Réseaux de dimension infinie



Participants : Alexander Borovkov, François Baccelli, Jean Mairesse, James Martin.

Mots clés : réseau en série, file d'attente, limite hydrodymanique, percolation, lattice animal, réseau de Jackson .

Les travaux sur les systèmes en dimension infinie se sont concentrés sur les réseaux (max ,plus) linéaires, où des liens avec la théorie de la percolation sont établis. Le calcul des temps de passage se ramène à l'analyse des chemins de poids maximal dans un certain graphe aléatoire, ou encore à l'étude du temps de dernier passage en percolation.

Dans le cas de files en série, J. Mairesse, A. Borovkov et F. Baccelli ont montré dans [BBM] l'existence de limites hydrodynamiques sur des séries infinies de files d'attente à capacité infinie, sous certaines conditions de moment pour les lois des services.

Dans [19], J. Martin étudie le cas d'un réseau infini de files à capacité limitée avec blocage. Ce problème a des liens directs avec le modèle de K-exclusion totalement asymétrique considéré par exemple par Seppalainnen. Les problèmes qui se posent sont de diverses natures : limites hydrodynamiques, propagation d'une onde de choc, existence et calcul des débits asymptotiques, lois d'occupation, processus ponctuels limites, etc.

Dans [20], J. Martin a aussi obtenu des résultats sur d'autres types de graphes aléatoires infinis, les greedy lattice animals introduits par Cox et al. et Gandolfi & Kesten. Soit d $ \geq$ 2, et soit {Xv, v $ \in$ Zd} une famille i.i.d de variables aléatoires de distribution commune F. Soit N(n) la valeur maximale de $ \sum_{v\in\xi}^{}$Xv sur tous les sous-ensembles connexes $ \xi$ de Zd de taille n qui comprennent l'origine. Cox et al. (1993) et Gandolfi et Kesten (1994) ont montré que si EX$\scriptstyle \bf0$d(log+X$\scriptstyle \bf0$)d + $\scriptstyle \epsilon$ < $ \infty$ pour $ \epsilon$ > 0, alors N(n)/n$ \to$N p.s. et dans $ \mathcal {L}$1. Avec des méthodes similaires quoiqu'un peu plus simples, on obtient la même conclusion sous l'hypothèse légèrement plus faible que $ \int_{0}^{\infty}$$ \big($1 - F(x)$ \big)^{1/d}_{}$dx < $ \infty$. On montre aussi que N $ \leq$ c$ \int_{0}^{\infty}$$ \big($1 - F(x)$ \big)^{1/d}_{}$dx pour une constante c.

Une autre direction de recherche concerne les réseaux de Jackson en dimension infinie. Dans [12], J. Martin considère un réseau de type Jackson, dont chacun des noeuds comprend N canaux identiques avec un seul serveur. A son arrivée dans un noeud, une tâche sélectionne m canaux aléatoirement, et entre dans la file la plus courte parmi les m files observées. Il considère une collection fixe de canaux dans le réseau, et il analyse le comportement des files d'attente pour ces canaux quand N$ \to$$ \infty$. Si les conditions initiales convergent d'une manière appropriée, la distribution de ces processus converge en variation locale vers une limite pour laquelle chaque canal se comporte indépendamment. Ceci permet de caractériser les processus limites, et en particulier les versions stationnaires des processus ponctuels des arrivées et des départs.