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Preuves par analogie

Participants : Régis Curien, Denis Lugiez

Les preuves par analogie sont utilisées dans de nombreux domaines et nous avons étudié comment utiliser ce paradigme dans le cadre de la mécanisation des preuves. Malheureusement les résultats connus sont encore peu probants car les objectifs initiaux étaient très ambitieux. C'est pourquoi le travail réalisé par Régis Curien dans sa thèse [3] s'est fondé sur des postulats destinés à mieux cerner des objectifs raisonnables. Le premier postulat est de ne s'intéresser qu'à des analogies simples comme par exemple les propriétés liées à l'associativité-commutativité des connecteurs logiques. Le deuxième postulat est que la similitude se teste sur les énoncés des théorèmes et non pas sur les preuves. Une conséquence immédiate est que le système de preuve formel utilisé doit lier fortement un énoncé et sa preuve pour permettre de reconstruire la preuve du théorème à partir de la ressemblance et de la preuve du théorème de référence. Enfin le troisième postulat est que les outils permettant d'exhiber la ressemblance sont l'abstraction et le filtrage d'ordre supérieur. La thèse de Régis Curien montre comment définir des outils (abstraction, filtrage d'ordre 2 associatif-commutatif) et des méthodes (élagage, techniques de reconstruction) permettant d'effectuer la reconnaissance d'analogies simples dans le système de preuve des arbres d'expansion, étudié par F. Pfenning (CMU), et qui est similaire à la méthode des connexions. La thèse présente des résultats de correction et de complétude et décrit également comment utiliser dans ce cadre les échecs du filtrage d'ordre supérieur pour proposer des lemmes à démontrer avant d'établir l'analogie. De plus, Régis Curien a proposé avec Zhenyu Qian (Université de Brême) [42] un nouvel algorithme pour réaliser le filtrage d'ordre 2 associatif-commutatif qui donne également un nouvel algorithme de filtrage d'ordre 2. L'idée est d'éviter les opérations d'imitation et de projection qui sont source de très nombreuses redondances et de travailler directement sur les sous-termes. Cet algorithme est meilleur que l'algorithme classique car il est complet et toutes les branches qu'il explore sont aussi explorées par l'algorithme classique, mais la réciproque n'est pas forcément vraie. Les exemples montrent que la réduction du nombre de solutions calculées est importante, ce qui est crucial pour l'application à l'analogie.


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