Calibration d'options financières



Participante : S. Volle.

Depuis octobre 2001, dans le cadre du poste d'accueil de Sophie Volle, nous nous intéressons à la calibration d'options à partir de données du marché.

Le modèle de Black-Scholes nous donne le prix d'options en fonction de la volatilité (supposée constante) de l'actif sous-jacent. On peut inverser cette relation pour obtenir la volatilité implicite à partir des prix d'options observés sur le marché. Si le modèle était parfait, cette volatilité implicite serait la même pour tous les prix d'options sur un même sous-jacent, mais ce n'est pas le cas : la volatilité dépend de la maturité et du prix d'exercice de l'option. Pour remédier à cette contradiction, on introduit une volatilité dépendant du temps et du prix S de l'actif sous-jacent, de telle sorte que le prix de l'actif suit le processus de diffusion

$\displaystyle {\frac{{dS}}{{S}}}$ = $\displaystyle \mu$dt + $\displaystyle \sigma$(S, t)dZ.  

Le problème de calibration consiste à calculer la nappe de volatilité $ \sigma$(S, t) à partir des prix observés sur le marché.Ceci se ramène à l'identification de coefficients dans une équation aux dérivées partielles (équation de Dupré). Nous étudions des méthodes basées sur la représentation par spline de ces coefficients.