Aperçu historique

La résolution des équations et systèmes polynomiaux constitue depuis longtemps un problème fondamental. En sont témoins, par exemple, les efforts consacrés à la résolution par radicaux, jusqu'à ce que Galois résolve le problème vers 1830, mais aussi le fait que le théorème de d'Alembert, qui affirme l'existence de solutions complexes, soit appelé «fundamental theorem of algebra» par les anglo-saxons.

Ce n'est qu'à la fin du XIX e siècle que sont apparus les premiers algorithmes généraux pour résoudre les systèmes polynomiaux, dans les travaux de Bézout, Sylvester, Kronecker et surtout McCaulay. Mais la complexité du problème rendait les calculs totalement impraticables, ce qui a conduit les mathématiciens à abandonner cette approche effective pour mettre l'accent sur des résultats qualitatifs et non effectifs. C'est ainsi qu'est apparue la géométrie algébrique moderne, avec son niveau d'abstraction qui la rend souvent presque ésotérique. Cette évolution est illustrée par le célèbre traité d'algèbre de van der Waerden [dW55] dans lequel les méthodes effectives ont été supprimées à partir de la quatrième édition ; en particulier le chapitre sur la théorie de l'élimination, qui traitait de la résolution effective des systèmes polynomiaux, a totalement disparu.

Avec l'invention des ordinateurs et l'apparition des systèmes de calcul formel, le problème de la résolution effective des systèmes polynomiaux est redevenu d'actualité, dès que, dans les années 70, les calculs de PGCD et de factorisation des polynômes ont reçu des solutions satisfaisantes. Mais la complexité et la difficulté du problème font qu'il a fallu attendre la deuxième moitié des années 80 pour commencer à pouvoir résoudre par logiciel des problèmes inaccessibles au calcul manuel.