Projet : META2 - Systèmes à événements discrets et algèbre max-plus

<body bgcolor="#FFEEE0" text="#000000" link="#9944EE" vlink= "#FF0000" alink="#00FF00">  <a name="CHILD_LINKS"><strong>Sous-sections</strong></a> <ul> <li> <ul> <li><a name="tex2html177" href= "fonde_maxplus_mn.html#SECTION00031010000000000000" target="main"><small>L'algèbre max-plus</small></a></li> <li><a name="tex2html178" href= "fonde_maxplus_mn.html#SECTION00031020000000000000" target="main"><small>Systèmes dynamiques max-plus linéaires et graphes d'événements</small></a></li> <li><a name="tex2html179" href= "fonde_maxplus_mn.html#SECTION00031030000000000000" target="main"><small>Systèmes dynamiques  <span class="MATH">(min, + , <tt>x</tt> )</span> implicites, réseaux de Petri, programmation dynamique stochastique</small></a></li> <li><a name="tex2html180" href= "fonde_maxplus_mn.html#SECTION00031040000000000000" target="main"><small>Systèmes dynamiques monotones homogènes</small></a></li> <li><a name="tex2html181" href= "fonde_maxplus_mn.html#SECTION00031050000000000000" target="main"><small>Ressources partagées, empilements de tâches et automates max-plus</small></a></li> <li><a name="tex2html182" href= "fonde_maxplus_mn.html#SECTION00031060000000000000" target="main"><small>Vers une approche géométrique des systèmes dynamiques linéaires sur le semianneau <span class="MATH">(max, +)</span></small></a></li> <li><a name="tex2html183" href= "fonde_maxplus_mn.html#SECTION00031070000000000000" target="main"><small>Dualité entre l'optimisation et le calcul des probabilités</small></a></li> <li><a name="tex2html184" href= "fonde_maxplus_mn.html#SECTION00031080000000000000" target="main"><small>Pages WEB</small></a></li> </ul> </li> </ul> <hr> <h2><a name="SECTION00031000000000000000">Systèmes à événements discrets et algèbre max-plus</a></h2>  <a name="META2_fondements_maxplus"></a> <p><strong>Mots clés :</strong> <i>Algèbre max-plus, Systèmes à événements discrets, Décision markovienne. .</i></p> <p><br> <br> <span class="textbf">Participants :</span> M. Akian, G. Cohen, S. Gaubert, J.-P. Quadrat.<br> <br></p> <h3>Résumé :</h3> <div class="ABSTRACT"> <i>L'idée est de substituer au corps des nombres réels le semicorps idempotent  <span class="MATH"><b>R</b><sub>max</sub></span> des nombres réels auxquels on ajoute <span class="MATH">- <img width="15" height="11" align="bottom" border="0" src= "img1.png" alt="$ \infty$"></span> et que l'on munit des opérations <span class="MATH">max</span> et <span class= "MATH">+</span>. A partir de ce semicorps, on peut développer l'analogue de l'algèbre linéaire classique, une théorie des systèmes dynamiques linéaires, un analogue du calcul des probabilités, l'analogue des espaces de Sobolev etc ...</i> <p><i>Les nouveaux systèmes dynamiques linéaires ainsi obtenus ne sont rien d'autre que les systèmes régis par des équations de la programmation dynamique qui jouent un rôle important en ingéniérie et en physique.</i></p> </div> <h4><a name="SECTION00031010000000000000">L'algèbre max-plus</a></h4> <p>Le semianneau max-plus, parfois appelé ``algèbre max-plus'', et noté  <span class="MATH"><b>R</b><sub>max</sub></span>, est l'ensemble  <span class="MATH"><b>R</b> <img width="12" height="11" align="bottom" border="0" src="img2.png" alt="$ \cup$"> { - <img width="15" height="11" align="bottom" border="0" src= "img1.png" alt="$ \infty$">}</span>, muni des lois <span class="MATH">max</span> et <span class="MATH">+</span>. Traditionnellement, on note <span class="MATH"><img width= "12" height="22" align="middle" border="0" src="img3.png" alt="$ \oplus$"></span> au lieu de <span class= "MATH">max</span> (  <span class="MATH">2 <img width="12" height="22" align= "middle" border="0" src="img3.png" alt="$ \oplus$"> 3 = 3</span>), et <span class="MATH"><img width="13" height="22" align="middle" border="0" src="img4.png" alt= "$ \otimes$"></span> au lieu de <span class="MATH">+</span>  <span class="MATH">(1 <img width="13" height="22" align= "middle" border="0" src="img4.png" alt="$ \otimes$"> 1 = 2)</span>. L'élément zéro, c'est-à-dire le neutre pour la loi <span class="MATH"><img width="12" height="22" align="middle" border="0" src="img3.png" alt="$ \oplus$"></span>, est noté  <span class="MATH"><img width="8" height="11" align="bottom" border="0" src="img5.png" alt="$ \varepsilon$"></span> (ici  <span class="MATH"><img width="8" height="11" align="bottom" border="0" src="img5.png" alt="$ \varepsilon$"> = - <img width="15" height="11" align="bottom" border="0" src= "img1.png" alt="$ \infty$"></span>). L'unité, c'est-à-dire le neutre pour la loi <span class="MATH"><img width="13" height= "22" align="middle" border="0" src="img4.png" alt= "$ \otimes$"></span>, est notée <span class= "MATH"><i>e</i></span> (ici <span class="MATH"><i>e</i> = 0</span>). Les axiomes de structure des <em>semianneaux</em> sont ici satisfaits : <span class="MATH"><img width="12" height="22" align="middle" border="0" src="img3.png" alt= "$ \oplus$"></span> est associative, commutative, a un zéro, <span class="MATH"><img width="13" height="22" align="middle" border="0" src="img4.png" alt="$ \otimes$"></span> est associative, a une unité, distribue par rapport à <span class="MATH"><img width="12" height="22" align="middle" border="0" src="img3.png" alt="$ \oplus$"></span>, et zéro est absorbant. Le semianneau max-plus est très particulier : il est <em>commutatif</em>  <span class="MATH">(<i>a</i> <img width="13" height="22" align="middle" border="0" src="img4.png" alt="$ \otimes$"> <i>b</i> = <i>b</i> <img width="13" height="22" align= "middle" border="0" src="img4.png" alt="$ \otimes$"> <i>a</i>)</span>, <em>idempotent</em>  <span class="MATH">(<i>a</i> <img width="12" height="22" align="middle" border="0" src="img3.png" alt="$ \oplus$"> <i>a</i> = <i>a</i>)</span>, et les éléments ont un inverse, hormis zéro (on nomme <em>semicorps</em> les semianneaux qui satisfont cette dernière propriété).</p> <p>Ces nouvelles notations <span class="MATH"><img width="12" height="22" align="middle" border="0" src="img3.png" alt= "$ \oplus$"></span> et <span class="MATH"><img width="13" height="22" align="middle" border="0" src="img4.png" alt= "$ \otimes$"></span> sont mieux adaptées que <span class= "MATH">max</span> et <span class="MATH">+</span> aux réflexes de calcul qui sont liés à l'algèbre ordinaire. Nous écrirons par exemple :</p> <div align="center"></div><img width="413" height="81" align= "middle" border="0" src="img6.png" alt= "$ \begin{array}{c} ab=a\otimes b,\;\; a^n = a \otimes \cdots \otimes a \; \; (n ... ... \oplus x^2 = 6\oplus x^2 \;\; (=\max(6; 2\times x)) \enspace . \par\end{array}$"> <div align="center"></div>Le tableau <a href= "fonde_maxplus_ct.html#f1">1</a> donne une liste d'autres semianneaux apparentés au semicorps max-plus. <p><br></p> <div align="center"> <a name="356"></a><a name="f1"></a> <table border="1"> <tr> <td align="center"> <span class="MATH"><b>R</b><sub>max</sub></span></td> <td align="center"> <span class="MATH">(<b>R</b> <img width="12" height= "11" align="bottom" border="0" src="img2.png" alt= "$ \cup$"> { - <img width="15" height="11" align= "bottom" border="0" src="img1.png" alt="$ \infty$">}, max, +)</span></td> <td align="center">semianneau  <span class="MATH">(max, +)</span></td> <td align="center">semicorps idempotent</td> </tr> <tr> <td align="center"> <span class="MATH"><img width="33" height="28" align= "middle" border="0" src="img7.png" alt= "$ \overline{\mathbf{R}}_{\max}^{}$"></span></td> <td align="center"> <span class="MATH">(<b>R</b> <img width="12" height= "11" align="bottom" border="0" src="img2.png" alt= "$ \cup$"> {<img width="13" height="22" align="middle" border="0" src="img8.png" alt="$ \pm$"><img width="15" height="11" align="bottom" border="0" src="img1.png" alt="$ \infty$">}, max, +)</span></td> <td align="center">semianneau <span class="MATH">(max, +)</span><br> complété</td> <td align="center"><span class="MATH">- <img width="15" height="11" align="bottom" border="0" src="img1.png" alt="$ \infty$"> + (+ <img width="15" height="11" align="bottom" border="0" src="img1.png" alt= "$ \infty$">) = - <img width="15" height="11" align= "bottom" border="0" src="img1.png" alt= "$ \infty$"></span>,<br> car  <span class="MATH"><img width="8" height="11" align= "bottom" border="0" src="img5.png" alt= "$ \varepsilon$"> <img width="13" height="22" align= "middle" border="0" src="img4.png" alt="$ \otimes$"> <i>a</i> = <img width="8" height="11" align="bottom" border="0" src="img5.png" alt= "$ \varepsilon$"></span></td> </tr> <tr> <td align="center"> <span class="MATH"><b>R</b><sub>max, <tt>x</tt></sub></span></td> <td align="center"> <span class="MATH">(<b>R</b><sup>+</sup>, max, <tt>x</tt> )</span></td> <td align="center">semianneau  <span class="MATH">(max, <tt>x</tt> )</span></td> <td align="center">isomorphe à  <span class="MATH"><b>R</b><sub>max</sub></span> (  <span class="MATH"><i>x</i> <img width="15" height="11" align="bottom" border="0" src="img9.png" alt= "$ \mapsto$"> log <i>x</i></span>)</td> </tr> <tr> <td align="center"> <span class="MATH"><b>R</b><sub>min</sub></span></td> <td align="center"> <span class="MATH">(<b>R</b> <img width="12" height= "11" align="bottom" border="0" src="img2.png" alt= "$ \cup$"> { + <img width="15" height="11" align= "bottom" border="0" src="img1.png" alt="$ \infty$">}, min, +)</span></td> <td align="center">semianneau  <span class="MATH">(min, +)</span></td> <td align="center">isomorphe à <span class="MATH"><b>R</b><sub>max</sub></span> (  <span class="MATH"><i>x</i> <img width="15" height="11" align="bottom" border="0" src="img9.png" alt= "$ \mapsto$"> - <i>x</i></span>)</td> </tr> <tr> <td align="center"> <span class="MATH"><b>N</b><sub>min</sub></span></td> <td align="center"> <span class="MATH">(<b>N</b> <img width="12" height= "11" align="bottom" border="0" src="img2.png" alt= "$ \cup$"> { + <img width="15" height="11" align= "bottom" border="0" src="img1.png" alt="$ \infty$">}, min, +)</span></td> <td align="center">semianneau tropical</td> <td align="center">fameux en théorie des langages</td> </tr> <tr> <td align="center"> <span class="MATH"><b>R</b><sub>max, min</sub></span></td> <td align="center"> <span class="MATH">(<b>R</b> <img width="12" height= "11" align="bottom" border="0" src="img2.png" alt= "$ \cup$"> {<img width="13" height="22" align="middle" border="0" src="img8.png" alt="$ \pm$"><img width="15" height="11" align="bottom" border="0" src="img1.png" alt="$ \infty$">}, max, min)</span></td> <td align="center">algèbre goulot, ou floue</td> <td align="center">n'est pas un semicorps.</td> </tr> <tr> <td align="center"> <span class="MATH"><b>B</b></span></td> <td align="center"> <span class="MATH">({ false, true}, or, and)</span></td> <td align="center">semianneau de Boole</td> <td align="center">isomorphe à <span class="MATH">({<img width="8" height="11" align= "bottom" border="0" src="img5.png" alt= "$ \varepsilon$">, <i>e</i>}, <img width="12" height= "22" align="middle" border="0" src="img3.png" alt= "$ \oplus$"> , <img width="13" height="22" align= "middle" border="0" src="img4.png" alt="$ \otimes$"> )</span>,<br> pour n'importe lequel<br> des semianneaux ci-dessus</td> </tr> <tr> <td align="center"> <span class="MATH"><b>R</b><sub>h</sub></span></td> <td align="center"> <span class="MATH">(<b>R</b> <img width="12" height= "11" align="bottom" border="0" src="img2.png" alt= "$ \cup$"> { - <img width="15" height="11" align= "bottom" border="0" src="img1.png" alt="$ \infty$">}, <img width="19" height="22" align="middle" border="0" src="img10.png" alt="$ \oplus_{h}^{}$"> , +)</span><br>  <span class="MATH"><i>a</i> <img width="19" height="22" align="middle" border="0" src="img10.png" alt= "$ \oplus_{h}^{}$"> <i>b</i> =</span><br>  <span class="MATH"><i>h</i>log(<i>e</i><sup>a/h</sup> + <i>e</i><sup>b/h</sup>)</span></td> <td align="center">semianneaux ``de Maslov''</td> <td align="center">déformation de  <span class="MATH">(<b>R</b><sup>+</sup>, + , <tt>x</tt> )</span><br>  <span class="MATH"><img width="49" height="24" align= "middle" border="0" src="img11.png" alt= "$ \lim_{h\to 0^+}^{}$"><b>R</b><sub>h</sub> = <b>R</b><sub>0</sub> = <b>R</b><sub>max</sub></span></td> </tr> </table><br> <br> <h4><a name="SECTION00031020000000000000">Systèmes dynamiques max-plus linéaires et graphes d'événements</a></h4> <p>Certains systèmes à événements discrets (les graphes d'événements) se modélisent par des systèmes dynamiques sur le semianneau max-plus. Considérons par exemple un système comprenant <span class="MATH"><i>n</i></span> tâches répétitives (on peut penser à des assemblages dans un atelier, à des rendez-vous dans un réseau). L'instant de démarrage d'une tâche est conditionné par l'exécution d'autres tâches devant être effectuées antérieurement. Supposons que la <span class="MATH"><i>k</i></span>-ième occurrence de la tâche <span class="MATH"><i>i</i></span> (tir de la transition <span class= "MATH"><i>i</i></span>) ne puisse commencer que <span class="MATH"><img width="17" height="22" align= "middle" border="0" src="img12.png" alt= "$ \tau_{ij}^{}$"></span> unités de temps après que la dernière des occurences  <span class="MATH">(<i>k</i> - <img width="17" height="22" align="middle" border="0" src="img13.png" alt= "$ \nu_{ij}^{}$">)</span> des tâches <span class= "MATH"><i>j</i></span> n'ait eu lieu. Alors, clairement, les dates au plus tôt d'occurrence des <span class= "MATH"><i>k</i></span>-ième tâches sont données par la récurrence</p> <div align="center" class="mathdisplay"> <a name="eq-dynamic"></a>  <table width="100%" align="center"> <tr valign="middle"> <td align="center" nowrap> <i>x</i><sub>i</sub>(<i>k</i>) = <img width="27" height="28" align="middle" border="0" src="img14.png" alt="$\displaystyle \max_{j}^{}$"><img width="7" height="25" align="middle" border="0" src="img15.png" alt= "$\displaystyle \left[\vphantom{ \tau_{ij} + x_j(k-\nu_{ij})}\right.$"><img width="17" height="22" align="middle" border="0" src="img16.png" alt="$\displaystyle \tau_{ij}^{}$"> + <i>x</i><sub>j</sub>(<i>k</i> - <img width="17" height="22" align="middle" border="0" src="img17.png" alt="$\displaystyle \nu_{ij}^{}$">)<img width="8" height="25" align="middle" border="0" src="img18.png" alt= "$\displaystyle \left.\vphantom{ \tau_{ij} + x_j(k-\nu_{ij})}\right]$"> ,</td> <td class="eqno" width="10" align="right"> (<span class="eqn-number">1</span>)</td> </tr> </table> </div>qui n'est autre qu'un système linéaire stationnaire sur le semianneau max-plus. On peut l'écrire en termes matriciels <div align="center" class="mathdisplay">  <table width="100%" align="center"> <tr valign="middle"> <td align="center" nowrap><i>x</i>(<i>k</i>) = <img width="20" height="39" align="middle" border="0" src="img19.png" alt= "$\displaystyle \bigoplus_{\nu \in \mathsf{F}}^{}$"><i>A</i><sub><img width="8" height="22" align="middle" border="0" src="img20.png" alt="$\scriptstyle \nu$"></sub><i>x</i>(<i>k</i> - <img width="9" height="22" align="middle" border="0" src="img21.png" alt= "$\displaystyle \nu$">) ,</td> <td class="eqno" width="10" align="right"> (<span class="eqn-number">2</span>)</td> </tr> </table> </div>où <span class="MATH"><img width="10" height="11" align="bottom" border="0" src="img22.png" alt= "$ \mathsf {F}$"></span>est un ensemble fini, et <span class="MATH">{<i>A</i><sub><img width="8" height="22" align="middle" border="0" src="img20.png" alt= "$\scriptstyle \nu$"></sub>}<sub><img width="8" height="22" align="middle" border="0" src="img20.png" alt= "$\scriptstyle \nu$"> <img width="9" height="22" align= "middle" border="0" src="img23.png" alt= "$\scriptstyle \in$"> <img width="9" height="10" align= "bottom" border="0" src="img24.png" alt= "$\scriptstyle \mathsf {F}$"></sub></span>une famille de matrices que l'on écrira aisément. <p>On a obtenu un modèle linéaire pour l'évaluation de performance d'un système dans lequel les préconditions d'une tâche sont fixées a priori et invariantes en temps. En termes de système de production cela signifie à peu près qu'un ordonnancement périodique a été défini.</p> <p>L'algèbre max-plus permet d'analyser complètement cette classe de systèmes. Un des résultats intéressants obtenus consiste à remarquer que la relation : instants d'entrée -instants de sortie des pièces, est max-plus linéaire et shift invariante. C'est une inf-convolution de la suite des instants d'entrée et d'une suite caractéristique du système (sa réponse impulsionnelle au sens max-plus). On a donc une bonne notion de fonction de transfert. Ce sont les séries formelles rationnelles<a name="tex2html7" href= "footnode_mn.html#foot375" target="footer"><sup><img align= "bottom" border="1" alt="[*]" src= "../icons/foot_motif.png"></sup></a>(si le graphe d'événement n'a qu'un nombre fini de transitions) à coefficients dans l'algèbre max-plus. Ces résultats ont été largement expliqués dans [<a href= "bibliographie_ct.html#cdqv" target= "contents">4</a>,<a href="bibliographie_ct.html#bcoq" target="contents">2</a>,<a href= "bibliographie_ct.html#gaub" target="contents">7</a>].</p> <p>Cette classe est trop restreinte (dans la majorité des applications, trouver un bon ordonnancement fait partie du problème). Elle peut être élargie au prix de la perte de la linéarité max-plus.</p> <h4><a name="SECTION00031030000000000000">Systèmes dynamiques  <span class="MATH">(min, + , <tt>x</tt> )</span> implicites, réseaux de Petri, programmation dynamique stochastique</a></h4> <p>La modélisation de réseaux de Petri temporisés généraux ne peut pas se faire dans le semianneau  <span class="MATH"><b>R</b><sub>max</sub></span> ou  <span class="MATH"><b>R</b><sub>min</sub></span>, la multiplication est indispensable.</p> <p>On note  <span class="MATH"><img width="12" height="12" align= "bottom" border="0" src="img25.png" alt= "$ \mathcal {P}$"></span> l'ensemble des places,  <span class="MATH"><img width="14" height="23" align= "middle" border="0" src="img26.png" alt= "$ \mathcal {Q}$"></span> l'ensemble des transitions, <span class="MATH"><i>M</i></span> les multiplicités des arcs, <span class="MATH"><i>m</i></span> le marquage initial, <span class="MATH"><img width="9" height="11" align="bottom" border="0" src="img27.png" alt= "$ \tau$"></span> les temps de séjour. À chaque place  <span class="MATH"><i>p</i> <img width="12" height="22" align="middle" border="0" src="img28.png" alt="$ \in$"> <img width="12" height="12" align="bottom" border="0" src= "img25.png" alt="$ \mathcal {P}$"></span> on associe un compteur  <span class="MATH"><i>Z</i><sub>p</sub> : <b>R</b> <img width="15" height="11" align="bottom" border="0" src= "img29.png" alt="$ \rightarrow$"> <b>Z</b></span>, (<span class="MATH"><i>Z</i><sub>p</sub>(<i>t</i>)</span> est le numéro du dernier jeton entré avant l'instant <span class="MATH"><i>t</i></span>, en incluant les jetons du marquage initial) ; de même, pour chaque transition  <span class="MATH"><i>q</i> <img width="12" height="22" align="middle" border="0" src="img28.png" alt="$ \in$"> <img width="14" height="23" align="middle" border="0" src= "img26.png" alt="$ \mathcal {Q}$"></span>, <span class= "MATH"><i>Z</i><sub>q</sub>(<i>t</i>)</span> note le numéro du dernier tir de <span class="MATH"><i>q</i></span> arrivé avant l'instant <span class="MATH"><i>t</i></span>. Ces fonctions sont croissantes, par définition. On a les bilans suivants (on note  <span class="MATH"><i>x</i><sup>in</sup></span> et  <span class="MATH"><i>x</i><sup>out</sup></span> les ensembles des prédecesseurs et successeurs d'un noeud <span class="MATH"><i>x</i></span>, respectivement):</p> <div align="center" class="mathdisplay"> <a name="eq-un"></a>  <table width="100%" align="center"> <tr valign="middle"> <td align="center" nowrap> <i>Z</i><sub>p</sub>(<i>t</i>) = <i>m</i><sub>p</sub> + <img width="27" height="43" align="middle" border= "0" src="img30.png" alt= "$\displaystyle \sum_{q\in p^{\text{\rm in}}}^{}$"><i>M</i><sub>pq</sub><i>Z</i><sub>q</sub>(<i>t</i>)  ,</td> <td class="eqno" width="10" align="right"> (<span class="eqn-number">3</span>)</td> </tr> </table> </div> <div align="center" class="mathdisplay"> <a name="eq-deux"></a>  <table width="100%" align="center"> <tr valign="middle"> <td align="center" nowrap> <i>Z</i><sub>p</sub>(<i>t</i> - <img width="13" height="22" align="middle" border="0" src="img31.png" alt="$\displaystyle \tau_{p}^{}$">) <img width="13" height="22" align="middle" border="0" src="img32.png" alt="$\displaystyle \geq$"> <img width="35" height= "42" align="middle" border="0" src="img33.png" alt= "$\displaystyle \sum_{q'\in p^{\text{\rm out}}}^{}$"><i>M</i><sub>q'p</sub><i>Z</i><sub>q'</sub>(<i>t</i>)  .</td> <td class="eqno" width="10" align="right"> (<span class="eqn-number">4</span>)</td> </tr> </table> </div>Par exemple, pour le réseau de Petri de la Figure <a href="fonde_maxplus_ct.html#fig-cont">1</a>, <span class= "MATH"><i>Z</i><sub>q<sub>3</sub></sub>(<i>t</i>) + 2<i>Z</i><sub>q<sub>2</sub></sub>(<i>t</i>) <img width="13" height="22" align="middle" border="0" src="img34.png" alt= "$ \leq$"> <i>Z</i><sub>p<sub>2</sub></sub>(<i>t</i> - <img width="18" height="22" align="middle" border="0" src= "img35.png" alt="$ \tau_{p_2}^{}$">)</span>traduit le fait qu'un jeton en <span class= "MATH"><i>p</i><sub>2</sub></span>peut contribuer au tir d'une transition <span class= "MATH"><i>q</i><sub>3</sub></span>, et qu'il en faut deux pour tirer <span class="MATH"><i>q</i><sub>2</sub></span>. <div align="center"> <a name="fig-cont"></a><a name="617"></a> <table> <caption align="bottom"> <strong>Figure 1:</strong> Un réseau de Petri temporisé </caption> <tr> <td> <div align="center">  <img width="195" height="121" align="bottom" border="0" src="img36.png" alt= "\includegraphics {petriCS5ti}"> </div> </td> </tr> </table> </div> <p>Dans un fonctionnement au plus tôt, au moins une inégalité de type (<a href= "fonde_maxplus_ct.html#eq-deux">4</a>) est saturée (i.e. au moins une place est indisponible) en amont de chaque transition. On a donc:</p> <div align="center" class="mathdisplay"> <a name="eq-trois"></a>  <table width="100%" align="center"> <tr valign="middle"> <td align="center" nowrap><img width="9" height="24" align="middle" border="0" src="img37.png" alt= "$\displaystyle \forall$"><i>q</i> <img width="12" height="22" align="middle" border="0" src="img38.png" alt="$\displaystyle \in$"> <img width="13" height= "23" align="middle" border="0" src="img39.png" alt= "$\displaystyle \mathcal {Q}$">,  <img width= "27" height="31" align="middle" border="0" src= "img40.png" alt= "$\displaystyle \min_{p\in q^{\text{\rm in}}}^{}$"><img width="14" height="55" align="middle" border="0" src="img41.png" alt= "$\displaystyle \left\{\vphantom{m_p+\sum_{q''\in p^{\text{\rm in}}}M_{pq''}Z_{q''}(t) - \sum_{q'\in p^{\text{\rm out}}} Z_{q'}(t) M_{q'p}}\right.$"><i>m</i><sub>p</sub> + <img width="33" height="43" align="middle" border= "0" src="img42.png" alt= "$\displaystyle \sum_{q''\in p^{\text{\rm in}}}^{}$"><i>M</i><sub>pq''</sub><i>Z</i><sub>q''</sub>(<i>t</i>) - <img width="35" height="42" align="middle" border= "0" src="img33.png" alt= "$\displaystyle \sum_{q'\in p^{\text{\rm out}}}^{}$"><i>Z</i><sub>q'</sub>(<i>t</i>)<i>M</i><sub>q'p</sub><img width="14" height="55" align="middle" border="0" src="img43.png" alt= "$\displaystyle \left.\vphantom{m_p+\sum_{q''\in p^{\text{\rm in}}}M_{pq''}Z_{q''}(t) - \sum_{q'\in p^{\text{\rm out}}} Z_{q'}(t) M_{q'p}}\right\}$"> = 0  .</td> <td class="eqno" width="10" align="right"> (<span class="eqn-number">5</span>)</td> </tr> </table> </div>Ce problème posé dans [<a href= "bibliographie_ct.html#libeaut" target= "contents">Lib97</a>] est un système dynamique <span class= "MATH">(min, + , <tt>x</tt> )</span>implicite sur lequel on ne sait à peu près rien dire. Résoudre ce genre de problème, même dans le cas statique, revient à étudier les variétés algébriques max-plus. La programmation linéaire devrait être d'une aide précieuse pour la résolution de ces systèmes. <p>On peut néanmoins simplifier ce problème en forçant des routages stationnaires : on notera alors <span class= "MATH"><img width="20" height="22" align="middle" border= "0" src="img44.png" alt="$ \rho_{qp}^{}$"></span> la proportion de fluide (cas où on ne se préoccupe pas de l'intégrité des jetons) routé vers <span class= "MATH"><i>q</i></span> par la place <span class= "MATH"><i>p</i></span>, avec  <span class="MATH"><img width="45" height="24" align= "middle" border="0" src="img45.png" alt= "$ \sum_{q\in p^{\text{\rm out}}}^{}$"><img width="20" height="22" align="middle" border="0" src="img44.png" alt= "$ \rho_{qp}^{}$"> = 1</span>. En posant, </p> <div align="center" class="mathdisplay"> <img width="21" height="22" align="middle" border="0" src="img46.png" alt= "$\displaystyle \mu_{pq}^{}$"><img width="19" height="36" align="middle" border="0" src="img47.png" alt= "$\displaystyle \;\stackrel{\text{\rm d\'ef}}{=}\;$"><i>M</i><sub>pq</sub>,    <img width="21" height="22" align="middle" border="0" src="img48.png" alt= "$\displaystyle \mu_{qp}^{}$"><img width="19" height="36" align="middle" border="0" src="img47.png" alt= "$\displaystyle \;\stackrel{\text{\rm d\'ef}}{=}\;$"><i>M</i><sub>qp</sub><sup>-1</sup>,  <img width="24" height="27" align="middle" border= "0" src="img49.png" alt= "$\displaystyle \mu{^\prime}_{qp}$"><img width="19" height="36" align="middle" border="0" src="img47.png" alt="$\displaystyle \;\stackrel{\text{\rm d\'ef}}{=}\;$"><img width="21" height="22" align="middle" border="0" src="img48.png" alt="$\displaystyle \mu_{qp}^{}$"><img width="20" height= "22" align="middle" border="0" src="img50.png" alt= "$\displaystyle \rho_{qp}^{}$">   </div>l'évolution du système devient cette fois : <div align="center" class="mathdisplay"> <a name="eq-complexissima"></a>  <table width="100%" align="center"> <tr valign="middle"> <td align="center" nowrap> <i>Z</i><sub>q</sub>(<i>t</i>) = <img width="27" height="31" align="middle" border="0" src="img40.png" alt= "$\displaystyle \min_{p\in q^{\text{\rm in}}}^{}$"><img width="8" height="34" align="middle" border="0" src="img51.png" alt="$\displaystyle \Bigl[$"><img width="24" height= "27" align="middle" border="0" src="img49.png" alt= "$\displaystyle \mu{^\prime}_{qp}$"><img width="8" height="26" align="middle" border="0" src="img52.png" alt="$\displaystyle \bigl($"><i>m</i><sub>p</sub> + <img width="33" height="43" align="middle" border="0" src="img42.png" alt= "$\displaystyle \sum_{q''\in p^{\text{\rm in}}}^{}$"><img width="26" height="22" align="middle" border="0" src="img53.png" alt= "$\displaystyle \mu_{pq''}^{}$"><i>Z</i><sub>q''</sub>(<i>t</i> - <img width="13" height="22" align="middle" border= "0" src="img31.png" alt= "$\displaystyle \tau_{p}^{}$">)<img width="8" height= "26" align="middle" border="0" src="img54.png" alt= "$\displaystyle \bigr)$"><img width="8" height="34" align="middle" border="0" src="img55.png" alt= "$\displaystyle \Bigr]$">  .</td> <td class="eqno" width="10" align="right"> (<span class="eqn-number">6</span>)</td> </tr> </table> </div>On reconnait une équation de la programmation dynamique, pour un processus de décision semi-Markovien, avec coût additif actualisé général. On peut alors calculer l'asymptotique de <span class="MATH"><i>Z</i></span>par des algorithmes du type itération sur les politiques [<a href= "bibliographie_ct.html#CGQ95b" target= "contents">CGJ95</a>]. <h4><a name="SECTION00031040000000000000">Systèmes dynamiques monotones homogènes</a></h4> <p>La modélisation de systèmes à événements discrets plus généraux peut se faire en remplaçant (<a href= "fonde_maxplus_ct.html#eq-dynamic">1</a>), (<a href= "fonde_maxplus_ct.html#eq-complexissima">6</a>) par des dynamiques  <span class="MATH"><i>f</i> : <b>R</b><sup>n</sup> <img width="15" height="11" align="bottom" border="0" src= "img29.png" alt="$ \rightarrow$"> <b>R</b><sup>n</sup></span> qui satisfont les trois axiomes : </p> <div align="center" class="mathdisplay"> <table> <tr valign="middle"> <td valign="baseline" align="left" nowrap> Homogénéité</td> <td valign="baseline" align="right" nowrap><i>f</i> (<img width="10" height="24" align="middle" border= "0" src="img56.png" alt="$\displaystyle \lambda$"> + <i>x</i>)</td> <td valign="baseline" align="center" nowrap>=</td> <td valign="baseline" align="left" nowrap><img width= "10" height="24" align="middle" border="0" src= "img56.png" alt="$\displaystyle \lambda$"> + <i>f</i> (<i>x</i>)</td> <td valign="baseline" align="right" nowrap>         (<i>H</i>)</td> </tr> <tr valign="middle"> <td valign="baseline" align="left" nowrap> Monotonie</td> <td valign="baseline" align="right" nowrap><i>x</i> <img width="12" height="22" align="middle" border="0" src="img57.png" alt="$\displaystyle \leq$"> <i>y</i></td> <td valign="baseline" align="center" nowrap> <img width="16" height="22" align="middle" border="0" src="img58.png" alt= "$\displaystyle \Rightarrow$"></td> <td valign="baseline" align="left" nowrap><i>f</i> (<i>x</i>) <img width="12" height="22" align="middle" border="0" src="img57.png" alt= "$\displaystyle \leq$"> <i>f</i> (<i>y</i>)</td> <td valign="baseline" align="right" nowrap>         (<i>M</i>)</td> </tr> <tr valign="middle"> <td valign="baseline" align="left" nowrap> Non-expansivité</td> <td valign="baseline" align="right" nowrap>| <i>f</i> (<i>x</i>) - <i>f</i> (<i>y</i>)|<sub><img width="12" height="22" align="middle" border="0" src="img59.png" alt="$\scriptstyle \infty$"></sub></td> <td valign="baseline" align="center" nowrap> <img width="12" height="22" align="middle" border="0" src="img57.png" alt="$\displaystyle \leq$"></td> <td valign="baseline" align="left" nowrap>| <i>x</i> - <i>y</i>|<sub><img width="12" height="22" align= "middle" border="0" src="img59.png" alt= "$\scriptstyle \infty$"></sub> ,</td> <td valign="baseline" align="right" nowrap>         (<i>N</i>)</td> </tr> </table> </div>pour tout <span class="MATH"><img width="10" height= "12" align="bottom" border="0" src="img60.png" alt= "$ \lambda$"> <img width="12" height="22" align="middle" border="0" src="img28.png" alt="$ \in$"> <b>R</b>, <i>x</i>, <i>y</i> <img width="12" height="22" align= "middle" border="0" src="img28.png" alt="$ \in$"> <b>R</b><sup>n</sup></span>, avec <span class= "MATH"><img width="10" height="12" align="bottom" border= "0" src="img60.png" alt="$ \lambda$"> + <i>x</i><img width= "23" height="16" align="bottom" border="0" src="img61.png" alt="$ \;\stackrel{\text{\rm def}}{=}\;$">(<img width="10" height="12" align="bottom" border="0" src="img60.png" alt= "$ \lambda$"> + <i>x</i><sub>1</sub>,...,<img width="10" height="12" align="bottom" border="0" src="img60.png" alt= "$ \lambda$"> + <i>x</i><sub>n</sub>)</span>, et où <span class="MATH"><img width="13" height="22" align= "middle" border="0" src="img34.png" alt= "$ \leq$"></span>désigne l'ordre partiel usuel sur <span class="MATH"><b>R</b><sup>n</sup></span>. <p>Sous l'hypothèse H, on sait que les propriétés M et N sont équivalentes. Gunawardena et Keane ont proposé d'appeler ``topicales'' les applications qui vérifient ces trois propriétés dont l'importance est bien connue [<a href="bibliographie_ct.html#nussbaum" target= "contents">R.D90</a>,<a href="bibliographie_ct.html#tartar" target="contents">CT80</a>].</p> <p>On peut dire que H, N sont le minimum vital pour faire une théorie de Perron-Frobenius, la propriété H donne du sens au problème spectral  <span class="MATH"><i>f</i> (<i>x</i>) = <img width="10" height="12" align="bottom" border="0" src="img60.png" alt= "$ \lambda$"> + <i>x</i></span>, la propriété N garantit que la limite  <span class="MATH"><img width="11" height="22" align= "middle" border="0" src="img62.png" alt="$ \chi$">(<i>f</i> )= <img width="46" height="24" align="middle" border="0" src="img63.png" alt= "$ \lim_{k\to\infty}^{}$"><i>f</i><sup>k</sup>(<i>x</i>)/<i>k</i></span>, lorsqu'elle existe, est indépendante du point de départ  <span class="MATH"><i>x</i> <img width="12" height="22" align="middle" border="0" src="img28.png" alt="$ \in$"> <b>R</b><sup>n</sup></span>.</p> <p>On essaie donc dans ce cadre de généraliser la théorie de Perron-Frobenius, et de comprendre géométriquement les asymptotiques des itérées de <span class= "MATH"><i>f</i></span> (qui donnent par exemple, les performances asymptotiques de systèmes à événements discrets : ateliers, circuits digitaux; la quantité <span class="MATH"><img width="11" height="22" align= "middle" border="0" src="img62.png" alt="$ \chi$">(<i>f</i> )</span> donne alors l'inverse du taux de production, ou le temps de cycle).</p> <h4><a name="SECTION00031050000000000000">Ressources partagées, empilements de tâches et automates max-plus</a></h4> <p>Un système à ressources partagées peut être vu comme un empilement de tâches (représentées par les contraintes temporelles imposées sur les ressources par ces tâches) du type jeu de Tetris.</p> <p>Dans l'espace temps-ressource  <span class="MATH"><b>R</b> <tt>x</tt> <img width="14" height="12" align="bottom" border="0" src="img64.png" alt= "$ \mathcal {R}$"></span> avec  <span class="MATH"><img width="14" height="12" align= "bottom" border="0" src="img64.png" alt="$ \mathcal {R}$"> = {1,..., <i>n</i>}</span>. Une tâche <span class= "MATH"><i>a</i></span> est une classe d'équivalence de formes géométriques (deux formes sont équivalentes si elles sont superposables par une translation temporelle). D'un point de vue physique, une tâche mobilise des ressources de façon synchronisée. Elle peut être retardée ou avancée. La tâche <span class="MATH"><i>a</i></span> utilise les ressources <span class="MATH"><i>R</i>(<i>a</i>)</span>. Une tâche en position <span class="MATH"><img width="10" height="12" align="bottom" border="0" src="img60.png" alt= "$ \lambda$"></span> immobilise la ressource <span class= "MATH"><i>r</i></span> à la date  <span class="MATH"><i>d</i><sub>r</sub>(<i>a</i>) + <img width="10" height="12" align="bottom" border="0" src= "img60.png" alt="$ \lambda$"></span> et la libère à la date  <span class="MATH"><i>f</i><sub>r</sub>(<i>a</i>) + <img width="10" height="12" align="bottom" border="0" src= "img60.png" alt="$ \lambda$"></span>.  <span class="MATH"><i>d</i> (<i>a</i>), <i>f</i> (<i>a</i>) : <i>R</i>(<i>a</i>) <img width="15" height="11" align= "bottom" border="0" src="img29.png" alt="$ \rightarrow$"> <b>R</b></span> sont donnés.</p> <p>Un travail <span class="MATH"><i>w</i></span> est un ensemble ordonné de tâches à accomplir  <span class="MATH"><i>w</i> = <i>a</i><sub>1</sub> <sup>...</sup> <i>a</i><sub>k</sub></span>. On peut alors vouloir calculer les instants de libération des ressources au plus tôt <span class="MATH"><i>x</i>(<i>w</i>)</span> pour un travail <span class="MATH"><i>w</i></span> donné, sachant que les ressources étaient disponibles au départ aux instants <span class="MATH"><i>g</i></span> (  <span class="MATH"><i>g</i> : <img width="14" height="12" align="bottom" border="0" src="img64.png" alt= "$ \mathcal {R}$"> <img width="15" height="11" align= "bottom" border="0" src="img29.png" alt="$ \rightarrow$"> <b>R</b></span>). Cela correspond au calcul du profil haut d'un empilement de pièces si l'on donne une interprétation spatiale à l'axe temporel. Le vecteur <span class= "MATH"><i>g</i></span> est alors le profil du sol. L'exécution au plus tôt des différentes tâches d'un travail <span class="MATH"><i>w</i></span> revient à laisser tomber les pièces  <span class="MATH"><i>a</i><sub>1</sub>,..., <i>a</i><sub>k</sub></span> sur le sol <span class= "MATH"><i>g</i></span>, comme dans le jeu de tétris. Ce profil haut se calcule récursivement par la programmation dynamique.</p> <div align="center" class="mathdisplay"> <a name="eq-tetris"></a>  <table width="100%" align="center"> <tr valign="middle"> <td align="center" nowrap><img width="497" height= "31" align="middle" border="0" src="img65.png" alt= "$\displaystyle \begin{align} x()&= g,\; \ x(wa)_r&=\max_{s\in R(a)}[f(a)_r-d(a... ...orall r\in R(a)\;,\ x(wa)_r&=x(w)_r,\; \forall r\not\in R(a) \,. \end{align}$"></td> <td class="eqno" width="10" align="right"> (<span class="eqn-number">7</span>)</td> </tr> </table> </div> <div align="center"> <a name="fig-heap"></a><a name="660"></a> <table> <caption align="bottom"> <strong>Figure 2:</strong> Un jeu de Tetris à trois types de pièces et quatre ressources </caption> <tr> <td> <div align="center"> <table cols="2" rules="GROUPS"> <col align="center"> <col align="center"> <tr> <td valign="baseline" align="center" nowrap>  <img width="112" height="119" align="bottom" border="0" src="img66.png" alt= "\includegraphics {heapr}"></td> <td valign="baseline" align="center" nowrap> <table cols="1" rules="GROUPS"> <col align="left"> <tr> <td valign="baseline" align="left" nowrap> <span class="MATH"><i>R</i>(<i>c</i>) = {2, 4}</span>,  <span class="MATH"><i>d</i> (<i>c</i>) = [ <sup>.</sup> , 0, <sup>.</sup> , 0]</span>,  <span class="MATH"><i>f</i> (<i>c</i>) = [ <sup>.</sup> , 2, <sup>.</sup> , 2]</span></td> </tr> </table> </td> </tr> <tr> <td valign="baseline" align="center" nowrap>  <span class="MATH"><i>R</i>(<i>b</i>) = {1, 2}</span>,  <span class="MATH"><i>d</i> (<i>b</i>) = [0, 0, <sup>.</sup> , <sup>.</sup> ]</span>,  <span class="MATH"><i>f</i> (<i>b</i>) = [2, 2, <sup>.</sup> , <sup>.</sup> ]</span></td> <td></td> </tr> <tr> <td valign="baseline" align="center" nowrap>  <span class="MATH"><i>R</i>(<i>a</i>) = {1, 2, 3}</span>,  <span class="MATH"><i>d</i> (<i>a</i>) = [0, 0, 0, <sup>.</sup> ]</span>,  <span class="MATH"><i>f</i> (<i>a</i>) = [1, 1, 3, <sup>.</sup> ]</span></td> <td></td> </tr> </table> </div> </td> </tr> </table> </div>En termes algébriques, à chaque pièce <span class= "MATH"><i>a</i></span>prise dans un ensemble de pièces <span class="MATH"><img width="12" height="12" align= "bottom" border="0" src="img67.png" alt= "$ \mathcal {T}$"></span>, on associe la matrice <span class="MATH"><i>M</i>(<i>a</i>) <img width="12" height="22" align="middle" border="0" src="img28.png" alt= "$ \in$"> (<b>R</b><sub>max</sub>)<sup><img width="12" height="11" align="bottom" border="0" src="img68.png" alt= "$\scriptstyle \mathcal {R}$"> <tt>x</tt> <img width="12" height="11" align="bottom" border="0" src="img68.png" alt= "$\scriptstyle \mathcal {R}$"></sup></span><span class= "MATH"><i>M</i>(<i>a</i>)<sub>r, s</sub> = <i>f</i> (<i>a</i>)<sub>s</sub> - <i>d</i> (<i>a</i>)<sub>r</sub></span>si <span class= "MATH"><i>r</i>, <i>s</i> <img width="12" height="22" align="middle" border="0" src="img28.png" alt="$ \in$"> <i>R</i>(<i>a</i>)</span>, et <span class= "MATH"><i>M</i>(<i>a</i>)<sub>r, r</sub> = <i>e</i></span>pour les coefficients diagonaux hors <span class="MATH"><i>R</i>(<i>a</i>)</span>(les autres coefficients valent <span class="MATH"><img width="8" height="11" align="bottom" border="0" src="img5.png" alt= "$ \varepsilon$"></span>). On a : <div align="center" class="mathdisplay"> <a name="eq-automata"></a>  <table width="100%" align="center"> <tr valign="middle"> <td align="center" nowrap><i>x</i>(<i>w</i>) = <i>gM</i>(<i>a</i><sub>1</sub>)...<i>M</i>(<i>a</i><sub>k</sub>),  <i>y</i>(<i>w</i>) = <i>x</i>(<i>w</i>)<i>e</i><sub><img width="12" height="11" align="bottom" border="0" src="img68.png" alt="$\scriptstyle \mathcal {R}$"></sub>  ,</td> <td class="eqno" width="10" align="right"> (<span class="eqn-number">8</span>)</td> </tr> </table> </div>où <span class="MATH"><i>e</i><sub><img width="12" height="11" align="bottom" border="0" src="img68.png" alt= "$\scriptstyle \mathcal {R}$"></sub></span>désigne un vecteur de zéro et donc <span class= "MATH"><i>y</i>(<i>w</i>)</span>représente la date de fin du travail (la hauteur du tas). <p>Autrement dit, la série génératrice  <span class="MATH"><img width="43" height="24" align= "middle" border="0" src="img69.png" alt= "$ \bigoplus_{w\in \mathcal{T}^*}^{}$"><i>y</i>(<i>w</i>)<i>w</i> <img width="12" height="22" align="middle" border="0" src= "img28.png" alt="$ \in$"> <b>R</b><sub>max</sub><img width= "8" height="25" align="middle" border="0" src="img70.png" alt="$ \langle$"><img width="8" height="25" align="middle" border="0" src="img70.png" alt="$ \langle$"><img width="11" height="11" align="bottom" border="0" src="img71.png" alt= "$ \Sigma$"><img width="8" height="25" align="middle" border="0" src="img72.png" alt="$ \rangle$"><img width="8" height="25" align="middle" border="0" src="img72.png" alt= "$ \rangle$"></span> est <em>reconnue</em> par un automate à coefficients dans le semianneau max-plus. D'après le théorème de Kleene-Schützenberger, c'est une série rationnelle.</p> <p>Les classiques problèmes d'ordonancement reviennent alors à minimiser la vitesse de croissance du tas par rapport à l'ordre des lettres dans le mot <span class= "MATH"><i>w</i></span>. Ils se ramènent à l'étude des semigroupes de matrices à plusieurs générateurs  <span class="MATH"><i>M</i>(<i>a</i><sub>1</sub>), <sup>...</sup> , <i>M</i>(<i>a</i><sub>k</sub>)</span>. Ce travail est présenté dans [<a href= "bibliographie_ct.html#gaumair97a" target= "contents">24</a>].</p> <h4><a name="SECTION00031060000000000000">Vers une approche géométrique des systèmes dynamiques linéaires sur le semianneau <span class="MATH">(max, +)</span></a></h4> <p>La solution du système </p> <div align="center" class="mathdisplay"> <i>x</i>(<i>k</i>) = <i>Ax</i>(<i>k</i> - 1) <img width= "12" height="22" align="middle" border="0" src= "img73.png" alt="$\displaystyle \oplus$"> <i>Bu</i>(<i>k</i>)  , <i>y</i>(<i>k</i>) = <i>Cx</i>(<i>k</i>)  , </div>où <span class="MATH"><i>x</i>(- 1) = - <img width= "15" height="11" align="bottom" border="0" src="img1.png" alt="$ \infty$"></span>, est donnée par : <div align="center" class="mathdisplay"> <i>y</i>(<i>k</i>) = <img width="21" height="51" align= "middle" border="0" src="img74.png" alt= "$\displaystyle \bigoplus_{l=0}^{k}$"><i>CA</i><sup>k - l</sup><i>Bu</i>(<i>l</i> )  . </div>Dans un atelier, <span class= "MATH"><i>y</i>(<i>k</i>)</span>s'interprète comme la date d'obtention de la <span class="MATH"><i>k</i></span>-ième pièce (on suppose, afin d'alléger la notation, que le système a une seule entrée <span class= "MATH"><i>u</i>(<i>k</i>) <img width="12" height="22" align="middle" border="0" src="img28.png" alt="$ \in$"> <b>R</b></span>et une seule sortie <span class= "MATH"><i>y</i>(<i>k</i>) <img width="12" height="22" align="middle" border="0" src="img28.png" alt="$ \in$"> <b>R</b></span>). <p>Les problème de suivi de trajectoire consiste à rechercher <span class="MATH"><i>u</i></span> tel que  <span class="MATH"><i>y</i>(<i>k</i>) <img width="13" height="22" align="middle" border="0" src="img34.png" alt= "$ \leq$"> <img width="9" height="22" align="middle" border="0" src="img75.png" alt="$ \eta$">(<i>k</i>)</span> , pour  <span class="MATH"><i>k</i> = 0, 1,...</span> (<span class= "MATH"><img width="9" height="22" align="middle" border="0" src="img75.png" alt="$ \eta$"></span> représente un carnet de commandes à suivre).</p> <p>Le problème d'atteignabilité en horizon <span class= "MATH"><i>k</i></span> consiste à rechercher <span class= "MATH"><i>u</i></span> tel que  <span class="MATH"><i>x</i>(<i>k</i>) <img width="13" height="22" align="middle" border="0" src="img34.png" alt= "$ \leq$"> <img width="9" height="24" align="middle" border="0" src="img76.png" alt="$ \xi$"></span> (<span class="MATH"><img width="9" height="24" align= "middle" border="0" src="img76.png" alt="$ \xi$"></span> est un vecteur des dates de disponibilité des ``ressources'' internes, machines, palettes, personnel, etc.).</p> <p>Ces deux problèmes sont de la forme <span class= "MATH"><i>Fu</i> <img width="13" height="22" align="middle" border="0" src="img34.png" alt="$ \leq$"> <i>v</i></span>, ou <span class="MATH"><i>F</i></span> est un opérateur linéaire. E.g., dans le deuxième cas,  <span class="MATH"><i>Fu</i> = <img width="10" height="12" align="bottom" border="0" src="img77.png" alt= "$ \mathcal {C}$"><sub>k</sub><i>u</i><sub>k</sub></span>, où  <span class="MATH"><img width="10" height="12" align= "bottom" border="0" src="img77.png" alt= "$ \mathcal {C}$"><sub>k</sub> = [<i>B</i>, <i>AB</i>,..., <i>A</i><sup>k</sup><i>B</i>]</span> et  <span class="MATH"><i>u</i><sub>k</sub> = [<i>u</i>(<i>k</i>),..., <i>u</i>(0)]<sup>T</sup></span>. Il n'est pas en général possible de résoudre exactement <span class="MATH"><i>Fu</i> = <i>v</i></span> pour toute valeur de <span class="MATH"><i>v</i></span>, car génériquement, un opérateur linéaire <span class= "MATH">(max, +)</span> n'est ni surjectif ni injectif. Cependant, il est facile de voir que <span class= "MATH"><i>Fu</i> <img width="13" height="22" align="middle" border="0" src="img34.png" alt="$ \leq$"> <i>v</i></span> a toujours une solution maximale,  <span class="MATH"><i>F</i>\<i>v</i></span>, donnée en termes matriciels par </p> <div align="center" class="mathdisplay"> (<i>F</i>\<i>v</i>)<sub>i</sub> = <img width="19" height= "31" align="middle" border="0" src="img78.png" alt= "$\displaystyle \inf_{j}^{}$">(- <i>F</i><sub>ji</sub> + <i>v</i>)  . </div>(il s'agit d'un cas particulier de <em>résiduation</em> [<a href= "bibliographie_ct.html#blyth72" target= "contents">BJ72</a>], [<a href="bibliographie_ct.html#bcoq" target="contents">2</a>]). On peut ainsi calculer la solution au plus tard satisfaisant le carnet de commande, où l'état atteignable maximal en dessous de <span class= "MATH"><img width="9" height="24" align="middle" border="0" src="img76.png" alt="$ \xi$"></span>. En outre, on sait tester l'atteignabilité exacte de <span class= "MATH"><img width="9" height="24" align="middle" border="0" src="img76.png" alt="$ \xi$"></span>en temps <span class= "MATH"><i>k</i></span>: il suffit de vérifier que l'égalité <span class="MATH"><img width="10" height="12" align= "bottom" border="0" src="img77.png" alt= "$ \mathcal {C}$"><sub>k</sub>(<img width="10" height="12" align="bottom" border="0" src="img77.png" alt= "$ \mathcal {C}$"><sub>k</sub>\<img width="9" height="24" align="middle" border="0" src="img76.png" alt="$ \xi$">) = <img width="9" height="24" align="middle" border="0" src= "img76.png" alt="$ \xi$"></span>est vraie. <p>La version la plus achevée de ces problèmes d'atteignabilité dans le cas classique a été donnée dans [<a href="bibliographie_ct.html#Wonham" target= "contents">W.M79</a>]. Elle est basée sur une discussion des espaces invariants d'un opérateur linéaire. L'extension de cette théorie au cas max-plus passe par une meilleure compréhension des semi-modules (analogue sur un semianneau des espaces vectoriels). Même lorsque les semimodules sont finiment engendrés, très peu de choses sont connues. Plusieurs notions d'indépendance existent, conduisant, chacunes, à des notions, distinctes, de rang. De plus un sous semimodule n'a pas toujours de supplémentaire. Ces difficultés sont répertoriées dans la théorie des modules. Cependant, une nouvelle difficulté surgit ici : l'analogue d'un noyau doit être posé dans un espace double  <span class="MATH">ker <i>C</i> = {(<i>x</i>, <i>y</i>) | <i>Cx</i> = <i>Cy</i>}</span>. En effet, dans cette structure tous les termes d'une équation ne peuvent pas être ramenés dans un même membre, puisque, en général, un élément n'a pas d'opposé. Par contre, la résiduation donne des résultats intéressants que nous sommes en train d'explorer [<a href="bibliographie_ct.html#cgq2" target= "contents">CGJ97</a>].</p> <h4><a name="SECTION00031070000000000000">Dualité entre l'optimisation et le calcul des probabilités</a></h4> <p>Dans de nombreux domaines (grandes déviations en probabilité, entropie en mécanique statistique et théorie de l'information, dualité filtrage-commande en commande, maximum de vraisemblance en statistique, passage de la mécanique quantique à la mécanique classique, méthode de Hopf pour la résolution explicite d'équations d'Hamilton Jacobi etc.) une dualité entre le calcul des probabilités et l'optimisation est utilisée implicitement.</p> <p>Dans un certain nombre de travaux relativement récents, cette dualité a été explicitée par divers groupes indépendamment [<a href="bibliographie_ct.html#Maslov" target="contents">Mas87</a>,<a href= "bibliographie_ct.html#Pap" target= "contents">Pap95</a>,<a href="bibliographie_ct.html#Moral" target="contents">dTRS90</a>,<a href= "bibliographie_ct.html#JPQ" target= "contents">Qua90</a>,<a href="bibliographie_ct.html#AQV" target="contents">AQV94</a>]. On dispose maintenant d'une théorie trés satisfaisante [<a href= "bibliographie_ct.html#DENSITE" target="contents">18</a>]. Cette dualité, a pour intérêt, en dehors de son caractère esthétique et unifiant, de faire ressortir les dissymétries existantes dans le développement des deux domaines. Le calcul des probabilités contient beaucoup de résultats analytiques et conceptuels. L'optimisation est beaucoup plus développée au niveau algorithmique.</p> <p>Un problème d'optimisation est souvent présenté comme le calcul de </p> <div align="center" class="mathdisplay"> <img width="22" height="31" align="middle" border="0" src="img79.png" alt= "$\displaystyle \inf_{x\in A}^{}$"><i>c</i>(<i>x</i>)  , </div>pour des <span class="MATH"><i>c</i></span>et des <span class="MATH"><i>A</i></span>suffisamment simples pour qu'il existe un <span class="MATH"><i>x</i></span>optimal calculable algorithmiquement. Des notions importantes sont apparues, comme la dualité, surtout pour des raisons algorithmiques. <p>Dans le calcul des probabilités on s'intéresse au calcul de la probabilité d'événements, c.a.d. </p> <div align="center" class="mathdisplay"> <img width="18" height="39" align="middle" border="0" src="img80.png" alt= "$\displaystyle \int_{A}^{}$"><i>p</i>(<i>x</i>)<i>dx</i> </div>pour des <span class="MATH"><i>A</i></span>et <span class="MATH"><i>p</i></span>pouvant être trés compliqués. On appelle <span class= "MATH"><i>P</i>(<i>A</i>)</span>le résultat et on fait la théorie des applications <span class="MATH"><i>A</i> <img width="15" height="11" align="bottom" border="0" src= "img9.png" alt="$ \mapsto$"> <i>P</i>(<i>A</i>)</span>. On fait apparaître toutes sortes de notions intéressantes : moyenne, variance, fonction caractéristique, etc. On fait aussi des calculs, mais surtout, dans des cas où il est possible d'obtenir des résultats explicites. <p>Il suffit d'appeler  <span class="MATH"><i>C</i>(<i>A</i>)<img width="19" height="16" align="bottom" border="0" src="img81.png" alt= "$ \;\stackrel{\text{\rm d\'ef}}{=}\;$"><img width="39" height="24" align="middle" border="0" src="img82.png" alt= "$ \inf_{x\in A}^{}$"><i>c</i>(<i>x</i>)  </span> pour être dans une situation complètement analogue au calcul des probabilités au remplacement de l'algèbre ordinaire par  <span class="MATH"><b>R</b><sub>min</sub></span> près. Pratiquement tous les concepts des probabilités ont une notion duale, utile en optimisation. Citons en trois. Le dual de la loi Gaussienne  <span class="MATH"><img width="14" height="12" align= "bottom" border="0" src="img83.png" alt= "$ \mathcal {N}$"><sub>m,<img width="9" height="11" align= "bottom" border="0" src="img84.png" alt= "$\scriptstyle \sigma$"></sub></span> est la forme quadratique </p> <div align="center" class="mathdisplay"> <img width="13" height="23" align="middle" border="0" src="img39.png" alt= "$\displaystyle \mathcal {Q}$"><sub>m,<img width="9" height="11" align="bottom" border="0" src="img84.png" alt="$\scriptstyle \sigma$"></sub>(<i>x</i>)<img width= "19" height="36" align="middle" border="0" src= "img47.png" alt= "$\displaystyle \;\stackrel{\text{\rm d\'ef}}{=}\;$"><img width="10" height="28" align="middle" border="0" src="img85.png" alt="$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$">(<img width="41" height="38" align="middle" border="0" src="img86.png" alt="$\displaystyle {\frac{x-m}{\sigma}}$">)<sup>2</sup>  . </div>Le dual de la transformée de Laplace est la transformée de Fenchel. Le dual de la convolution des lois est l'inf-convolution des coûts. <p>A l'opposé, aucun algorithme sérieux n'est donné, pour calculer la probabilité d'un événement un peu compliqué de  <span class="MATH"><b>R</b><sup>n</sup></span>, exceptée la méthode de Monte-Carlo.</p> <p>Il existe un moyen systématique de transférer les résultats du calcul des probabilités. C'est l'utilisation de la transformée de Cramer  <span class="MATH"><img width="10" height="12" align= "bottom" border="0" src="img77.png" alt= "$ \mathcal {C}$"></span> définie par </p> <div align="center" class="mathdisplay"> <img width="10" height="23" align="middle" border="0" src="img87.png" alt="$\displaystyle \mathcal {C}$"> = <img width="14" height="23" align="middle" border="0" src="img88.png" alt= "$\displaystyle \mathcal {F}$"><tt>o</tt>log<tt>o</tt><img width="11" height="23" align="middle" border="0" src="img89.png" alt="$\displaystyle \mathcal {L}$">  , </div>où <span class="MATH"><img width="12" height="12" align="bottom" border="0" src="img90.png" alt= "$ \mathcal {L}$"></span>désigne la transformée de Laplace, <span class="MATH"><img width="13" height="12" align= "bottom" border="0" src="img91.png" alt= "$ \mathcal {F}$"></span>la transformée de Fenchel. On a par exemple : <div align="center" class="mathdisplay"> <img width="10" height="23" align="middle" border="0" src="img87.png" alt= "$\displaystyle \mathcal {C}$">(<img width="15" height= "23" align="middle" border="0" src="img92.png" alt= "$\displaystyle \mathcal {N}$"><sub>m,<img width="9" height="11" align="bottom" border="0" src="img84.png" alt="$\scriptstyle \sigma$"></sub>) = <img width="13" height="23" align="middle" border="0" src="img39.png" alt="$\displaystyle \mathcal {Q}$"><sub>m,<img width="9" height="11" align="bottom" border="0" src="img84.png" alt="$\scriptstyle \sigma$"></sub>  . </div>La transformée de Cramer a de nombreuses propriétés. Par exemple, elle transforme les convolutions de mesures en inf-convolutions de coûts convexes. Ses propriétes de continuité pour des topologies adéquates ont été étudiées dans [<a href="bibliographie_ct.html#AKI2" target= "contents">Aki96</a>]. Elles permettent dans des cas assez restreints (loi log concave) le transfert immédiat des théorèmes asymptotiques du calcul de probabilités à des théorèmes analogues en optimisation. <h4><a name="SECTION00031080000000000000">Pages WEB</a></h4> <p>On pourra consulter les pages web</p> <ul> <li><a name="tex2html10" href= "http://cas.ensmp.fr/CAS/SED" target= "_top">http://cas.ensmp.fr/CAS/SED</a></li> <li><a name="tex2html11" href= "http://amadeus.inria.fr/TROPICAL/" target= "_top">http://amadeus.inria.fr/TROPICAL/</a></li> <li><a name="tex2html12" href= "http://www-rocq.inria.fr/scilab/quadrat" target= "_top">http://www-rocq.inria.fr/scilab/quadrat</a></li> </ul> <p>pour obtenir des informations supplémentaires ou des publications complètes dans ce domaine.</p> <hr> <table> <caption> <strong>Tableau 1:</strong> La famille des semianneaux <span class="MATH">(max, +)</span> et tropicaux </caption>                       </table> </div> </body>