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Algorithmes stochastiques

  Participants : Gilles Celeux, Jean Diebolt

Nous avons poursuivi notre participation au groupe national MC.Cube, co-animé avec Dominique Cellier (université de Rouen) et C. Robert (CREST-ENSAE, Malakoff), sur le contrôle de la convergence vers la stationnarité des algorithmes stochastiques de type MCMC (Monte Carlo Markov Chains ). Ce groupe s'est orienté vers l'étude approfondie du contrôle de la convergence de chaî nes à espace d'états finis, ainsi qu'aux méthodes de couplage et de couplage arrière.

En collaboration avec Didier Chauveau (université de Marne-la-Vallée), nous avons entrepris de définir et d'expérimenter une procédure de contrôle utilisant des chaînes simulées en parallèle, afin de déterminer au moyen d'approximations empiriques un nombre minimal d'itérations au-delà duquel l'utilisation du théorème de la limite centrale puisse être considérée comme justifiée, en vue de construire des intervalles de confiance pour les résultats fournis par l'algorithme. Ce travail s'insère dans un projet de rédaction collectif de Lecture Notes regroupant les avancées du groupe MC.Cube.

Nous avions mis en évidence que la loi stationnaire des algorithmes stochastiques pour l'identification de mélanges de lois à k composants, présentaient k! modes interchangeables, l'apparition de ces k! modes étant due à l'indexation arbitraire des composants. Pratiquement cela peut rendre délicate l'exploitation des lois stationnaires des algorithmes stochastiques pour des mélanges imbriqués et pour lesquels l'information a priori est faible. Nous avons montré que les tentatives de résolution de ce problème d'identification par l'instauration de contraintes sur les paramètres du mélange sont décevantes. Elles induisent un fort biais causé par les accumulations artificielles de la loi stationnaire au bord des régions où les paramètres sont contraints de rester. À l'heure actuelle, nous cherchons des moyens d'éviter les renversements d'indiçage (label switching ) sans construire une loi stationnaire déformée [14]. Ce travail se fait en liaison avec C. Posse (université du Minnesota). De plus, avec M. Bacha, nous explorons la capacité de l'algorithme BRM à éviter ces renversements d'indiçage.

Enfin, lors d'une visite à l'université de Washington (Seattle), G. Celeux a entrepris avec C. Posse et Guido Consonni (université de Pavie) une recherche sur l'extension au cadre bayésien hiérarchique de nos travaux sur l'analyse de mélanges gaussiens utilisant la décomposition spectrale des matrices variances des composants. L'intérêt de l'approche bayésienne hiérarchique réside dans un assouplissement des hypothèses faites sur les constituants géométriques (forme, volume et orientation) des classes. L'identification des modèles construits se fait par l'échantillonnage de Gibbs.



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