Projet Caiman
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scientifique, modélisation Suivant : Actions
industrielles
Participant : Armel de La Bourdonnaye
Mots-clés : méthode de décomposition de domaine, problème
de Helmholtz, méthode hybride, méthode de Krylov,
préconditionnement, grille grossière
Ce travail est le fruit d'une collaboration entre l'Onera,
l'université du Colorado à Boulder et l'Inria. Dans un premier
temps, nous indiquons pourquoi les méthodes de décomposition de
domaine usuelles, qui sont efficaces dans le cas de problèmes
elliptiques, rencontrent certaines difficultés pour les problèmes
d'acoustique. Puis, nous développons une méthode mieux adaptée,
que nous présentons dans un formalisme faisant intervenir un,
puis deux multiplicateurs de Lagrange, de manière à résoudre le
problème condensé sur l'interface par une méthode de Krylov.
Diverses techniques de préconditionnement, basées sur une analyse
spectrale de la méthode, sont ensuite proposées afin d'accroître
la vitesse de convergence.
Participants : Armel de La Bourdonnaye, Marc Tolentino
Mots-clés : propagation d'ondes, équation de Helmholtz,
discrétisation, complexité, conditionnement
La méthode de discrétisation microlocale vise à diminuer le
remplissage des matrices issues de la résolution d'équations
intégrales modélisant un problème de diffraction. On utilise pour
cela des fonctions de base adaptées à l'asymptotique haute
fréquence des ondes. Lorsque l'on souhaite augmenter la fréquence
du problème, le système linéaire devient très mal conditionné. On
a proposé une méthode à base d'ondelettes pour améliorer le
conditionnement et on est ainsi capable de traiter des problèmes
à haute fréquence, y compris pour des objets non convexes.
Participants : Armel de La Bourdonnaye, Cédric Dourthe ,
Christian Pichot
Mots-clés : système de Maxwell, tomographie du sous-sol,
problème inverse
Nous nous sommes plus particulièrement intéressés à la recherche
de méthodes et au développement d'algorithmes de reconstruction
quantitative des profils de permittivité et de conductivité
d'objets enterrés dans le proche sous-sol. Nous avons ainsi
développé une méthode de type Bigradient Conjugué pour résoudre
le problème inverse électromagnétique. Cette méthode,
principalement basée sur la théorie de l'optimisation
non-linéaire, a été ensuite implémentée puis testée à l'aide de
simulations. Afin d'améliorer les résultats obtenus, une
procédure de régularisation avec préservation des discontinuités
de l'objet a été introduite au sein du processus d'imagerie.
Participants : Armel de La Bourdonnaye, Stéphanie Lala
Mots-clés : système de Maxwell, géométrie différentielle,
élément fini
Nous avons développé une méthode de simulation temporelle des
équations de Maxwell, en trois dimensions d'espace, conservant
exactement les lois de divergence. Cette méthode est basée sur la
géométrie différentielle, les variables sont considérées comme
des formes différentielles et sont discrétisées par la méthode
des éléments finis de Whitney. La matrice de masse alors
nécessaire est inversée de manière itérative.
Nous avons implémenté les conditions aux limites métalliques ;
le maximum de la valeur absolue de la divergence de l'induction
magnétique est ici de l'ordre de la précision machine, on a donc
exactement 
.Nous avons implémenté la
possibilité d'introduire une source de courant, et lors d'une
telle introduction, on obtient bien 
.
Nous avons aussi adapté cette simulation à un milieu
hétérogène et nous l'avons validée pour un mode de cavité.
L'implémentation des conditions aux limites absorbantes est en
cours.
Participants : Armel de La Bourdonnaye, François Séverin ,
Anne Nouri
Mots-clés : décharge sous vide, dérive-diffusion
Nous nous sommes intéressés au phénomène de propagation de la
décharge électrique. Nous avons choisi une approche fluide plutôt
qu'une approche cinétique. L'avancée de la décharge est modélisée
par un couplage entre deux équations de dérive-diffusion :
l'équation de Poisson et le système d'Euler isotherme. Dans un
premier temps, nous avons montré l'existence de la solution. Dans
un deuxième temps, nous avons réalisé un solveur numérique.
Participants : Frédéric Bonnet , Jean-Pierre Cioni , Loula
Fezoui , Frédéric Poupaud , Robert Rivière
Mots-clés : électromagnétisme, système de Maxwell, volume
fini, maillage multi-élément conforme, matériau fictif absorbant
PML
Dans le but d'augmenter l'efficacité des simulations en domaine
temporel, nous étudions les formulations de type volumes finis en
maillage multi-éléments conformes (triangle-rectangle en deux
dimensions). Dans des calculs de diffraction d'ondes sur des
objets, le maillage hybride est de type triangulaire près de
l'objet diffractant et rectangulaire dans le reste du domaine
dans lequel on applique des conditions absorbantes de type
matériau fictif PML. Les résultats obtenus ont montré
l'efficacité de la méthode sur de nombreux cas tests. L'extension
au cas tridimensionnel est envisagée mais reste tributaire de
l'existence de bons mailleurs hybrides.
Participants : Frédéric Bonnet , Mihai Bostan , Loula
Fezoui , Frédéric Poupaud
Mots-clés : équation d'advection, équation équivalente,
stabilité, volume fini, Runge-Kutta, système de Maxwell
Dans la perspective de construire des schémas numériques précis
en temps et en espace pour la résolution de problèmes
hyperboliques, nous étudions une classe de schémas : les
-
schémas. La
discrétisation spatiale repose sur la méthode des volumes finis
tandis que l'intégration en temps est prise en compte via un
schéma explicite multipas (Runge-Kutta). A l'aide d'études sur
les équations équivalentes et sur la stabilité, nous définissons
des critères afin de pouvoir choisir de façon optimale les
paramètres 
et 
.
Participants : Loula Fezoui , Malika Remaki , Frédéric
Poupaud
Mots-clés : électromagnétisme, système de Maxwell, volume
fini, milieu hétérogène
Nous avons développé une méthode de volumes finis où les volumes
de contrôle coïncident avec les éléments de la triangulation.
Nous avons choisi pour l'approximation spatiale un schéma de type
Godunov d'ordre élevé. Ce schéma a la propriété de vérifier les
conditions de transmission entre des milieux d'indices différents
et est donc particulièrement adapté aux milieux hétérogènes
(couches de diélectrique, conducteurs,...).
Cette méthode s'inspire de travaux précédents d'Osher et al.,
mais une nouvelle définition des gradients par éléments nous
permet un allègement sensible du temps de calcul. Nous nous
intéressons également à l'étude mathématique du schéma (stabilité
et précision).
Participants : Mihai Bostan , Loula Fezoui, Frédéric
Poupaud
Mots-clés : système de Vlasov-Poisson, analyse
fonctionnelle, méthode des caractéristiques
La modélisation de dispositifs tels que les tubes à décharge ou
les diodes à vide soumises à un potentiel harmonique repose sur
les équations de Vlasov-Maxwell ou de Vlasov-Poisson en régime
périodique. Ces équations sont relativement bien comprises en ce
qui concerne les problèmes de Cauchy dans l'espace tout entier.
Cependant, la simulation de dispositifs repose sur des problèmes
aux limites. Des résultats dans le cas périodique sont
inexistants. Il paraît donc nécessaire d'en avoir une meilleure
compréhension.
Nous avons démontré l'existence d'une solution périodique pour le
système de Vlasov-Poisson 1D dans un domaine borné, avec des
conditions aux limites périodiques en temps. Le point clé est
d'imposer des conditions d'injection sur la donnée au bord qui
permettent d'obtenir des estimations a priori sur le temps de vie
des particules dans le domaine.
Ce travail a fait l'objet d'une note soumise aux CRAS.
Participants : Serge Piperno , Sophie Depeyre , Loula
Fezoui , Johann Clamen
Mots-clés : analyse numérique, volume fini, schéma TVD,
interpolation MUSCL, limiteur
Les critères pour la construction de limiteurs nouveaux, adaptés
à l'interpolation MUSCL pour 
, que nous
avons proposés, ont été testés en deux dimensions sur les
équations d'Euler en maillage non-structuré. On a cherché à
obtenir des solutions stationnaires aussi précises que possible.
Nous avons pu montrer que la satisfaction effective des critères
proposés peut être déterminante pour l'obtention d'une
convergence rapide et maximale, vers une solution aussi
satisfaisante que possible. Nous avons également recherché à
relier certains problèmes de convergence vers une solution
stationnaire à la forme générale des limiteurs non-linéaires. Il
semble que ces problèmes n'apparaissent pas dans des cas
monodimensionnels stationnaires (avec terme source), et soient
plus particulièrement bidimensionnels.
Participants : Loula Fezoui , Serge Piperno , Mireille
Bossy (OMEGA)
Mots-clés : équation de Burgers, méthode probabiliste,
volume fini
Pour l'équation de Burgers visqueuse, nous avons clos la
comparaison de méthodes numériques efficaces, l'une de type
probabiliste (un nuage de particules représente le gradient de la
solution et sa loi d'évolution est reliée à l'équation de Burgers
visqueuse) et l'autre plus classique qualifiée de déterministe
par opposition (méthode de Godunov avec solveur de Riemann exact
et extension de type MUSCL avec limiteurs). Deux suites
naturelles ont été envisagées pour cette étude : le passage à des
écoulements bidimensionnels et l'étude de méthodes hybrides, où
les particules probabilistes seraient les points de maillage de
la méthode déterministe.
Participants : Serge Piperno , Charbel Farhat (université
du Colorado, Boulder (US))
Mots-clés : algorithme de couplage, interaction
fluide-structure, fluide compressible, maillage dynamique, volume
fini
La mise au point d'algorithmes de couplage pour la simulation
numérique de phénomènes d'interaction entre un fluide
compressible et une structure linéaire dans un cadre ALE
tridimensionnel a été poursuivie. En collaboration avec C.
Farhat, nous avons commencé à étudier l'évaluation quantitative
de schémas de couplage de type décalé. Il s'agit de quantifier,
pour un algorithme donné, l'énergie artificiellement créée à
l'interface fluide/structure à chaque pas de temps. Cette
évaluation permet de comprendre en profondeur le comportement de
tel ou tel algorithme de couplage, de comparer différents
algorithmes et de choisir, voire de construire, l'algorithme
adéquat pour un type de simulation donné. Cependant, cette
méthode d'évaluation, qui donne des résultats très précis en deux
dimensions, semble être un peu approximative en trois dimensions.
Une remise à plat des résultats obtenus séparément dans le projet
et à l'université du Colorado est en cours. D'autre part, des
contacts ont été pris avec la Direction des Structures à l'Onera
pour comparer le savoir-faire de l'Office et de l'Institut sur le
thème de l'aéroélasticité compressible.
Participants : Serge Piperno , Roland Becker , Patrick Le
Tallec (M3N) , Marc Thiriet (M3N) , Marina Vidrascu (Mostra) ,
Dominique Chapelle (Mostra) , Frédéric Hecht (Gamma) , Frédéric
Bourquin (LCPC)
Mots-clés : interaction fluide-structure, fluide
incompressible, maillage dynamique, élément fini, génie civil,
écoulement sanguin
La version en maillage mobile implémentée l'année dernière du
code NSI3 (M3N) de résolution des équations de Navier-Stokes pour
un écoulement incompressible tridimensionnel a été validée
physiquement. Ce code de simulation d'interactions entre un
fluide incompressible et une structure a été testé sur des
profils cylindriques (typiquement de tabliers de pont en génie
civil). Il s'agissait de retrouver numériquement les domaines de
stabilité de plusieurs profils dans un écoulement permanent à
vitesse variable. Ce programme servira de base à la plateforme de
simulation dont la construction commencera en fin d'année, dans
le cadre d'une Action Incitative de la Direction Scientifique.
Des problèmes cibles ont été définis par le groupe de travail
<<fluide/structure>> dans plusieurs domaines
d'applications : nous visons essentiellement les constructions
souples et de grande taille du génie civil d'une part, et les
écoulements sanguins en général d'autre part. Pour ces
applications, les modèles structurels de coques en grands
déplacements ont été développés (projet Mostra).
Participants : Nathalie Glinsky-Olivier , Eric Schall
Mots-clés : combustion, milieu multiphasique, feu de
forêt, volume fini, élément fini, maillage non structuré
Les travaux dans le domaine des feux de forêts, effectués dans le
cadre du contrat européen EFAISTOS, ont été poursuivis. Nous nous
sommes intéressés à la résolution du système d'équations
modélisant la combustion dans un milieu multiphasique. Le modèle
physique, inspiré des travaux de Grishin, qui nous a été fourni
par l'IUSTI (univ. Aix-Marseille) avec qui nous avons travaillé
en étroite collaboration, est formé d'un système d'équations de
conservation pour la phase gazeuse et d'un système pour chaque
phase solide. Les phases solides ont chacune leurs propriétés
permettant la simulation d'un feu dans une litière composée
d'espèces diverses (épines, feuilles, brindilles...).
Le gaz est un mélange de cinq espèces (
,
, 
,
et 
). Chaque phase solide est
caractérisée en tout point de l'espace par son taux de présence
volumique ; la phase gazeuse occupant le volume restant. Les
équations de conservation de la phase gazeuse sont basées sur les
équations de Navier-Stokes (la masse volumique du gaz étant
remplacée par la quantité 
où
est le taux de présence volumique
du gaz) auxquelles on ajoute des équations de conservation pour
les espèces et un terme source agissant sur toutes les variables
du système et modélisant la perte de masse solide due à la
pyrolyse et à la combustion des résidus charbonneux, la
production d'espèces due aux réactions chimiques au sein du gaz,
les termes de trainée ainsi que l'effet de la gravitation.
Pour chaque phase solide, on résout une équation de continuité
ainsi qu'une équation de conservation de l'énergie. Les phases
solides étant au repos, ces équations ne contiennent qu'un terme
de dérivée temporelle et un terme source. On résout donc un
système de conservation du mélange gazeux ainsi qu'un système
pour chaque phase solide, ces systèmes étant couplés par les
termes source dépendant de toutes les variables.
Pour la phase gazeuse, on utilise une discrétisation spatiale
de type mixte Volumes Finis/Eléments Finis P1 décentrés
applicable à des maillages triangulaires non structurés. Les flux
convectifs sont approchés par un solveur de Roe étendu au cas
d'un mélange gazeux réactif. Une première version du modèle est
en cours d'implémentation.
Participant : Nathalie Glinsky-Olivier
Mots-clés : écoulement atmosphérique, modèle diagnostic,
modèle linéaire, Alpes-Maritimes
Nous avons repris les travaux dans le domaine des écoulements
atmosphériques pour participer au 10ème Colloque de l'Association
Internationale de Climatologie. Nous avons comparé les
performances (précision et efficacité) de deux modèles et étudié
les solutions de champ de vent pour des situations bien choisies
sur les Alpes-Maritimes ; le premier est un modèle diagnostic qui
utilise les données aux capteurs (21 dans les Alpes-Maritimes)
pour reconstruire un champ de vent sur tout le domaine et le
second est un modèle linéarisé qui étudie les perturbations dues
au relief d'un écoulement standard solution des équations de
Reynolds. On a également étudié l'effet du pas d'espace du
maillage en réalisant des calculs sur des sous-domaines utilisant
une maille plus fine.
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