Algorithme de tir

Posons H(y, u, p) : = L(y, u) + p . f (y, u). Dans le cas où la contrainte n'est pas active, le système d'optimalité s'écrit

$\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{lll} \dot{y}(t) = & H_p(y(t),u(t)... ...\quad p(T)=0, \ 0 = &H_u(y(t),u(t),p(t)), & t\in [s,T]. \end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{lll} \dot{y}(t) = & H_p(y(t),u(t),p(t)), & t\in [s,... ... [s,T]; \quad p(T)=0, \ 0 = &H_u(y(t),u(t),p(t)), & t\in [s,T]. \end{array}$            (Ps, x)
Ce système algébrico différentiel généralise en un certain sens les systèmes hamiltoniens issus de la mécanique. Si Huu est inversible, le théorème des fonctions implicites permet la réécriture de la contrainte algébrique Hu = 0 comme u = $ \Psi$(y, p), où $ \Psi$ est telle que Hu(y,$ \Psi$(y, p), p) = 0. Posant
$\displaystyle \mathcal {H}$(y, p) : = H(y,$\displaystyle \Psi$(y, p), p) = 0,
on peut réécrire le système algébrico différentiel en (y, p, u) sous la forme hamiltonienne
$\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{llll} \dot{y}(t) & = & \mathcal{H... ...& \mathcal{H}_y(y(t),p(t)), & t\in [s,T]; \quad p(T)=0, \ \end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{llll} \dot{y}(t) & = & \mathcal{H}_p(y(t),p(t)), & ... ...t) &= - & \mathcal{H}_y(y(t),p(t)), & t\in [s,T]; \quad p(T)=0, \ \end{array}$     (2)

La méthode de tir résout ce système différentiel en appliquant une variante de la méthode de Newton à l'équation F(p0) = 0, où F est l'application qui à l'état adjoint initial p0 associe, après intégration numérique du système
$\displaystyle \dot{{y}}$(t) = $\displaystyle \mathcal {H}$p(y(t), p(t)),    $\displaystyle \dot{{p}}$(t) = - $\displaystyle \mathcal {H}$y(y(t), p(t)),    t $\displaystyle \in$ [s, T],
l'état adjoint final p(T). Les points délicats de la méthode concernent