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Déduction avec contraintes dans les graphes SOUR

Participants : Claude Kirchner, Christopher Lynch, Pauline Strogova

La résolution et la paramodulation sont des méthodes de preuves en logique du premier ordre dont l'inconvénient est de s'exécuter en temps exponentiel pour des sous classes de théories admettant par ailleurs des procédures de décision polynomiales. C'est par exemple le cas de la SLD résolution et de la procédure de complétion de Knuth et Bendix lorsque les axiomes sont clos (sans variable). En utilisant les contraintes pour mémoriser certains calculs, nous avons donné dans [34] une forme de paramodulation qui ne copie pas les littéraux et qui s'exécute en temps polynomial dans le cas clos pour les quatres cas suivants: les clauses de Horn avec n'importe quelle règle de sélection, la complétion de systèmes de réécriture, les clauses de Horn équationnelles mais avec une règle de sélection donnée et enfin la surréduction conditionnelle.

Afin d'implanter l'idée précédente, nous avons introduit une structure de données particulière qui permet de représenter au niveau objet toutes les opérations nécessaires de passage au Sous terme, d' Orientation, d' Unification et de Réécriture. Contrairement aux structures existantes jusqu'alors, le symbole de réécriture est accessible directement au niveau objet, ce qui permet d'implanter naturellement et directement les règles de déduction avec contraintes. Cette structure de graphe étiqueté appelée SOUR permet de représenter tout système de réécriture avec un partage maximal de la structure des termes. Les termes sont représentés par des graphes acycliques dont les arcs sont étiquetés par des contraintes équationnelles et des fonctions de renommage. Les arcs de réécriture représentent la transition membre gauche -- membre droit de la règle de réécriture correspondante et les arcs d'unification représentent les paires unifiables. Sur cette structure, les paires critiques et les simplifications sont reconnues par filtrage de configurations particulières et les transitions décrites par les inférences de déduction sont implantées par des transformations locales du graphe SOUR. Cette structure permet en particulier de ne pas dupliquer la structure des termes lors des inférences, ce qui provoque habituellement un comportement exponentiel des procédures standards. Cette approche a été implantée dans le cas de la complétion close et donne des premiers résultats excellents se comparant très favorablement à des prouveurs comme Otter. L'ensemble de l'approche est décrite dans [46].

Cette approche conduit également à une procédure de complétion dirigée par le but qui permet, lorsqu'elle termine, de décider si une équation est conséquence d'un ensemble d'axiomes équationnels. Pour cela il suffit dans un premier temps de compiler, en temps polynomial, les contraintes du graphe SOUR issu du système de réécriture et de la contrainte équationnelle considérés, sans résoudre les contraintes engendrées. Dans un deuxième temps on résoud ces contraintes, ou bien on s'en sert pour guider la complétion [33].

Par ailleurs les principes qui ont guidé la création des graphes SOUR sont en cours de spécialisation pour la conception de graphes adaptés à la complétion de systèmes de réécriture représentant des groupes finis. L'objectif étant alors de donner une aide au routage dans les réseaux en utilisant les techniques de réécriture.

Enfin les graphes SOUR sont, du fait de la localité des transformations effectués à la base d'une nouvelle approche de la complétion concurrente présentée dans la section suivante.


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