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Inria / Raweb 2003
Team: Rap

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Section: Scientific Foundations


Keywords : Renormalisation des processus de Markov , limites fluides , théorèmes central limite fonctionnels , physique statistique .

Méthodes de renormalisation

Les trafics qui traversent les réseaux de communication sont d'une extrême hétérogénéité : données, voix, vidéo, etc. Les requêtes en bande passante sont par conséquent hautement variables, de l'ordre de quelques kbits/sec à plusieurs dizaines de Mbits/s. L'impact de cette extrême variabilité est, pour l'instant, assez peu analysé sur le comportement global d'un réseau.

Jusqu'au début des années 90, il était couramment admis que ce type de situation n'était pas en rupture avec le cadre des réseaux classiques où les requêtes des trafics à un nœud donné sont statistiquement proches. Il était toutefois bien connu que l'état d'équilibre de ces réseaux est beaucoup plus difficile à caractériser que celui des réseaux classiques. Les études de Rybko et Stolyar (1992), de Lu et Kumar (1991) et de Bramson (1994) ont, par la suite, complètement changé ce point de vue. Elles montrent que l'hétérogénéité statistique seule peut déstabiliser un réseau : même si, pour chaque nœud du réseau, la charge moyenne de travail qui arrive est strictement plus petite que sa capacité, le réseau peut osciller de telle sorte que le nombre total de requêtes dans le réseau diverge. Pour ces contre-exemples, chaque nœud du réseau se vide une infinité de fois mais globalement le réseau diverge. Cette situation est impossible dans les réseaux classiques. Ces réseaux avec des trafics hétérogènes sont regroupés sous l'appellation réseaux multi-classe. Les processus de Markov associés à ces réseaux multi-classe sont très délicats à étudier, même en ce qui concerne le comportement macroscopique.

Des techniques de renormalisation sont actuellement utilisées pour étudier le comportement au premier ordre de tels réseaux. Si l'espace d'états du réseau est donné par un ensemble ???? muni d'une norme · (typiquement + d ) et, si pour t 0 , X ( x , t ) décrit l'état de celui-ci à l'instant t quand son état initial vaut x , le processus renormalisé X ¯ associé est donné par

X ¯ ( x , t ) = X ( x , x t ) ) x .

Le temps est accéléré proportionnellement à la taille de l'état initial, la variable spatiale étant renormalisée avec l'inverse de cette taille. Remarquer que l'état initial du processus ( X ¯ ( x , t ) ) est de norme 1. Les idées de renormalisation sont anciennes, notamment en physique statistique, elles permettent d'étudier les comportements transitoires de systèmes de particules. Dans le domaine des réseaux, elles ont émergé de façon explicite récemment. Les discontinuités naturelles de la dynamique des réseaux (dues au fait qu'une file d'attente vide ne traite plus de requêtes) sont l'élément distinctif du cadre de la physique statistique. Elles posent des problèmes nouveaux tout à fait intéressants.

Le comportement macroscopique de l'état du réseau s'étudie alors en faisant tendre la norme de l'état initial, x , vers l'infini. Une limite fluide ( L ( t ) ) est une des valeurs d'adhérence de X ¯ quand la norme de l'état initial x tend vers l'infini. Par exemple, si X ( x , t ) est une marche aléatoire dans dont la moyenne des accroissements vaut δ , la seule limite fluide positive possible est donnée par la fonction t 1 + δ t . La renormalisation a gommé toutes les fluctuations pour ne garder que la dérive moyenne. La marche aléatoire ( X ( x , t ) ) peut être vue comme une perturbation stochastique de la fonction t 1 + δ t . Pour une large classe de réseaux, ce point de vue peut être généralisé : l'état renormalisé du réseau converge vers la solution d'une équation différentielle déterministe ordinaire. L'état du réseau peut être vu comme une perturbation stochastique de cette solution. Dans le cadre de processus diffusifs, ces perturbations ont été très étudiées, voir par exemple Khasminski (1960) et Freidlin et Wentzell (1979). Dans le cadre des réseaux, Dai (1995) a formalisé le cadre des équations différentielles déterministes qui pouvaient être obtenues. De nombreux travaux consacrés à l'étude des réseaux multi-classe ont suivi. Pour résumer, l'étude des limites fluides a principalement deux avantages :

  1. Décrire le comportement macroscopique du réseau i.e. le système dynamique qui décrit le réseau au premier ordre;

  2. Donner un critère de stabilité du réseau. En effet, s'il est possible de montrer que toutes les limites fluides sont nulles à partir d'un certain rang, un résultat de Filonov/Rybko et Stolyar montre que le réseau ``normal'' (i.e. non renormalisé) atteint un état d'équilibre.

Les insuffisances du cadre actuel

Les techniques de limites fluides se sont généralisées au cours des dix dernières années et ont contribué à une meilleure compréhension de la dynamique des réseaux avec des trafics hétérogènes. C'est actuellement un outil incontournable dans ce type d'étude. Il n'en reste pas moins que la connaissance que nous avons actuellement des réseaux multi-classe est encore très parcellaire, de nombreux aspects importants sont encore obscurs : par exemple, le comportement d'un réseau multi-classe sans trafic prioritaire avec seulement deux nœuds n'est actuellement pas connu, même au niveau macroscopique (fluide). Ceci est dû principalement aux raisons suivantes :

  1. L'aléatoire résiduel. Sur les questions de renormalisation, l'idée qui prévaut actuellement est la suivante : L'état d'un réseau est une perturbation stochastique d'une fonction déterministe. Autrement dit, la résolution d'une équation différentielle déterministe permet d'obtenir le comportement macroscopique du réseau (quitte à éliminer des ``fausses solutions'' au passage). Si cette approche est effective dans de nombreux cas de réseaux multi-classe, en particulier les réseaux avec des priorités, elle ne couvre pas la majeure partie des applications. En effet, si la renormalisation gomme toutes les fluctuations à la limite, elle ne supprime pas toutes les composantes aléatoires. Certaines des composantes aléatoires de ces réseaux ne font pas partie de la partie diffusive et donc restent après le passage à la limite. C'est un problème important pour l'étude du comportement des réseaux. Il est généralement méconnu et peut être mal interprété au niveau des limites fluides en terme de solutions déterministes multiples, alors qu'il n'y a qu'une seule limite fluide, mais aléatoire.

  2. La dimension infinie. Pour représenter l'état d'un nœud servi par la discipline FIFO d'un réseau où arrivent des trafics de différentes classes, il est nécessaire de connaître la classe c ???? de la requête à la première place dans la file d'attente, de même pour la deuxième place, etc. L'état du nœud est donc représenté par une chaîne de caractères ( c i ) c i est la classe du i -ième client dans la file d'attente. L'espace d'états est celui des suites finies de caractères à valeurs dans un espace fini ???? . Il est bien sûr dénombrable mais inclus dans un espace de dimension infinie ???? . Il n'est donc plus question de résoudre, de façon ultime, une équation différentielle dans un espace d . En fait, même le cadre des équations différentielles en dimension infinie n'est pas le cadre naturel. L'élément important pour ces réseaux est que l'évolution du nombre des requêtes de chaque classe ne se décrit pas facilement. Il faut plutôt se tourner vers l'évolution des schémas des chaînes de caractères décrivant le nœud. Ces systèmes sont très délicats à étudier, nombre de notions sont encore à définir pour poser correctement les bases d'une définition correcte de la renormalisation de ces réseaux. Il y a très peu de travaux dans ce domaine (en dehors de ceux de Bramson). Voir les travaux de Gajrat et al. [15] sur l'évolution de certaines chaînes de caractères qui étendent ceux de Dynkin et Maljutov dans le cas des marches aléatoires sur le groupe libre. Les applications de ces travaux aux réseaux multi-classe sont cependant limitées : les réseaux correspondants ont un seul nœud et la dynamique ne dépend que d'un nombre borné de caractères au début de la chaîne. Dans un cadre spécifique, Dantzer et Robert ont introduit plusieurs notions qui semblent pouvoir contribuer aux fondements d'une étude systématique de ces réseaux : les notions d'état initial régulier et lisse notamment. En tout état de cause, ces résultats partiels doivent être poursuivis pour dégager une méthode générale de traitement des processus de Markov à valeurs dans les chaînes de caractères.

Les deux aspects mentionnés ci-dessus nous semblent très importants pour comprendre les phénomènes spécifiques aux réseaux de communication traversés par des trafics hétérogènes. La relation entre l'instabilité du réseau et la divergence des limites fluides associées est un autre point important encore obscur de ces réseaux multi-classe. Il y a en effet le résultat de Filonov, Rybko et Stolyar qui établit une relation entre la stabilité du réseau et le fait que toutes ses limites fluides reviennent à 0 et y restent. Le fait que la divergence des limites fluides entraîne l'instabilité du réseau n'a pas encore été démontré, il y a seulement quelques résultats très partiels dans ce domaine. Cette question qui est liée aux aspects vus dans le point (1) ne fait pas l'objet d'investigations pour le moment.


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