Project : axis
Section: New Results
Keywords : analyse de données fonctionnelles , perceptron multi-couches , réseau de neurones , approximation universelle , consistance .
Modélisation supervisée de données fonctionnelles par perceptron multi-couches
Participants : Brieuc Conan-Guez, Yves Lechevallier, Fabrice Rossi.
L'Analyse de Données Fonctionnelles (ADF) est une extension de l'analyse de données traditionnelles à des données fonctionnelles. Dans cette approche, chaque individu est décrit par une ou plusieurs fonctions réelles, plutot que par un vecteur de . L'avantage majeur de l'ADF sur l'approche multivariée est de prendre en compte de manière naturelle la régularité des fonctions étudiées.
Dans le cadre de l'ADF, on s'est intéressé à l'extension du Perceptron Multi-Couches (PMC) à des données fonctionnelles : le Perceptron Multi-Couches Fonctionnel (PMCF). On a montré que ce nouveau modèle partageait avec le PMC deux propriétés théoriques importantes : le PMCF est un approximateur universel, l'estimation des paramètres du modèle est consistante (ce résultat reste valable dans le cas d'une connaissance discrète des fonctions).
Lors de l'année écoulée, deux nouvelles extensions du PMCF ont été proposées :
a) la première extension s'appuie sur une phase préliminaire de projection des fonctions d'entrée sur une base de fonctions choisie au préalable (B-spline, séries de Fourier, etc). La représentation régularisée obtenue est alors soumise au PMCF. L'avantage de cette méthode par rapport à l'approche précédemment proposée (traitement direct des fonctions) est que le PMCF calcule sa sortie grâce à une entrée partiellement débruitée : l'apprentissage du modèle est donc facilité.
D'un point de vue théorique, on a montré que le PMCF basé sur une étape préalable de projection est un approximateur universel et que l'estimation des paramètres est consistante. D'un point de vue pratique, diverses simulations ont été effectuées afin de comparer les deux approches (approche directe/approche par projection),
b) la seconde extension du PMCF proposée consiste à modifier le modèle afin d'obtenir une sortie fonctionnelle. Ce type de modèle est très intéressant car il permet de modéliser les processus fonctionnels à temps discret. On a montré que ce modèle est un approximateur universel, et que de plus, sous l'hypothèse d'indépendance des individus, l'estimation des paramètres est consistante.
