétries dont on peut profiter même si on s'en tient au niveau intuitionniste. Tout dans ce travail est bien dans la tradition des réseaux de démonstration : présentation au moyen de graphes, critère de correction, et un << splitting lemma >> particulièrement simple dans ce contexte très contraint. La théorie se prête aisément à l'addition de nouveaux connecteurs non associatifs, comme des modalités. Une direction de recherche à poursuivre est la mise au point d'algorithmes de construction de réseaux : une caractéristique intéressante de la logique linéaire non associative est que le problème de décision est polynomial.

Ce travail a été présenté au Fourth Roma workshop on dynamic perspectives in logic and linguistics, et est en cours de rédaction.

Jean-Yves Marion a étudié la décidabilité dans les treillis non-distributifs [17]. Le fragment additif de la logique linéaire est un calcul pour les treillis non-distributifs. Le calcul additif intervient dans des situations variées comme la modélisation de certains phénomènes linguistiques, ou des systèmes non-déterministes. Il a proposé un calcul des séquents à hypothèses et conclusions multiples. L'élimination des coupures a été démontrée pour ce calcul (il peut être étendu pour incorporer le fragment multiplicatif). Malgré la simplicité de ces systèmes, la recherche d'une preuve sans coupure dans le calcul des séquents demandent un nombre exponentiel d'étapes. Cependant, en utilisant des coupures analytiques, une procédure de décision, en temps polynomial, a été construite.

Logique linéaire et parallélisme

L'étude de l'application de la logique linéaire au parallélisme s'est poursuivie cette année sur la base de la recherche de démonstrations comme paradigme de calcul.

Alessio Guglielmi a étudié une sémantique opérationnelle pour les démonstrations en logique linéaire du premier ordre. Cette sémantique est basée sur le concept de Structure d'Evénements Etiquetée (SEE), bien connu dans le domaine de la théorie de la concurrence.[SNWs96] Elle résulte d'une analyse syntaxique des démonstrations dans le cadre du calcul des séquents de la logique linéaire, qui conduit à les considérer à un certain niveau d'abstraction: le niveau state-sequent/backchain(SSB). A ce niveau, il n'existe qu'une régle d'inférence, le chaînage arrière dont l'application produit des démonstrations qui sont vues comme exprimant l'évolution de systèmes concurrents, les séquents présents dans ces démonstrations exprimant les différents états de ces systèmes.

Ce travail vient approfondir et clarifier un certain nombre de résultats qui étaient déjà présents dans la thèse de doctorat d'Alessio Guglielmi[Gug96] et a donné lieu de sa part à deux applications : 1) la définition d'un langage pour la planification qui est basé sur l'équivalence entre plans et démonstrations en logique linéaire et qui s'inspire de la thèse de doctorat de Paola Bruscoli[Bru97] ; 2) l'introduction dans un langage de programmation logique concurrente d'une forme limitée mais puissante de séquentialité dans la syntaxe.

Dans ces deux études, la sémantique SEE est utilisée comme un moyen très naturel de lier la logique linéaire à des domaines d'applications où la causalité, l'indépendance et la séquentialité des événements sont cruciaux.

Guy Perrier a poursuivi l'élaboration d'un modèle de calcul concurrent fondé sur la construction de réseaux de démonstrations dans un fragment de la logique linéaire intuitionniste.[Per96] Dans ce modèle, les formules logiques sont considérées comme des processus. La concurrence entre processus se traduit par la construction en parallèle des différentes branches d'un réseau tandis que la communication entre processus s'exprime de façon asynchrone par des liens axiomes entre ces branches.

Logique linéaire et grammaires formelles

Nos recherches concernant les rapport entre logique linéaire grammaires formelles ont pour objectif la construction d'un nouveau modèle linguistique catégoriel. Au cours d'une première phase expérimentale, plusieurs membres du projet ont proposé des ébauches de modèles linguistiques basés sur la logique linéaire.

Alain Lecomte et Christian Retoré ont poursuivi le développement du modèle qu'ils avaient proposé en 1995.[LR95] Ce modèle, enrichi par des étiquettes calculables qui décrivant l'ordre des constituants, est maintenant développé dans le fragment intuitionniste du calcul ordonné, c'est-à-dire que les réseaux considérés ont une forme bien spécifique, comportant au plus une conclusion. La communication [15] décrit plus formellement le type de grammaires considérées et fait le lien avec les Tree Adjoining Grammars. Dans [14], ce formalisme est appliqué à la description d'un phénomène linguistique particulièrement délicat : les clitiques du français.

Guy Perrier [19] a également proposé un modèle pour la syntaxe et la sémantique des langues qui prend pour cadre la logique linéaire intuitionniste. L'idée est d'utiliser la sensibilité aux ressources de la logique linéaire pour représenter de façon uniforme sous forme d'un réseau de démonstration les dépendances entre constituants syntaxiques d'une phrase, qu'elles soient lointaines ou locales. Un double étiquetage du réseau, allant des des entrées vers l'unique sortie, permet d'ajouter sous une forme particulièrement souple l'information linguistique nécessaire pour produire simultanément la forme phonétique et une représentation sémantique de la phrase à partir d'un lexique. Cette proposition rejoint les travaux d'Alain Lecomte et de Christian Retoré[LR95] ainsi que ceux de Glyn Morrill et de Josep Merenciano[MM96] en ce sens qu'elle fait des réseaux de démonstration la base de la structure syntaxique des phrases mais elle diffère dans le traitement de l'ordre des mots. Alors que les premiers utilisent le l'opérateur << précède >> du calcul ordonné ou la non commutatitivité du calcul de Lambek pour exprimer cet ordre à un niveau logique, la proposition de Guy Perrier renvoie le traitement au niveau des étiquettes qui offre la souplesse nécessaire à la prise en compte de la complexité et de la malléabilité de la grammaire d'une langue.

Depuis septembre 1997, un groupe de travail dédié exclusivement à la construction du modèle linguistique se réunit chaque semaine. Son but est de faire converger les différentes propositions développées jusqu'à présent.

Des recherches concernant les aspects plus formels des grammaires catégorielles ont également été poursuivies. Christian Retoré a motré précisément, dans un article de synthèse sur Logique linéaire et calcul de Lambek [7], comment ce dernier apparaît, via la notion de réseau de démonstration, comme un sous calcul de la logique linéaire. Philippe de Groote a étudié le pouvoir d'expression du fragment implicatif du calcul de Lambek enrichi d'une exponentielle permettant l'échange, l'affaiblissement et la contraction [13]. Il a montré que les grammaires catégorielles résultantes était complète au sens de Turing et correspondaient, de ce fait, aux grammaires de type dans la hiérarchie de Chomsky.

Lambda calculs typés, sémantique, complexité

Catherine Pilière, dans le cadre de son travail de thèse, étudie les rapports entre logique classique et opérateurs de traitement d'exceptions à la ML. Elle développe un formalisme introduit par Philippe de Groote.[dG95] Au cours du dernier trimestre de l'année 1997, elle s'est particulièrement attachée à l'étude de la confluence des règles permettant de réduire une démonstration classique à sa forme normale.

Récemment, Yves Lafont et Andre Scedrov ont montré que le noyau multiplicatif de la logique linéaire du second ordre est indécidable. Guy Perrier [18] a mis en évidence un fragment décidable de cette logique en généralisant un résultat de Martin Emms.[Emm93] La source de l'indécidabilité de la logique linéaire du second ordre réside dans les quantificateurs existentiels du second ordre. En restreignant la syntaxe des formules sur lesquelles ils portent, il devient possible d'appliquer une stratégie de démonstration en chaînage arrière qui permet de décider de la démontrabilité d'une formule logique. Le principe consiste a retarder l'instantiation des variables quantifiées existentiellement jusqu'à ce qu'elle puisse être effectuée de façon canonique.

Sophie Malecki a donné une analyse de ce même fragment décidable de M. Emms au moyen de connecteurs généralisés de la logique linéaire de Danos-Regnier. Ceci lui permet d'obtenir un fragment décidable plus étendu et une nouvelle démonstration de la décidabilité.

Dans [16] et [6], Jean-Yves Marion a continué son étude sur le rapport entre les classes de complexité algorithmique et des classes de fonctions dites prédicatives. La notion dégagée de prédicativité peut se simplifier ainsi : lorsque une fonction est définie par récurrence sur un argument, alors le niveau de cet argument, disons p, doit être strictement supérieur au niveau q du résultat de la fonction, i.e. q<p .De façon imagée, nous pourrions dire qu'un résultat obtenu par récurrence a un coût, et que ce prix à payer est la différence p - q. L'intérêt de cette approche est d'obtenir un modèle des classes de complexité qui ne dépend pas de bornes intrinsèques au modèle, comme c'est le cas dans les approches modèles finis, ou à la Cobham. Le principal résulat est une caractérisation de la classe des fonctions calculables en espace polynomial par des fonctionnelles définies sur trois niveaux.

François Lamarche a présenté au Festschrift en l'honneur de Michael Barr un travail où il montre le rapport entre les << espaces de Chu >> (inventés par Barr) et la sémantique dénotationnelle de Scott-Plotkin. L'emploi d'une condition supplémentaire sur les espaces de Chu, où entre en jeu la préservation << interne >> des sups filtrants, permet de relier directement la structure topologique ordinaire des domaines de Scott et la construction de la modalité << of course >> de la logique linéaire sur un espace de Chu en tant que comonoïde colibre sur le tenseur.

Tout réseau multiplicatif (correct) sur un sequent donné peut s'interpréter en tant que clique d'un espace cohérent construit au moyen des opérations de base et de l'assignation d'un espace cohérent élémentaire aux variables atomiques.[Gir87] Christian Retoré a montré que la réciproque est vraie, c'est-à-dire que lorsque un préréseau a toujours pour interprétation une clique alors il est correct; de plus il suffit de considerer une unique assignation où toute formule atomique est interprétée par le même espace cohérent fini [8].

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