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Il résulte de ces activités transversales que les domaines d'application sont potentiellement très nombreux. Pour n'en citer que quelques-uns, les problèmes d'environnement, de transport, d'astrophysique, de chimie, nécessitent in fine des algorithmes numériques étudiés dans le projet.
Le projet Aladin a choisi de se consacrer à trois axes de recherche :
En effet, ces trois types de résolution sont au coeur de la plupart des logiciels faisant du calcul numérique.
Les critères de qualité d'un algorithme sont sa fiabilité et sa vitesse d'exécution. C'est pourquoi le projet Aladin développe deux axes de recherche orthogonaux aux précédents :
La vitesse d'exécution d'un algorithme numérique se caractérise principalement par sa complexité mesurée en nombre d'opérations flottantes, sa vitesse de convergence s'il est itératif, son taux de parallélisme. Le calcul parallèle apporte au projet une motivation pour la recherche de nouveaux algorithmes. La mise en oeuvre effective sur des architectures parallèles permet de valider les algorithmes développés.
La fiabilité d'un algorithme numérique se traduit par la précision de l'approximation (discrétisation par exemple), mesurée souvent par l'ordre de la méthode, la stabilité du schéma de résolution, la sensibilité par rapport aux erreurs d'arrondi. Enfin la qualité numérique d'un résultat dépend intrinsèquement du conditionnement du problème à résoudre. La recherche d'algorithmes robustes et fiables est une motivation complémentaire et non exclusive de la recherche d'algorithmes performants et parallèles.
La dynamique d'un système est en général modélisée par des équations différentielles, éventuellement couplées avec des équations algébriques. Le projet s'attache à définir de nouveaux schémas d'intégration qui combinent au mieux de bonnes propriétés d'ordre, de stabilité et de parallélisme. La recherche porte aussi sur des schémas numériques permettant de résoudre efficacement et avec une bonne précision des équations différentielles algébriques. Enfin un troisième sujet d'étude concerne la résolution numérique des systèmes hamiltoniens qui modélisent par exemple des problèmes issus de la mécanique céleste ou de la dynamique moléculaire.
La résolution numérique d'équations différentielles implique à chaque pas de temps la résolution d'un système d'équations linéaires ou non linéaires. Ces systèmes d'équations se retrouvent également dans la résolution numérique d'équations aux dérivées partielles, dans le traitement d'images, etc. Pour les systèmes linéaires, la recherche du projet porte sur la conception d'algorithmes itératifs adaptés aux systèmes de très grande taille définis par des matrices creuses. Les méthodes sont ensuite étendues à la résolution de problèmes non linéaires par résolution successive de systèmes linéaires. Les espaces de Krylov sont un des outils privilégiés pour concevoir ces algorithmes itératifs. Un de leurs avantages est de n'exiger aucune transformation de la matrice.
De même, la résolution de problèmes aux valeurs propres peut être issue, par exemple, d'une discrétisation d'équations aux dérivées partielles. Là encore, les espaces de Krylov sont un outil de choix pour la conception des algorithmes. Un autre sujet de recherche important a trait à la stabilité des systèmes dynamiques. Dans ce cas, il faut localiser de manière sûre les valeurs propres de la matrice associée. Le projet définit des procédures permettant de contrôler cette localisation dans une région donnée du plan complexe.
Les algorithmes développés pour les trois axes décrits ci-dessus sont pour la plupart parallèles. Le projet les valide sur des architectures parallèles et les utilise dans diverses applications pour démontrer leur efficacité. Le projet vérifie également la robustesse des algorithmes et les limites de résistance aux accidents numériques.
Enfin le projet développe une nouvelle et productive approche pour fournir un encadrement garanti des résultats. Les travaux portent pour l'instant sur la résolution de systèmes linéaires et de problèmes aux valeurs propres.
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