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Les logiques et

Le développement des logiques et dans [26] a pour but principal de donner un cadre formel simple, basé sur la théorie des ensembles, qui admet un typage expressif, des fonctions d'ordre supérieur et des modèles initiaux. La logique est une logique de clauses de Horn avec une relation d'appartenance . Le paramètre n, qui est un nombre naturel , donne une borne sur la profondeur d'imbrication pour les ensembles utilisés dans les interprétations. Par analogie avec Whitehead et Russell ( Principia Mathematica), nous affectons des ordres aux variables et termes, de telle sorte qu'un terme d'ordre 0 soit interprété comme valeur individuelle, et un terme d'ordre 1 ou plus grand soit un ensemble. De plus, les formules sont stratifiées, afin d'éviter le paradoxe de Russell. La différence avec la théorie des types de Russell est la prise en compte de modèles non-standards, i.e. qui ne sont pas engendrés par des termes. Ceci nécessite des fonctions de choix, déterministes dans notre approche, et un axiome d'extensionalité non-standard.

Les présentations en logique ou ont une signature et des axiomes sous forme de clauses de Horn, incluant des formules d'appartenance conditionnelles et des égalités conditionnelles, qui permettent de traiter des types paramétrés et dépendants. Nous avons proposé des systèmes de déduction corrects et complets pour les logiques et et montré que toute présentation ou possède un modèle minimal dans la catégorie des modèles associée [26].

Les techniques de saturation développées en logique du premier ordre peuvent s'adapter pour vérifier la consistance ou prouver des propriétés des ou présentations. Nous avons proposé une procédure de saturation par superposition basique, qui est réfutationnellement complète, respectivement pour la logique et pour la logique [4].


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