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Commande optimale

Commande optimale des équations de Saint-Venant



Participants : H. Arfaoui, H. Zidani, H El Fekhi (Lamsin, Enit, Tunis), J.P. Raymond (U. Paul Sabatier, Toulouse).

La première année de thèse a été consacrée à l'étude théorique et numérique de quelques lois de conservation linéaire et non linéaire ( Burgers ), et à l'étude d'un problème de contrôle optimal d'une équation d'advection-diffusion (1D). Plus précisément, on s'est intéressé à l'étude du problème de contrôle optimal frontière de l'équation de Burgers avec terme de viscosité :


(P)$\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{lll} y_t + yy_x - \nu y_{xx} = f,... ..., .) = a(.), \;\;y(1, .)= b(.), \qquad {\rm sur}\;\;(0, T). \end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{lll} y_t + yy_x - \nu y_{xx} = f, \qquad \qquad \;\... ... \ y(0, .) = a(.), \;\;y(1, .)= b(.), \qquad {\rm sur}\;\;(0, T). \end{array}$      

Un code de calcul a été mis en oeuvre pour la résolution de ce système en utilisant la méthode de «Splitting»: on a utilisé le schéma de Godunov pour la partie hyperbolique, et un schéma d'Euler implicite en temps pour la partie parabolique. On a par la suite étudié le problème de contrôle optimal associé à cette équation :
min{J(y, a, b),    a, b $\displaystyle \in$ L2(0, T)    et    y    solution de    (P)}
où le critère J est donné par :
J(y, a, b) = $\displaystyle {1 \over 2}$$\displaystyle \int_{0}^{1}$(y(x, T) - yT(x))2  dx + $\displaystyle {1 \over 2}$$\displaystyle \int_{0}^{T}$(a(t))2  dt + $\displaystyle {1 \over 2}$$\displaystyle \int_{0}^{T}$(b(t))2  dt.
Un code de calcul a été mis en oeuvre pour la résolution de ce problème. La méthode d'optimisation utilisée est la méthode BFGS.

D'autres essais numériques sont en cours de traitement en utilisant le schéma de Preissmann (pour la partie hyperbolique). Ce schéma sera utilisé pour les équations de Saint-Venant, dont une étude numérique a été entamée, utilisant le schéma de Godunov. L'intérêt du schéma de Preissmann est qu'il est inconditionnellement stable.

On s'interessera par la suite à l'étude du problème de contrôle en boucle fermé (feedback). Cette technique consiste à déterminer une relation directe entre le contrôle et l'état. Cette méthode est basée sur les équations différentielles de Riccati qui découlent du système d'optimalité : équation d'état, équation d'état adjoint et condition d'optimalité.

Approche HJB pour la Commande Optimale d'équations aux dérivées partielles



Participants : F. Bonnans, H. Zidani, J.P. Raymond (U. Paul Sabatier, Toulouse), S. Gombao(U. Paul Sabatier, Toulouse) .

Etude théorique
Nous étudions un problème de commande optimale d'une équation parabolique semi-linéaire avec contrôle frontière et non liné arité distribuée. Plus précisément :
$\displaystyle \min_{{\gamma \in \tilde{U}}}^{}$$\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$$\displaystyle \int_{{t_{0}}}^{{T}}$$\displaystyle \left\Vert\vphantom{ y\left( t\right) -y_{d}\left( t\right) }\right.$y$\displaystyle \left(\vphantom{ t}\right.$t$\displaystyle \left.\vphantom{ t}\right)$ - yd$\displaystyle \left(\vphantom{ t}\right.$t$\displaystyle \left.\vphantom{ t}\right)$$\displaystyle \left.\vphantom{ y\left( t\right) -y_{d}\left( t\right) }\right\Vert _{{L^{2}\left( \Omega \right) }}^{{2}}$dt + $\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$$\displaystyle \int_{{t_{0}}}^{{T}}$$\displaystyle \left\Vert\vphantom{ \gamma \left( t\right) -\gamma _{d}\left( t\right) }\right.$$\displaystyle \gamma$$\displaystyle \left(\vphantom{ t}\right.$t$\displaystyle \left.\vphantom{ t}\right)$ - $\displaystyle \gamma_{{d}}^{}$$\displaystyle \left(\vphantom{ t}\right.$t$\displaystyle \left.\vphantom{ t}\right)$$\displaystyle \left.\vphantom{ \gamma \left( t\right) -\gamma _{d}\left( t\right) }\right\Vert _{{L^{2}\left( \partial \Omega \right) }}^{{2}}$dt + $\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$$\displaystyle \left\Vert\vphantom{ y\left( T\right) -y_{T}}\right.$y$\displaystyle \left(\vphantom{ T}\right.$T$\displaystyle \left.\vphantom{ T}\right)$ - yT$\displaystyle \left.\vphantom{ y\left( T\right) -y_{T}}\right\Vert _{{L^{2}\left( \Omega \right) }}^{{2}}$ ( Pt0, x0)

y$ \left(\vphantom{ t}\right.$t$ \left.\vphantom{ t}\right)$ = y$ \left(\vphantom{ t;t_{0},x_{0},\gamma }\right.$t;t0, x0,$ \gamma$$ \left.\vphantom{ t;t_{0},x_{0},\gamma }\right)$ solution de l'équation aux dérivées partielles:
$\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{l} y_{t}-\Delta y+\left\vert y\ri... ...ght[ \times \Gamma y(t_{0})=x_{0}\text{ dans }\Omega . \end{array} }\right.$$\displaystyle \begin{array}{l} y_{t}-\Delta y+\left\vert y\right\vert ^{3}y=f\t... ..._{0},T\right[ \times \Gamma y(t_{0})=x_{0}\text{ dans }\Omega . \end{array}$    

$ \gamma$ $ \in$ $ \tilde{{U}}$ = $ \left\{\vphantom{ u\in L^{\infty }\left( \partial \Omega \right) \left\vert \l... ...\right\Vert _{L^{\infty }\left( \partial \Omega \right) }\leq M\right. }\right.$ u $ \in$ L$\scriptstyle \infty$$ \left(\vphantom{ \partial \Omega }\right.$$ \partial$$ \Omega$$ \left.\vphantom{ \partial \Omega }\right)$$ \left\vert\vphantom{ \left\Vert u\right\Vert _{L^{\infty }\left( \partial \Omega \right) }\leq M}\right.$$ \left\Vert\vphantom{ u}\right.$u$ \left.\vphantom{ u}\right\Vert _{{L^{\infty }\left( \partial \Omega \right) }}^{}$ $ \leq$ M$ \left.\vphantom{ u\in L^{\infty }\left( \partial \Omega \right) \left\vert \le... ...right\Vert _{L^{\infty }\left( \partial \Omega \right) }\leq M\right. }\right\}$ $ \subset$ U = L2$ \left(\vphantom{ \partial \Omega }\right.$$ \partial$$ \Omega$$ \left.\vphantom{ \partial \Omega }\right)$, $ \tilde{{U}}$ est un fermé borné de U.

Nous déterminons des conditions d'optimalité sur la fonction valeur du problème : v, et nous montrons que v est solution de viscosité (au sens de Cannarsa et Tessitore), de l'équation de Hamilton-Jacobi-Bellman du second ordre. Le but est maintenant de généraliser cette étude lorsque la non-linéarité est sur la frontière.

Etude numérique
Il s'agit de déterminer une approximation de la solution optimale du problème précédent, en 1D dans un premier temps, en 2D dans un deuxième temps. Pour cela, nous discrétisons l'équation de Hamilton-Jacobi-Bellman, via une technique de réduction de modèle : le POD (Proper Orthogonal Decomposition) introduite par Kunisch et Volkwein. Nous avons obtenus des premiers résultats en 1D qui sont encore à améliorer, étant donné les problèmes d'instabilié numériques qui apparaissent.

Méthodes directes



Participants : F. Bonnans, M. Haddou, S. Maurin.

Le logiciel DOC (méthode directe pour la commande optimale) a fait l'objet des améliorations suivantes :


Méthodes de tir



Participants : F. Bonnans, Th. Guilbaud, S. Maurin.

Méthodes numériques de résolution de l'équation HJB



Participants : F. Bonnans, Th. Guilbaud, C. Sagastizábal, H. Zidani.

Méthodes numériques de résolution de l'équation HJB stochastique



Participants : F. Bonnans, O. Ottenwaelter, H. Zidani.

Nous avons commencé une étude systématique des conditions de consistance des schémas aux différences pour l'équation de Hamilton Jacobi Bellman (HJB) de la commande optimale stochastique. Notre premier résultat est une caractérisations de la consistance pour les schémas faisant intervenir les points immédiatement voisins (sur une grille régulière), en dimension 3 et 4.