Section: Scientific Foundations

Méthodes de génération maillage

Méthode de type Delaunay

Une partie de la base théorique des méthodes de maillage de type Delaunay est fournie par l'ensemble des résultats relatifs aux méthodes de triangulation de Delaunay, néanmoins étendues et revues dans le cadre du maillage, l'aspect triangulation (de l'enveloppe convexe d'un nuage de points) ne représentant qu'une faible part de l'algorithmique à mettre en place. De nouveaux problèmes se posent en effet qui concernent les triangulations contraintes (bien résolus en deux dimensions, moins clairs en trois dimensions, au moins au niveau du codage), la façon de construire les points internes aux domaines (non convexes) considérés, les méthodes d'optimisation et, plus généralement, la définition de ce qu'est un maillage acceptable pour une application de type éléments ou volumes finis  [29] .

Par ailleurs, l'approche développée en deux dimensions et en trois dimensions se prête à une extension anisotrope . Un mailleur de type Delaunay anisotrope en trois dimensions a des applications dans les problèmes où des directions sont à privilégier (mécanique des fluides avec présence de chocs, de couches limites, ...). En deux dimensions, on retrouve le même type d'applications et, de plus, une méthode qui s'applique à la construction de maillages pour les surfaces paramétrées. En effet, par définition, la géométrie d'une surface est intrinsèquement de nature anisotrope (rayons de courbure).

Méthode frontale

En deux dimensions, la méthode frontale est une méthode bien connue et utilisée depuis longtemps  [30] . C'est l'une des toutes premières méthodes capables de traiter des géométries arbitraires. Un front initial est formé par les arêtes composant la discrétisation des frontières du domaine considéré. Partant d'une de ces arêtes, un point est choisi ou construit puis connecté avec celle-ci pour former un triangle. Le front est alors mis à jour et le même processus est poursuivi tant que le front n'est pas vide. En trois dimensions  [31] , cette méthode pose un certain nombre de difficultés liées en particulier au fait qu'il n'existe pas de théorie permettant de définir à coup sûr un algorithme efficace et convergent.

Les problèmes de convergence de l'algorithme, de validité et de qualité des maillages générés sont résolus de manière satisfaisante en se basant sur un maillage de fond et en utilisant des structures de données géométriques adaptées.

Autres méthodes

D'autres méthodes de génération de maillages existent. Une méthode importante est basée sur une utilisation “détournée” des structures de données en arbre, telle que le PR-quadtree. Le domaine est immergé dans une boîte. Celle-ci est divisée de manière récursive en cellules selon une structure d'arbre de façon à vérifier un critère (ou test d'arrêt). Les cellules terminales servent alors de support à la création des éléments du maillage  [33] .

Géométrie algorithmique

La géométrie algorithmique est apparue, en tant que discipline, vers le milieu des annés 80,  [32] , puis s'est développée au fil des ans, voir par exemple  [26] . Dans certains de ses aspects elle semble traiter de sujets assez voisins de ceux rencontrés en maillage, pensons ici aux triangulations. Avec un peu de recul, force est de nuancer le propos. En effet ses apports ont été, sont et restent sans réel intérêt au sens où les problématiques envisagées sont par trop éloignées des problèmes concrets. Il n'en demeure pas moins vrai que l'on persiste à regarder ce que cette discipline pourrait éventuellement apporter aux méthodes et techniques qui nous préocuppent.